Prädikatenlogik

In der Logik ist ein Prädikat ein nicht-logisches Symbol , das eine Eigenschaft oder eine Relation repräsentiert , obwohl es formal gesehen nichts Bestimmtes darstellen muss. Beispielsweise ist in der Prädikatenlogik erster Stufe das Symbol ein Prädikat, das auf die Konstante angewendet wird und entweder wahr oder falsch ist . Ebenso ist in der Prädikatenlogik das Symbol ein Prädikat, das auf die Konstanten und angewendet wird . Prädikate gelten als grundlegender Begriff der Prädikatenlogik erster und höherer Stufen und werden daher nicht über andere, grundlegendere Konzepte definiert. ${\displaystyle P(a)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R(a,b)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Der Begriff leitet sich vom grammatikalischen Begriff „Prädikat“ ab , der ein Wort oder eine Phrase bezeichnet, die eine Eigenschaft oder Beziehung darstellt.

In der Semantik der Logik werden Prädikate als Relationen interpretiert . Beispielsweise wäre in der Standardsemantik der Prädikatenlogik erster Stufe die Formel bei einer bestimmten Interpretation wahr, wenn die durch und bezeichneten Entitäten in der durch bezeichneten Relation stehen . Da Prädikate nichtlogische Symbole sind , können sie je nach Interpretation unterschiedliche Relationen bezeichnen. Während die Prädikatenlogik erster Stufe nur Prädikate kennt, die auf einzelne Objekte angewendet werden, erlauben andere Logiken Prädikate, die auf durch andere Prädikate definierte Mengen von Objekten angewendet werden. ${\displaystyle R(a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

Streng genommen bedarf ein Prädikat keiner Interpretation, solange seine syntaktischen Eigenschaften wohldefiniert sind. So lässt sich beispielsweise die Gleichheit allein durch ihre Reflexivität und Substitution verstehen (vgl. Gleichheit (Mathematik) § Axiome ). Weitere Eigenschaften können daraus abgeleitet werden, und sie genügen, um mathematische Theoreme zu beweisen. Ebenso lässt sich die Zugehörigkeit zu einer Menge allein durch die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verstehen .

Ein Prädikat ist eine Aussage oder mathematische Behauptung, die Variablen enthält, die manchmal als Prädikatvariablen bezeichnet werden, und die je nach Wert oder Werten dieser Variablen wahr oder falsch sein kann.

• In der Aussagenlogik werden atomare Formeln manchmal als Nullstellenprädikate betrachtet. ^{[ 1 ]} In gewissem Sinne handelt es sich dabei um Nullstellenprädikate (d. h. Prädikate mit 0 Stelligkeit ) .
• In der Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Prädikat ein nichtlogisches Relationssymbol , das, angewendet auf eine geeignete Anzahl von Termen , eine atomare Formel bildet .
• In der Mengenlehre mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten werden Prädikate als charakteristische Funktionen oder Mengenindikatorfunktionen verstanden (d. h. Funktionen, die einem Mengenelement einen Wahrheitswert zuordnen ). Die Mengenschreibweise verwendet Prädikate zur Definition von Mengen.
• In der autoepistemischen Logik , die den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ablehnt, können Prädikate wahr, falsch oder schlichtweg unbekannt sein . Insbesondere kann eine gegebene Menge an Fakten nicht ausreichen, um die Wahrheit oder Falschheit eines Prädikats zu bestimmen.
• In der Fuzzy-Logik wird die strikte Wahrheits-/Falsch-Bewertung des Prädikats durch eine Größe ersetzt, die als Grad der Wahrheit interpretiert wird.

• Freie Variablen und gebundene Variablen
• Hypostatische Abstraktion
• Prädikat mit mehreren Stufen
• Undurchsichtiges Prädikat
• Philosophische Prädikation
• Prädikatfunktorlogik
• Prädikatvariable
• Wahrheitsträger
• Wahrheitswert
• wohlgeformte Formel

• Einführung in Prädikate