Riemann-von-Mangoldt-Formel

In der Mathematik beschreibt die Riemann-von-Mangoldt-Formel , benannt nach Bernhard Riemann und Hans Carl Friedrich von Mangoldt , die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion .

Die Formel besagt, dass die Anzahl N ( T ) der Nullstellen der Zetafunktion mit einem Imaginärteil größer als 0 und kleiner oder gleich T die folgende Bedingung erfüllt:

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log {T}).}$

Die Formel wurde von Riemann in seiner bemerkenswerten Arbeit „ Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als einer gegebenen Größe “ (1859) angegeben und schließlich von Mangoldt im Jahr 1905 bewiesen.

Backlund gibt eine explizite Form des Fehlers für alle T > 2 an:

${\displaystyle \left\vert {N(T)-\left({{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}}-{\frac {7}{8}}\right)}\right\vert <0.137\log T+0.443\log \log T+4.350\ .}$

Unter den Lindelöf- und Riemann -Hypothesen lässt sich der Fehlerterm auf bzw. verbessern . ^{[ 1 ]}${\displaystyle o(\log {T})}$${\displaystyle O(\log {T}/\log {\log {T}})}$

Eine genauere Formel geben Anatolii A. Karatsuba und MA Korolev. ^{[ 2 ]}

Analog gilt für jeden primitiven Dirichlet-Charakter χ modulo q :

${\displaystyle N(T,\chi )={\frac {T}{\pi }}\log {\frac {qT}{2\pi e}}+O(\log {qT}),}$

wobei N(T,χ) die Anzahl der Nullstellen von L(s,χ) mit einem Imaginärteil zwischen -T und T bezeichnet .

• Edwards, H. M. (1974). Riemannsche Zetafunktion . Reine und Angewandte Mathematik. Band 58. New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0. Zbl  0315.10035 .
• Ivić, Aleksandar (2013). Die Theorie der Hardy- Z- Funktion . Cambridge Tracts in Mathematics. Band 196. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl  1269.11075 .
• Patterson, SJ (1988). Einführung in die Theorie der Riemannschen Zetafunktion . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 14. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-33535-3. Zbl  0641.10029 .
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), Die Theorie der Riemannschen Zetafunktion (2. Aufl.), The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR  0882550
• Karatsuba, AA; Korolev, MA (2005), „Das Argument der Riemannschen Zetafunktion“ , Russian Mathematical Surveys , 60 (3): 433–488 , doi : 10.1070/RM2005v060n03ABEH000848