Isometrische Projektion

Die isometrische Projektion ist eine Methode zur zweidimensionalen Darstellung dreidimensionaler Objekte in technischen Zeichnungen . Es handelt sich um eine axonometrische Projektion, bei der die drei Koordinatenachsen gleichmäßig verkürzt erscheinen und der Winkel zwischen je zwei Achsen 120 Grad beträgt.

Isometrische Zeichnung eines Würfels

Um diese Perspektive zu erreichen, sind Kameradrehungen erforderlich.

Der Begriff „isometrisch“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet „gleiches Maß“. Er spiegelt wider, dass der Maßstab entlang jeder Achse der Projektion gleich ist (im Gegensatz zu einigen anderen Formen der grafischen Projektion ).

Eine isometrische Ansicht eines Objekts erhält man, indem man die Blickrichtung so wählt, dass die Winkel zwischen den Projektionen der x- , y- und z -Achse jeweils gleich groß sind (120°). Bei einem Würfel beispielsweise blickt man zunächst direkt auf eine seiner Flächen. Anschließend wird der Würfel um ±45° um die vertikale Achse gedreht, gefolgt von einer Drehung um etwa 35,264° (genau arcsin 1 / √3 oder arctan 1 / √2 , was mit dem magischen Winkel zusammenhängt) um die horizontale Achse. Man beachte , dass der Umfang der resultierenden 2D-Zeichnung des Würfels (siehe Abbildung) ein perfektes regelmäßiges Sechseck ist: Alle schwarzen Linien sind gleich lang und alle Würfelflächen haben die gleiche Fläche. Um diesen Effekt ohne Berechnung zu erzielen, kann man isometrisches Millimeterpapier unter ein normales Zeichenpapier legen.

Auf ähnliche Weise lässt sich in einer 3D-Szene eine isometrische Ansicht erzeugen. Ausgehend von einer parallel zum Boden und an den Koordinatenachsen ausgerichteten Kamera wird diese zunächst horizontal (um die vertikale Achse) um ±45° und anschließend um 35,264° um die horizontale Achse gedreht.

Eine weitere Möglichkeit, die isometrische Projektion zu visualisieren, besteht darin, einen Blick in einen würfelförmigen Raum zu betrachten, beginnend in einer oberen Ecke und mit Blick auf die gegenüberliegende, untere Ecke. Die x -Achse verläuft diagonal nach unten und rechts, die y -Achse diagonal nach unten und links, und die z -Achse verläuft senkrecht nach oben. Die Tiefe wird durch die Höhe im Bild dargestellt. Die entlang der Achsen gezeichneten Linien schließen einen Winkel von 120° zueinander ein.

In all diesen Fällen, wie bei allen axonometrischen und orthografischen Projektionen , bräuchte eine solche Kamera ein telezentrisches Objektiv im Objektraum , damit sich die projizierten Längen nicht mit der Entfernung von der Kamera ändern.

Der Begriff „isometrisch“ wird oft fälschlicherweise allgemein für axonometrische Projektionen verwendet. Tatsächlich gibt es jedoch drei Arten von axonometrischen Projektionen: isometrische , dimetrische und schräge .

Von den beiden für eine isometrische Projektion benötigten Winkeln mag der Wert des zweiten zunächst kontraintuitiv erscheinen und bedarf daher einer genaueren Erklärung. Stellen wir uns zunächst einen Würfel mit der Kantenlänge 2 vor, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Das bedeutet, dass alle seine Flächen die Achsen im Abstand 1 vom Ursprung schneiden. Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich die Länge der Linie vom Mittelpunkt des Würfels zur Mitte einer beliebigen Kante als √2 berechnen . Durch eine Drehung des Würfels um 45° um die x -Achse wird der Punkt (1, 1, 1) somit zu (1, 0, √2 ) , wie in der Abbildung dargestellt. Die zweite Drehung zielt darauf ab , denselben Punkt auf die positive z -Achse zu bringen und erfordert daher eine Drehung um den Arkustangens von 1 / √2 , also ungefähr 35,264°.

Es gibt acht verschiedene Orientierungen, um eine isometrische Ansicht zu erhalten, je nachdem, in welchen Oktanten der Betrachter blickt. Die isometrische Transformation von einem Punkt a ( _{x , y , z)} im dreidimensionalen Raum zu einem Punkt b ( _{x , y)} im zweidimensionalen Raum, mit Blick in den ersten Oktanten, lässt sich mathematisch mit Rotationsmatrizen wie folgt ausdrücken: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{-\sin \alpha }\\0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\-1&2&-1\\{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

wobei α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° und β = 45°. Wie oben erläutert, handelt es sich um eine Drehung um die vertikale (hier y ) Achse um β , gefolgt von einer Drehung um die horizontale (hier x ) Achse um α . Anschließend erfolgt eine orthografische Projektion auf die xy -Ebene: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

Die übrigen 7 Möglichkeiten ergeben sich entweder durch Drehen auf die entgegengesetzte Seite oder durch Nicht-Drehen und anschließendes Invertieren der Blickrichtung oder nicht. ^{[ 1 ]}

Optisches Schleifmaschinenmodell (1822), in 30°-Isometrie gezeichnet ^{[ 2 ]}

Beispiel axonometrischer Kunst in einer illustrierten Ausgabe des Romans der Drei Reiche , China, ca. 15. Jahrhundert

Das Konzept der Isometrie , das erstmals von Professor William Farish (1759–1837) formalisiert wurde, existierte bereits seit Jahrhunderten in einer groben empirischen Form. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Ab Mitte des 19. Jahrhunderts wurde die Isometrie zu einem „unverzichtbaren Werkzeug für Ingenieure, und bald darauf wurden Axonometrie und Isometrie in die Lehrpläne von Architekturausbildungen in Europa und den USA aufgenommen.“ ^{[ 5 ]} Laut Jan Krikke (2000) ^{[ 6 ]} hat die Axonometrie jedoch ihren Ursprung in China. Ihre Funktion in der chinesischen Kunst ähnelte der linearen Perspektive in der europäischen Kunst. Die Axonometrie und die dazugehörige Bildsprache haben mit dem Aufkommen des visuellen Rechnens eine neue Bedeutung erlangt. ^{[ 6 ]}

Ein Beispiel für die Grenzen der isometrischen Projektion. Der Höhenunterschied zwischen den roten und blauen Kugeln kann lokal nicht bestimmt werden.

Die Penrose-Treppe stellt eine Treppe dar, die scheinbar aufwärts (gegen den Uhrzeigersinn) oder abwärts (im Uhrzeigersinn) führt, aber dennoch eine geschlossene Schleife bildet.

Wie bei allen Arten der Parallelprojektion erscheinen Objekte in isometrischer Projektion nicht größer oder kleiner, je näher oder weiter vom Betrachter entfernt sie sich befinden. Dies ist zwar vorteilhaft für Architekturzeichnungen, bei denen Maße direkt erfasst werden müssen, führt aber zu einer wahrgenommenen Verzerrung, da die isometrische Projektion – anders als die perspektivische Projektion – nicht der natürlichen Wahrnehmung des menschlichen Sehens oder der Fotografie entspricht. Dadurch können leicht Situationen entstehen, in denen Tiefe und Höhe schwer einzuschätzen sind, wie die Abbildung rechts oder oben zeigt. Dies kann paradoxe oder unmögliche Formen erzeugen , wie beispielsweise die Penrose-Treppe .

Isometrische Videospielgrafiken sind Grafiken, die in Videospielen und Pixelgrafiken verwendet werden. Sie nutzen eine Parallelprojektion , aber durch die Winkelung des Blickwinkels werden Aspekte der Umgebung sichtbar, die aus der Draufsicht oder Seitenansicht nicht erkennbar wären . Dadurch entsteht ein dreidimensionaler Effekt . Trotz des Namens sind isometrische Computergrafiken nicht unbedingt wirklich isometrisch – d. h., die x- , y- und z -Achse stehen nicht zwangsläufig im 120°-Winkel zueinander. Stattdessen werden verschiedene Winkel verwendet, wobei die dimetrische Projektion und ein Pixelverhältnis von 2:1 am häufigsten vorkommen. Die Begriffe „ 3 / 4 -Perspektive“, „ 3 / 4 -Ansicht“, „ 2,5D “ und „Pseudo-3D“ werden ebenfalls gelegentlich verwendet, obwohl sie in anderen Kontexten leicht abweichende Bedeutungen haben können.

Die einst weit verbreitete isometrische Projektion verlor mit dem Aufkommen leistungsfähigerer 3D-Grafiksysteme und der zunehmenden Fokussierung von Videospielen auf Action und individuelle Charaktere an Bedeutung. ^{[ 7 ]} In der Indie- Szene erleben Videospiele mit isometrischer Projektion – insbesondere Computer-Rollenspiele – in den letzten Jahren jedoch ein Comeback . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Grafische Projektion

• Isometrische Projektion, archiviert am 30.03.2021 im Internetarchiv (Wayback Machine) .