Infimum and supremum

In mathematics, the infimum (abbreviated inf; pl.: infima) of a subset${\displaystyle S}$ of a partially ordered set${\displaystyle P}$ is the greatest element in ${\displaystyle P}$ that is less than or equal to each element of ${\displaystyle S,}$ if such an element exists.^[1] If the infimum of ${\displaystyle S}$ exists, it is unique, and if b is a lower bound of ${\displaystyle S}$, then b is less than or equal to the infimum of ${\displaystyle S}$. Consequently, the term greatest lower bound (abbreviated as GLB) is also commonly used.^[1] The supremum (abbreviated sup; pl.: suprema) of a subset ${\displaystyle S}$ of a partially ordered set ${\displaystyle P}$ is the least element in ${\displaystyle P}$ that is greater than or equal to each element of ${\displaystyle S,}$ if such an element exists.^[1] If the supremum of ${\displaystyle S}$ exists, it is unique, and if b is an upper bound of ${\displaystyle S}$, then the supremum of ${\displaystyle S}$ is less than or equal to b. Consequently, the supremum is also referred to as the least upper bound (or LUB).^[1]

The infimum is, in a precise sense, dual to the concept of a supremum. Infima and suprema of real numbers are common special cases that are important in analysis, and especially in Lebesgue integration. However, the general definitions remain valid in the more abstract setting of order theory where arbitrary partially ordered sets are considered.

Die Begriffe Infimum und Supremum ähneln Minimum und Maximum , sind aber in der Analysis nützlicher, da sie spezielle Mengen besser charakterisieren, die kein Minimum oder Maximum besitzen . Beispielsweise hat die Menge der positiven reellen Zahlen (ohne 2ⁿ ) kein Minimum, da jedes Element dieser Menge durch zwei geteilt werden kann, was zu einer kleineren Zahl führt, die immer noch in 2ⁿ liegt . Es gibt jedoch genau ein Infimum der positiven reellen Zahlen bezüglich der reellen Zahlen: 2ⁿ, welches kleiner ist als alle positiven reellen Zahlen und größer als jede andere reelle Zahl, die als untere Schranke verwendet werden könnte. Ein Infimum einer Menge ist immer und nur bezüglich einer Obermenge der betreffenden Menge definiert. Beispielsweise gibt es kein Infimum der positiven reellen Zahlen innerhalb der positiven reellen Zahlen (als deren Obermenge) und auch kein Infimum der positiven reellen Zahlen innerhalb der komplexen Zahlen mit positivem Realteil. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$${\displaystyle 0,}$

Eine untere Schranke einer Teilmenge einer partiell geordneten Menge ist ein Element von , sodass ${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle y\leq x}$für alle${\displaystyle x\in S.}$

Eine untere Schranke von wird als Infimum (oder größte untere Schranke oder Schnittpunkt ) von bezeichnet, wenn ${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• für alle unteren Schranken von in ( ist größer als jede andere untere Schranke).${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

Analog dazu ist eine obere Schranke einer Teilmenge einer partiell geordneten Menge ein Element von , sodass ${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle z}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle z\geq x}$für alle${\displaystyle x\in S.}$

Eine obere Schranke von wird Supremum (oder kleinste obere Schranke oder Vereinigung ) von genannt , wenn ${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• für alle oberen Schranken von in ( ist kleiner als jede andere obere Schranke).${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

Wir können Suprema und Infima auch definieren, ohne uns auf Mengen zu beschränken. Beispielsweise gibt es keine Menge, die alle Kardinalzahlen enthält (und es gibt keine größte Kardinalzahl), aber das Auswahlaxiom impliziert, dass jede Menge von Kardinalzahlen eine kleinste obere Schranke unter den Kardinalzahlen besitzt. Das Auswahlaxiom ist äquivalent zu der Aussage, dass jede nichtleere Menge von Kardinalzahlen ein kleinstes Element besitzt (welches gleichzeitig das Infimum der Menge ist). Die leere Menge der Kardinalzahlen besitzt viele untere Schranken, aber keine größte untere Schranke unter den Kardinalzahlen.

Infima und Supremum existieren nicht notwendigerweise. Die Existenz eines Infimums einer Teilmenge kann fehlschlagen, wenn die Teilmenge überhaupt keine untere Schranke besitzt oder wenn die Menge der unteren Schranken kein größtes Element enthält. (Ein Beispiel hierfür ist die Teilmenge von . Sie besitzt obere Schranken wie 1,5, aber kein Supremum in .) ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Folglich sind partiell geordnete Mengen, für die bestimmte Infima bekannt sind, von besonderem Interesse. Beispielsweise ist ein Verband eine partiell geordnete Menge, in der alle nichtleeren endlichen Teilmengen sowohl ein Supremum als auch ein Infimum besitzen, und ein vollständiger Verband ist eine partiell geordnete Menge, in der alle Teilmengen sowohl ein Supremum als auch ein Infimum besitzen. Weitere Informationen zu den verschiedenen Klassen partiell geordneter Mengen, die sich aus solchen Überlegungen ergeben, finden sich im Artikel über Vollständigkeitseigenschaften .

Existiert das Supremum einer Teilmenge , so ist es eindeutig. Enthält die Menge ein größtes Element, so ist dieses Element das Supremum; andernfalls gehört das Supremum nicht zu der Menge (oder existiert nicht). Ebenso ist das Infimum, falls es existiert, eindeutig. Enthält die Menge ein kleinstes Element, so ist dieses Element das Infimum; andernfalls gehört das Infimum nicht zu der Menge (oder existiert nicht). ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Das Infimum einer Teilmenge einer partiell geordneten Menge , sofern es existiert, gehört nicht notwendigerweise zu dieser Teilmenge. Gehört es jedoch dazu, so ist es ein Minimum oder kleinstes Element der Teilmenge. Ebenso ist das Supremum einer Teilmenge, wenn es zu dieser Teilmenge gehört, ein Maximum oder größtes Element der Teilmenge.${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

Betrachten wir beispielsweise die Menge der negativen reellen Zahlen (ohne Null). Diese Menge besitzt kein größtes Element, da es zu jedem Element ein weiteres, größeres Element gibt. So gibt es beispielsweise zu jeder negativen reellen Zahl eine andere negative reelle Zahl, die größer ist. Andererseits ist jede reelle Zahl größer oder gleich Null eine obere Schranke dieser Menge. Daher ist die kleinste obere Schranke der negativen reellen Zahlen, und ihr Supremum ist 0. Diese Menge besitzt ein Supremum, aber kein größtes Element. ${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$${\displaystyle 0}$

Die Definition von maximalen und minimalen Elementen ist jedoch allgemeiner. Insbesondere kann eine Menge viele maximale und minimale Elemente haben, während Infima und Suprema eindeutig sind.

Während Maxima und Minima Elemente der betrachteten Teilmenge sein müssen, müssen Infimum und Supremum einer Teilmenge nicht selbst Elemente dieser Teilmenge sein.

Schließlich kann eine partiell geordnete Menge viele minimale obere Schranken besitzen, ohne eine kleinste obere Schranke zu haben. Minimale obere Schranken sind solche oberen Schranken, für die es kein strikt kleineres Element gibt, das gleichzeitig eine obere Schranke ist. Dies bedeutet nicht, dass jede minimale obere Schranke kleiner als alle anderen oberen Schranken ist, sondern lediglich, dass sie nicht größer ist. Die Unterscheidung zwischen „minimal“ und „kleinste“ ist nur dann möglich, wenn die gegebene Ordnung nicht total geordnet ist. In einer total geordneten Menge, wie den reellen Zahlen, sind die Konzepte identisch.

Sei beispielsweise die Menge aller endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen. Betrachten wir nun die partiell geordnete Menge, die entsteht, indem man alle Mengen aus dieser Menge mit der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der positiven reellen Zahlen kombiniert , geordnet nach der oben beschriebenen Teilmengeninklusion. Dann sind sowohl als auch größer als alle endlichen Mengen natürlicher Zahlen. Dennoch ist keine von beiden kleiner als , und die Umkehrung gilt nicht: Beide Mengen sind minimale obere Schranken, aber keine ist ein Supremum. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke ist ein Beispiel für die zuvor genannten Vollständigkeitseigenschaften , die typisch für die Menge der reellen Zahlen sind. Diese Eigenschaft wird manchmal auch Dedekind-Vollständigkeit genannt .

Eine geordnete Menge besitzt die Eigenschaft, dass jede nichtleere Teilmenge von , die eine obere Schranke besitzt, auch eine kleinste obere Schranke besitzt . Sie besitzt die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke. Wie bereits erwähnt, besitzt die Menge aller reellen Zahlen diese Eigenschaft. Ebenso besitzt die Menge der ganzen Zahlen diese Eigenschaft: Ist eine nichtleere Teilmenge von und existiert eine Zahl , sodass jedes Element von kleiner oder gleich ist, so existiert eine kleinste obere Schranke für , die eine obere Schranke für ist und kleiner oder gleich jeder anderen oberen Schranke für ist. Auch eine wohlgeordnete Menge besitzt die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke, und die leere Teilmenge besitzt ebenfalls eine kleinste obere Schranke: das Minimum der gesamten Menge. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Ein Beispiel für eine Menge ohne die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke ist die Menge der rationalen Zahlen. Sei die Menge aller rationalen Zahlen mit . Dann hat eine obere Schranke ( zum Beispiel oder ), aber keine kleinste obere Schranke in : Wenn wir annehmen, dass die kleinste obere Schranke ist, ergibt sich sofort ein Widerspruch, denn zwischen je zwei reellen Zahlen und (einschließlich und ) existiert eine rationale Zahl , die selbst die kleinste obere Schranke sein müsste (falls ) oder ein Element von größer als (falls ). Ein weiteres Beispiel sind die hyperreellen Zahlen ; es gibt keine kleinste obere Schranke in der Menge der positiven Infinitesimale. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

Es gibt eine entsprechende Eigenschaft der größten unteren Schranke ; eine geordnete Menge besitzt die Eigenschaft der größten unteren Schranke genau dann, wenn sie auch die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke besitzt; die kleinste obere Schranke der Menge der unteren Schranken einer Menge ist die größte untere Schranke, und die größte untere Schranke der Menge der oberen Schranken einer Menge ist die kleinste obere Schranke der Menge.

Wenn in einer partiell geordneten Menge jede beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt, so gilt dies auch für jede Menge im Funktionenraum, die alle Funktionen von nach enthält, wobei genau dann gilt, wenn für alle . Zum Beispiel gilt dies für reelle Funktionen und, da diese als Spezialfälle von Funktionen betrachtet werden können, auch für reelle -Tupel und Folgen reeller Zahlen. ${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle n}$

Die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke ist ein Indikator für das Suprema.

In der Analysis sind Infima und Supremum von Teilmengen der reellen Zahlen besonders wichtig. Beispielsweise besitzen die negativen reellen Zahlen kein größtes Element, und ihr Supremum ist (was keine negative reelle Zahl ist). ^{[ 1 ]} Die Vollständigkeit der reellen Zahlen impliziert (und ist äquivalent dazu), dass jede beschränkte, nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen ein Infimum und ein Supremum besitzt. Ist nicht nach unten beschränkt, schreibt man oft formal . Ist leer , schreibt man .${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Wenn es sich um eine beliebige Menge reeller Zahlen handelt, dann gilt genau dann , wenn und sonst ^{[ 2 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A\neq \varnothing }$${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

Setinhalt

Wenn es sich um Mengen reeller Zahlen handelt, dann (wenn dies als ) und${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle A=\varnothing }$${\displaystyle \inf B\leq \infty }$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Bild unter Funktionen: Wenn eine nichtfallende Funktion ist und eine nichtleere beschränkte Teilmenge von ist , dann gilt und , wobei das Bild definiert ist als${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

Identifizierung von Infima und Suprema

Existiert das Infimum von (d. h. ist eine reelle Zahl) und ist eine beliebige reelle Zahl, dann ist genau dann eine untere Schranke, wenn es für jedes ein mit gibt . Analog gilt: Ist eine reelle Zahl und ist eine beliebige reelle Zahl, dann ist genau dann eine obere Schranke, wenn es für jedes ein mit gibt.${\displaystyle A}$${\displaystyle \inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\inf A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=\sup A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Beziehung zu den Grenzwerten von Folgen

Ist eine beliebige nichtleere Menge reeller Zahlen, so existiert stets eine nichtfallende Folge in , sodass . Analog existiert eine (möglicherweise andere) nichtsteigende Folge in , sodass . Insbesondere gehören Infimum und Supremum einer Menge zu ihrem Abschluss , wenn , und wenn , dann .${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

Die Darstellung des Infimums und Supremums als Grenzwert einer solchen Folge ermöglicht die Anwendung von Sätzen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik. Betrachten wir beispielsweise die bekannte Tatsache aus der Topologie : Wenn f eine stetige Funktion und eine Folge von Punkten in ihrem Definitionsbereich ist, die gegen einen Punkt konvergiert, dann konvergiert notwendigerweise gegen . Daraus folgt, dass, wenn k eine reelle Zahl (wobei alle k in ℝ liegen ) und f eine stetige Funktion ist, deren Definitionsbereich k enthält , dann gilt, was (beispielsweise) garantiert ^{[ Anmerkung 1 ]} , dass k ein anliegender Punkt der Menge ist. Wenn die stetige Funktion f zusätzlich zu den genannten Annahmen auch monoton steigend oder monoton fallend ist , dann kann man sogar schließen, dass . Dies lässt sich beispielsweise anwenden, um zu folgern, dass, wenn f eine reell (oder komplex )wertige Funktion mit Definitionsbereich ist , deren Supremumsnorm endlich ist, dann für jede nichtnegative reelle Zahl k gilt, da die durch f definierte Abbildung eine stetige, monoton fallende Funktion ist, deren Definitionsbereich stets k enthält.${\displaystyle f}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$${\displaystyle f(p).}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S,}$$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$${\displaystyle f(\sup S)}$${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{q}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Obwohl sich diese Diskussion auf ähnliche Schlussfolgerungen konzentrierte, lassen sich diese mit entsprechenden Anpassungen (z. B. der Forderung, dass die Folge nicht-steigend statt nicht-fallend sein muss) auch für andere Bereiche erzielen. Weitere Normen, die mithilfe von oder definiert werden , umfassen die schwachen Raumnormen (für ), die Norm auf dem Lebesgue-Raum und Operatornormen . Monotone Folgen in , die gegen (oder gegen ) konvergieren, können ebenfalls verwendet werden, um viele der unten angegebenen Formeln zu beweisen, da Addition und Multiplikation reeller Zahlen stetige Operationen sind. ${\displaystyle \sup ,}$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle \inf }$${\displaystyle L^{p,w}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup S}$${\displaystyle \inf S}$

Die folgenden Formeln basieren auf einer Notation, die arithmetische Operationen auf Mengen auf bequeme Weise verallgemeinert. Dabei handelt es sich stets um Mengen reeller Zahlen. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

Summe von Mengen

Die Minkowski-Summe zweier Mengen und reeller Zahlen ist die Menge aller möglichen arithmetischen Summen von Zahlenpaaren, wobei jede Zahl aus jeder Menge stammt. Infimum und Supremum der Minkowski-Summe erfüllen die Bedingung, dass … ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Produkt von Sets

Die Multiplikation zweier Mengen und reeller Zahlen ist analog zu ihrer Minkowski-Summe definiert: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Wenn und nichtleere Mengen positiver reeller Zahlen sind, dann gilt und analog für Suprema ^{[ 3 ].}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

Skalarprodukt einer Menge

Das Produkt einer reellen Zahl und einer Menge reeller Zahlen ist die Menge ${\displaystyle r}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Wenn dann während wenn dann Im Fall , hat man, wenn Unter Verwendung von und der Notation folgt, dass ${\displaystyle r>0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$${\displaystyle r<0}$$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle A\neq \varnothing }$$${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$${\displaystyle r=-1}$${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Multiplikatives Inverses einer Menge

Für jede Menge , die nicht enthält, lasse ${\displaystyle S}$${\displaystyle 0,}$$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Wenn nicht leer ist, dann gilt diese Gleichung auch dann, wenn die Definition verwendet wird. ^{[ Anmerkung 2 ]} Diese Gleichung kann alternativ auch geschrieben werden als : Außerdem gilt genau dann, wenn: wenn ^{[ Anmerkung 2 ]} dann${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$${\displaystyle \inf _{}S=0}$${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$${\displaystyle \inf _{}S>0,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Bezeichnet man mit die partiell geordnete Menge mit der umgekehrten Ordnungsrelation , so erklärt man für alle : , dann ist das Infimum einer Teilmenge in gleich dem Supremum von in und umgekehrt. ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Für Teilmengen der reellen Zahlen gilt eine andere Art von Dualität: wo${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

• Das Infimum der Zahlenmenge ist Die Zahl ist eine untere Schranke, aber nicht die größte untere Schranke und daher nicht das Infimum.${\displaystyle \{2,3,4\}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle 1}$
• More generally, if a set has a smallest element, then the smallest element is the infimum for the set. In this case, it is also called the minimum of the set.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• If ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ is a decreasing sequence with limit ${\displaystyle x,}$ then ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• The supremum of the set of numbers ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ is ${\displaystyle 3.}$ The number ${\displaystyle 4}$ is an upper bound, but it is not the least upper bound, and hence is not the supremum.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.

One basic property of the supremum is $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ for any functionals${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g.}$

The supremum of a subset ${\displaystyle S}$ of ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ where ${\displaystyle \,\mid \,}$ denotes "divides", is the lowest common multiple of the elements of ${\displaystyle S.}$

The supremum of a set ${\displaystyle S}$ containing subsets of some set ${\displaystyle X}$ is the union of the subsets when considering the partially ordered set ${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$, where ${\displaystyle P}$ is the power set of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ is subset.

• Essential supremum and essential infimum – Infimum and supremum almost everywherePages displaying short descriptions of redirect targets
• Greatest element and least element – Concept in mathematics
• Maximal and minimal elements – Extreme element of a preorder
• Limit superior and limit inferior – Bounds of a sequencePages displaying short descriptions of redirect targets (infimum limit)
• Upper and lower bounds – Majorant and minorant in mathematics

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26. Juni 2009). Variationsanalyse . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313OCLC  883392544 .​

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