Satz von Jurkat-Richert

Der Satz von Jurkat-Richert ist ein mathematischer Satz aus der Siebtheorie . Er ist ein Schlüsselelement in Beweisen des Satzes von Chen zur Goldbachschen Vermutung . ^{[ 1 ] : 272} Er wurde 1965 von Wolfgang B. Jurkat und Hans-Egon Richert bewiesen . ^{[ 2 ]}

Diese Formulierung stammt von Diamond & Halberstam [ ^{3 ] : 81.} Weitere Formulierungen finden sich bei Jurkat & Richert ^{[ 2 ] : 230} , Halberstam & Richert ^{[ 4 ] : ​​231} und Nathanson ^{[ 1 ] : 257} .

Sei A eine endliche Folge von ganzen Zahlen und P die Menge der Primzahlen. Wir bezeichnen mit A _^d die Anzahl der Elemente in A , die durch d teilbar sind , und mit P ( z ) das Produkt der Elemente in P , die kleiner als z sind . ω( d ) sei eine multiplikative Funktion, sodass ω( p )/ p näherungsweise dem Anteil der durch p teilbaren Elemente in A entspricht . X sei eine beliebige geeignete Approximation von | A |. Der Rest sei …

${\displaystyle r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.}$

Bezeichne S ( A , P , z ) als die Anzahl der Elemente in A , die teilerfremd zu P ( z ) sind.

${\displaystyle V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).}$

Bezeichne ν( m ) als die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m . Bezeichne F ₁ und f ₁ als Funktionen, die bestimmte Differenzialgleichungen erfüllen (siehe Diamond & Halberstam ^{[ 3 ] : 67–68} für die Definition und Eigenschaften).

Wir nehmen an, dass die Dimension (Siebdichte) 1 ist: das heißt, es gibt eine Konstante C, sodass für 2 ≤ z < w gilt:

${\displaystyle \prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).}$

(Das Buch von Diamond & Halberstam ^{[ 3 ]} erweitert den Satz auf Dimensionen höher als 1.) Dann besagt der Satz von Jurkat-Richert, dass für beliebige Zahlen y und z mit 2 ≤ z ≤ y ≤ X gilt:

${\displaystyle S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|}$

Und

${\displaystyle S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.}$