Identität des Ununterscheidbaren

Die Identität des Ununterscheidbaren ist ein ontologisches Prinzip, das besagt, dass es keine getrennten Objekte oder Entitäten geben kann , die alle ihre Eigenschaften gemeinsam haben. Das heißt, Entitäten x und y sind identisch, wenn jedes Prädikat, das x besitzt, auch auf y zutrifft und umgekehrt. Es besagt, dass keine zwei verschiedenen Dinge (wie Schneeflocken ) exakt gleich sein können, ist aber eher als metaphysisches denn als naturwissenschaftliches Prinzip zu verstehen. Ein verwandtes Prinzip ist die Ununterscheidbarkeit des Identischen, die weiter unten erläutert wird.

Eine Form dieses Prinzips wird dem deutschen Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz zugeschrieben . Während manche annehmen, Leibniz’ Version beziehe sich lediglich auf die Ununterscheidbarkeit des Identischen, interpretieren andere sie als die Verbindung von Identität des Ununterscheidbaren und Ununterscheidbarkeit des Identischen (das Umkehrprinzip). Aufgrund der Verbindung zu Leibniz wird die Ununterscheidbarkeit des Identischen mitunter auch als Leibnizsches Gesetz bezeichnet. Sie gilt neben dem Widerspruchssatz und dem Satz vom zureichenden Grund (bekannt geworden durch seine Auseinandersetzungen mit Newton und Clarke im Leibniz-Clarke-Briefwechsel ) als eines seiner großen metaphysischen Prinzipien.

Einige Philosophen haben jedoch entschieden, dass es wichtig ist, bestimmte Prädikate (oder vermeintliche Prädikate) vom Prinzip auszuschließen, um Trivialität oder Widersprüche zu vermeiden. Ein Beispiel (siehe unten) ist das Prädikat, das angibt, ob ein Objekt gleich x ist (oft als gültiges Prädikat betrachtet). Daher existieren in der philosophischen Literatur verschiedene Versionen des Prinzips mit unterschiedlicher logischer Stärke – einige werden von bestimmten Autoren als „starkes Prinzip“ oder „schwaches Prinzip“ bezeichnet, um sie zu unterscheiden. ^{[ 1 ]}

Die Identität des Ununterscheidbaren wurde genutzt, um Konzepte der Nichtkontextualität innerhalb der Quantenmechanik zu motivieren.

Mit diesem Prinzip ist auch die Frage verbunden, ob es sich um ein logisches Prinzip oder lediglich um ein empirisches Prinzip handelt.

Sowohl Identität als auch Ununterscheidbarkeit werden mit dem Wort „gleich“ ausgedrückt. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Identität bezieht sich auf numerische Übereinstimmung und wird durch das Gleichheitszeichen (+=") ausgedrückt. Sie beschreibt die Beziehung, die jedes Objekt nur zu sich selbst hat. ^{[ 4 ]} Ununterscheidbarkeit hingegen betrifft qualitative Übereinstimmung : Zwei Objekte sind ununterscheidbar, wenn sie alle Eigenschaften gemeinsam haben. ^{[ 1 ]} Formal lässt sich dies als „ “ ausdrücken. Die beiden Bedeutungen von Gleichheit sind durch zwei Prinzipien miteinander verbunden: das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Identischen und das Prinzip der Identität von Ununterscheidbaren . Das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Identischen ist unstrittig und besagt, dass zwei Entitäten, die miteinander identisch sind, dieselben Eigenschaften besitzen. ^{[ 3 ]} Das Prinzip der Identität von Ununterscheidbaren hingegen ist umstrittener, da es die umgekehrte Behauptung aufstellt, dass zwei Entitäten, die dieselben Eigenschaften besitzen, identisch sein müssen. ^{[ 3 ]} Dies impliziert, dass „keine zwei verschiedenen Dinge einander exakt gleichen“. ^{[ 1 ]} Nach diesem Prinzip muss zwischen je zwei verschiedenen Dingen ein unterscheidbarer oder erkennbarer Unterschied bestehen, zumindest prinzipiell, denn gäbe es keinen Unterschied, wären sie nicht zwei, sondern eins. Beachten Sie, dass es sich hierbei um Prädikatenlogik zweiter Stufe handelt. Keines dieser Prinzipien lässt sich in Prädikatenlogik erster Stufe ausdrücken (sie sind nicht in Prädikatenlogik erster Stufe ordnungsfähig ). Formal lassen sich die beiden Prinzipien wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle \forall F(Fx\leftrightarrow Fy)}$

• Die Ununterscheidbarkeit von Identischen:${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[x=y\rightarrow \forall F(Fx\leftrightarrow Fy)]}$

  Für beliebige und , wenn mit identisch ist , dann haben und die gleichen Eigenschaften.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• Die Identität des Ununterscheidbaren:${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[\forall F(Fx\leftrightarrow Fy)\rightarrow x=y]}$

  Für beliebige und , wenn und alle die gleichen Eigenschaften haben, dann ist identisch mit .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Die Ununterscheidbarkeit von Identischen wird im Allgemeinen als unstrittig angesehen, wohingegen die Identität von Ununterscheidbaren umstrittener ist, ^{[ 5 ]} wie Max Black bekanntermaßen bestritten hat . ^{[ 6 ]}

Die Verknüpfung dieser beiden Prinzipien wird manchmal als „Leibnizsches Gesetz“ bezeichnet ^{[ 7 ] [ 1 ], obwohl dieser Name gelegentlich auch für eines der beiden anderen Prinzipien [ 5 ]} oder für andere Prinzipien verwendet wurde . ^{[ 8 ]} Sie kann als Bikonditional formuliert werden :

• Bikonditionales "Leibnizsches Gesetz":${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[x=y\leftrightarrow \forall F(Fx\leftrightarrow Fy)]}$

  Für beliebige und gilt: ist genau dann identisch mit , wenn und alle die gleichen Eigenschaften haben.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Manche Logiker haben dieses Prinzip als wesentlich für Identität und Gleichheit angesehen : Alfred Tarski zählte es zu den logischen Axiomen, die den Begriff der Identität bestimmen, ^{[ 9 ]} und Rudolf Carnap definierte das Gleichheitszeichen für Identität (=) mithilfe dieses Bikonditionals. ^{[ 10 ]}

In einem Universum mit zwei verschiedenen Objekten A und B sind alle Prädikate F materiell äquivalent zu einer der folgenden Eigenschaften:

• IsA, die Eigenschaft, die Anteile an A, aber nicht an B besitzt;
• IsB, die Eigenschaft, die Anteile an B, aber nicht an A besitzt;
• IsAorB, die Eigenschaft, die sowohl A als auch B enthält;
• IsNotAorB, die Eigenschaft, die weder A noch B enthält.

Wenn ∀F auf alle solchen Prädikate anwendbar ist, reduziert sich das zweite Prinzip, wie oben formuliert, trivial und unstrittig auf eine logische Tautologie . In diesem Fall werden die Objekte durch IsA, IsB und alle Prädikate unterschieden, die materiell äquivalent zu einem dieser beiden sind. Dieses Argument lässt sich kombinatorisch auf Universen mit beliebig vielen verschiedenen Objekten erweitern.

Die durch das Zeichen "=" ausgedrückte Gleichheitsrelation ist eine Äquivalenzrelation, da sie reflexiv (alles ist gleich sich selbst), symmetrisch (wenn x gleich y ist, dann ist y gleich x ) und transitiv (wenn x gleich y und y gleich z ist, dann ist x gleich z ) ist. Die Ununterscheidbarkeit identischer und die Identität ununterscheidbarer Dinge können gemeinsam zur Definition der Gleichheitsrelation verwendet werden. Die Symmetrie und Transitivität der Gleichheit folgen aus dem ersten Prinzip, die Reflexivität aus dem zweiten. Beide Prinzipien lassen sich zu einem einzigen Axiom kombinieren, indem man anstelle der materialen Implikation einen bikonditionalen Operator ( ) verwendet . ^{[ 11 ]}${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \rightarrow }$

Ununterscheidbarkeit wird üblicherweise über gemeinsame Eigenschaften definiert: Zwei Objekte sind ununterscheidbar, wenn sie alle ihre Eigenschaften gemeinsam haben. ^{[ 12 ]} Die Plausibilität und Aussagekraft des Identitätsprinzips von Ununterscheidbaren hängen von der Konzeption der Eigenschaften ab , die zur Definition von Ununterscheidbarkeit herangezogen werden. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Eine wichtige Unterscheidung in diesem Zusammenhang ist die zwischen reinen und unreinen Eigenschaften. Unreine Eigenschaften sind solche, die – anders als reine Eigenschaften – in ihrer Definition auf eine bestimmte Substanz Bezug nehmen. ^{[ 12 ]} So ist beispielsweise „Ehefrau sein“ eine reine Eigenschaft, während „Ehefrau von Sokrates sein “ aufgrund des Bezugs auf den konkreten „Sokrates“ eine unreine Eigenschaft darstellt. ^{[ 14 ]} Manchmal werden anstelle von rein und unrein die Begriffe qualitativ und nicht-qualitativ verwendet . ^{[ 15 ]} Unterscheidbarkeit wird üblicherweise nur anhand reiner Eigenschaften definiert. Der Grund dafür ist, dass die Berücksichtigung unreiner Eigenschaften dazu führen würde, dass das Prinzip trivial wahr wäre, da jede Entität die unreine Eigenschaft besitzt, mit sich selbst identisch zu sein, die sie mit keiner anderen Entität teilt. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Eine weitere wichtige Unterscheidung betrifft den Unterschied zwischen intrinsischen und extrinsischen Eigenschaften . ^{[ 13 ]} Eine Eigenschaft ist extrinsisch , wenn sie von anderen Objekten abhängt (mit oder ohne Bezugnahme auf bestimmte Objekte), andernfalls ist sie intrinsisch . Beispielsweise ist die Eigenschaft, eine Tante zu sein, extrinsisch, während die Eigenschaft, eine Masse von 60 kg zu haben, intrinsisch ist. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Definiert man die Identität von Ununterscheidbaren ausschließlich anhand reiner intrinsischer Eigenschaften, so kann man zwei auf einem Tisch liegende Bücher nicht als verschieden betrachten, wenn sie intrinsisch identisch sind . Berücksichtigt man jedoch auch extrinsische und unreine Eigenschaften, so werden dieselben Bücher verschieden, sobald sie durch diese Eigenschaften unterscheidbar sind. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Max Black hat die Identität Ununterscheidbarer Objekte mit Gegenbeispielen widerlegt. Um zu zeigen, dass die Identität Ununterscheidbarer Objekte falsch ist, genügt es, ein Modell anzuführen , in dem zwei verschiedene (numerisch nicht identische) Dinge existieren, die dieselben Eigenschaften besitzen. Er behauptete, dass in einem symmetrischen Universum, in dem nur zwei symmetrische Sphären existieren, diese beiden Sphären zwei verschiedene Objekte sind, obwohl sie alle Eigenschaften gemeinsam haben. ^{[ 18 ]}

Black argumentiert, dass selbst relationale Eigenschaften (Eigenschaften, die Abstände zwischen Objekten in der Raumzeit beschreiben) nicht ausreichen, um zwei identische Objekte in einem symmetrischen Universum zu unterscheiden. Seiner Argumentation zufolge sind und bleiben zwei Objekte gleich weit von der Symmetrieebene des Universums und voneinander entfernt. Selbst die Hinzunahme eines externen Beobachters, der die beiden Sphären unterschiedlich kennzeichnet, löst das Problem nicht, da dies die Symmetrie des Universums verletzt.

Wie bereits erwähnt, ist das Prinzip der Ununterscheidbarkeit von Identischem – dass zwei Objekte, die tatsächlich ein und dasselbe sind, dieselben Eigenschaften besitzen – weitgehend unstrittig. Eine berühmte Anwendung dieses Prinzips findet sich jedoch bei René Descartes in seinen „Meditationen über die Erste Philosophie“ . Descartes folgerte, dass er die Existenz seiner selbst nicht bezweifeln könne (das berühmte Cogito- Argument), wohl aber die Existenz seines Körpers.

Dieses Argument wird von einigen modernen Philosophen kritisiert, da es angeblich aus einer Prämisse über das Wissen der Menschen eine Schlussfolgerung über die Wahrheit ableitet. Was Menschen über ein Objekt wissen oder glauben, so argumentieren sie, sei keine wirkliche Eigenschaft dieses Objekts. Dem könnte man entgegenhalten, dass Descartes in seinen „Meditationen über die Erste Philosophie“ argumentiert , dass seine Unfähigkeit, an der Existenz seines Geistes zu zweifeln, Teil seines Wesens sei . Man könnte dann argumentieren, dass identische Dinge auch identische Wesenheiten haben müssten. ^{[ 19 ]}

Betrachten Sie den folgenden Beweis durch Widerspruch, der auf einer geheimen Identität beruht :

1. Entitäten x und y sind genau dann identisch, wenn jedes Prädikat, das x besitzt , auch von y besessen wird und umgekehrt.
2. Clark Kent ist Supermans geheime Identität; das heißt, sie sind ein und dieselbe Person (identisch), aber die Leute wissen das nicht.
3. Lois Lane glaubt, dass Clark Kent nicht fliegen kann.
4. Lois Lane glaubt, dass Superman fliegen kann.
5. Daher besitzt Superman eine Eigenschaft, die Clark Kent nicht hat, nämlich dass Lois Lane glaubt, er könne fliegen.
6. Daher ist Superman nicht identisch mit Clark Kent. ^{[ 20 ]}

Da Proposition 6 im Widerspruch zu Proposition 2 steht, schließen wir, dass mindestens eine der Prämissen falsch ist. Entweder:

1. Das Leibnizsche Gesetz ist falsch; oder
2. Das Wissen einer Person über x ist kein Prädikat von x ; oder
3. Die Anwendung des Leibnizschen Gesetzes ist fehlerhaft; das Gesetz ist nur auf monadische, nicht auf polyadische Eigenschaften anwendbar; oder
4. Worüber die Menschen nachdenken, sind nicht die eigentlichen Objekte selbst; oder
5. Ein Mensch ist fähig, widersprüchliche Überzeugungen zu haben.

Jede dieser Annahmen würde Descartes' Argumentation untergraben. ^{[ 21 ]}

• 1. Axiom einer Metrik
• Disquotationsprinzip  – Philosophische Aussage über rationales Denken
• Ententest  – Klassifizierung anhand beobachtbarer Beweise
• Ununterscheidbare Teilchen  – Konzept in der Quantenmechanik von perfekt austauschbaren Teilchen, eine ähnliche Idee in der Quantenmechanik
• Identität (Philosophie)  – Die Beziehung, die jedes Ding zu sich selbst hat
• Fehlschluss des maskierten Mannes  – Ein formaler Fehlschluss bezüglich des Wissens über Objekte, eine fehlerhafte Anwendung dieses Prinzips
• Das Schiff des Theseus  – Ein Gedankenexperiment über Identität im Laufe der Zeit
• Strukturelles Typsystem  – Klasse von Typsystemen, ein ähnliches Konzept in der Informatik
• Typ-Token-Unterscheidung  – Unterscheidung von Objekten und Objektklassen
• Prädikatenlogik erster Stufe § Gleichheit und ihre Axiome

• Leibniz' Gesetz (Archiviert am 23.08.2017 in der Wayback Machine)
• Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy