In der Mathematik , insbesondere in der Ordnungstheorie , ist eine obere Schranke oder Majorante [ 1 ] einer Teilmenge S einer vorgeordneten Menge ( K , ≤) ein Element von K , das größer oder gleich jedem Element von S ist . [ 2 ] [ 3 ] Dual dazu ist eine untere Schranke oder Minorante von S definiert als ein Element von K , das kleiner oder gleich jedem Element von S ist . Eine Menge mit einer oberen (bzw. unteren) Schranke heißt durch diese Schranke nach oben beschränkt oder majorisiert [ 1 ] (bzw. nach unten beschränkt oder minorisiert ). Die Begriffe „ nach oben beschränkt“ (bzw. „ nach unten beschränkt“ ) werden in der mathematischen Literatur ebenfalls für Mengen verwendet, die obere (bzw. untere) Schranken besitzen. [ 4 ]
Beispiele
Beispielsweise ist 5 eine untere Schranke für die Menge S = {5, 8, 42, 34, 13934} (als Teilmenge der ganzen Zahlen oder der reellen Zahlen usw.), ebenso wie 4. Andererseits ist 6 keine untere Schranke für S , da sie nicht kleiner als jedes Element in S ist . 13934 und andere Zahlen x mit x ≥ 13934 wären eine obere Schranke für S.
Die Menge S = {42} hat 42 als obere und untere Grenze; alle anderen Zahlen sind entweder eine obere oder eine untere Grenze für dieses S.
Jede Teilmenge der natürlichen Zahlen hat eine untere Schranke, da die natürlichen Zahlen ein kleinstes Element besitzen (0 oder 1, je nach Konvention). Eine unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen kann nicht nach oben beschränkt sein. Eine unendliche Teilmenge der ganzen Zahlen kann nach unten oder nach oben beschränkt sein, aber nicht beides. Eine unendliche Teilmenge der rationalen Zahlen kann nach unten und/oder nach oben beschränkt sein.
Jede endliche Teilmenge einer nichtleeren total geordneten Menge besitzt sowohl eine obere als auch eine untere Schranke.
Grenzen von Funktionen
Die Definitionen lassen sich auf Funktionen und sogar auf Mengen von Funktionen verallgemeinern .
Gegeben sei eine Funktion f mit Definitionsbereich D und einer vorgeordneten Menge ( K , ≤) als Zielmenge . Ein Element y aus K ist eine obere Schranke von f , wenn y ≥ f ( x ) für jedes x ∈ D gilt. Die obere Schranke heißt scharf, wenn die Gleichheit für mindestens einen Wert von x gilt . Dies bedeutet, dass die Nebenbedingung optimal ist und daher nicht weiter reduziert werden kann, ohne die Ungleichung zu verletzen.
Eine Funktion g, die auf einem Definitionsbereich D mit demselben Zielbereich ( K , ≤) definiert ist , ist eine obere Schranke von f , wenn g ( x ) ≥ f ( x ) für alle x ∈ D gilt. Weiterhin heißt die Funktion g eine obere Schranke einer Menge von Funktionen, wenn sie eine obere Schranke jeder Funktion dieser Menge ist.
Der Begriff der unteren Schranke für (Mengen von) Funktionen wird analog definiert, indem ≥ durch ≤ ersetzt wird.
Enge Grenzen
Eine obere Schranke heißt scharfe obere Schranke , kleinste obere Schranke oder Supremum , wenn kein kleinerer Wert eine obere Schranke darstellt. Analog dazu heißt eine untere Schranke scharfe untere Schranke , größte untere Schranke oder Infimum , wenn kein größerer Wert eine untere Schranke darstellt.
Exakte obere Schranken
Eine obere Schranke u einer Teilmenge S einer vorgeordneten Menge ( K , ≤) heißt exakte obere Schranke für S , wenn jedes Element von K , das durch u strikt majorisiert wird, auch durch ein Element von S majorisiert wird . Exakte obere Schranken reduzierter Produkte linearer Ordnungen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der vorgeordneten Mengen . [ 5 ]
Siehe auch
Referenzen
- ^ a b Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologische Vektorräume . GTM . Band 8. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. S. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135 .
- ^ Mac Lane, Saunders ; Birkhoff , Garrett (1991). Algebra . Providence, RI: American Mathematical Society . S. 145. ISBN 0-8218-1646-2Die
- ^ „Obergrenzendefinition (Illustriertes Mathematikwörterbuch)“ . Mathematik macht Spaß . Abgerufen am 3. Dezember 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. „Upper Bound“ . mathworld.wolfram.com . Abgerufen am 3. Dezember 2019 .
- ^ Kojman, Menachem (21. August 1998). „Exakte obere Schranken und ihre Anwendung in der Mengenlehre“ . Annals of Pure and Applied Logic . 92 (3): 267–282 . doi : 10.1016/S0168-0072(98)00011-6 .
