Kriging

In der Statistik , ursprünglich in der Geostatistik , ist Kriging ( auch bekannt als Gaußprozessregression) eine Interpolationsmethode , die auf einem Gaußprozess mit a priori angenommenen Kovarianzen basiert . Unter geeigneten Annahmen über die a priori Verteilung liefert Kriging die beste lineare unverzerrte Vorhersage ( BLUP) an nicht beprobten Stellen. ^{[ 1 ]} Interpolationsmethoden , die auf anderen Kriterien wie Glättung (z. B. Glättungs-Splines ) beruhen, liefern möglicherweise nicht die BLUP. Die Methode findet breite Anwendung in der räumlichen Analyse und in Computersimulationen . Sie ist auch als Wiener-Kolmogorov-Vorhersage bekannt , benannt nach Norbert Wiener und Andrey Kolmogorov .

Die theoretischen Grundlagen der Methode wurden 1960 von dem französischen Mathematiker Georges Matheron auf Basis der Masterarbeit von Danie G. Krige entwickelt , dem Pionier der distanzgewichteten durchschnittlichen Goldgehaltsbestimmung im Witwatersrand -Riffkomplex in Südafrika . Krige versuchte, die wahrscheinlichste Goldverteilung anhand von Proben aus wenigen Bohrlöchern zu schätzen. Das englische Verb lautet „ to krige“ , das gebräuchlichste Substantiv ist „kriging“ . In der Literatur wird das Wort manchmal großgeschrieben: „Kriging“ .

Obwohl Kriging in seiner Grundformulierung rechenintensiv ist, kann es mithilfe verschiedener Näherungsverfahren auf größere Probleme skaliert werden .

Kriging sagt den Wert einer Funktion an einem gegebenen Punkt voraus, indem es einen gewichteten Mittelwert der bekannten Funktionswerte in der Umgebung dieses Punktes berechnet. Die Methode ist eng mit der Regressionsanalyse verwandt . Beide Ansätze leiten einen besten linearen erwartungstreuen Schätzer auf Basis von Annahmen über Kovarianzen ab , nutzen den Satz von Gauß-Markov , um die Unabhängigkeit von Schätzung und Fehler zu beweisen, und verwenden sehr ähnliche Formeln. Dennoch sind sie in unterschiedlichen Kontexten anwendbar: Kriging dient der Schätzung einer einzelnen Realisierung eines Zufallsfeldes, während Regressionsmodelle auf mehreren Beobachtungen eines multivariaten Datensatzes basieren.

Die Kriging-Schätzung kann auch als Spline in einem reproduzierenden Kern-Hilbertraum betrachtet werden , wobei der reproduzierende Kern durch die Kovarianzfunktion gegeben ist. ^{[ 2 ]} Der Unterschied zum klassischen Kriging-Ansatz liegt in der Interpretation: Während der Spline durch eine Minimumnorm-Interpolation basierend auf einer Hilbertraumstruktur motiviert ist, basiert Kriging auf einem erwarteten quadratischen Vorhersagefehler, der auf einem stochastischen Modell beruht.

Kriging mit polynomialen Trendflächen ist mathematisch identisch mit der verallgemeinerten Methode der kleinsten Quadrate zur Anpassung polynomialer Kurven .

Kriging kann auch als eine Form der Bayes'schen Optimierung verstanden werden . ^{[ 3 ]} Kriging beginnt mit einer A-priori -Verteilung über Funktionen . Diese A-priori-Verteilung hat die Form eines Gaußprozesses: Stichproben einer Funktion sind normalverteilt , wobei die Kovarianz zwischen je zwei Stichproben der Kovarianzfunktion (oder dem Kernel ) des Gaußprozesses entspricht, ausgewertet an der räumlichen Position der beiden Punkte. Anschließend wird eine Menge von Werten beobachtet, wobei jeder Wert einer räumlichen Position zugeordnet ist. Nun kann an jeder neuen räumlichen Position ein neuer Wert vorhergesagt werden, indem die Gaußsche A-priori-Verteilung mit einer Gaußschen Likelihood-Funktion für jeden der beobachteten Werte kombiniert wird. Die resultierende A-posteriori -Verteilung ist ebenfalls Gaußsch, mit einem Mittelwert und einer Kovarianz, die sich einfach aus den beobachteten Werten, ihrer Varianz und der aus der A-priori-Verteilung abgeleiteten Kernmatrix berechnen lassen. ${\displaystyle N}$

In geostatistischen Modellen werden Stichprobendaten als Ergebnis eines Zufallsprozesses interpretiert. Die Tatsache, dass diese Modelle Unsicherheiten in ihre Konzeptualisierung einbeziehen, bedeutet nicht, dass das Phänomen – der Wald, der Grundwasserleiter, die Lagerstätte – aus einem Zufallsprozess entstanden ist. Vielmehr ermöglicht sie es, eine methodische Grundlage für die räumliche Schätzung von Größen an nicht beobachteten Orten zu schaffen und die mit dem Schätzer verbundene Unsicherheit zu quantifizieren.

Ein stochastischer Prozess ist im Kontext dieses Modells lediglich eine Methode, um sich den aus den Stichproben gesammelten Daten anzunähern. Der erste Schritt der geostatistischen Modulation besteht darin, einen Zufallsprozess zu erstellen, der die beobachteten Daten bestmöglich beschreibt.

Ein Wert aus einem Ort (allgemeine Bezeichnung für einen Satz geografischer Koordinaten ) wird als Realisierung der Zufallsvariablen interpretiert . Im Raum , in dem die Stichprobenmenge verteilt ist, existieren Realisierungen der Zufallsvariablen , die untereinander korreliert sind. ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle z(x_{1})}$${\displaystyle Z(x_{1})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})}$

Die Menge der Zufallsvariablen bildet eine Zufallsfunktion, von der nur eine Realisierung bekannt ist – die Menge der beobachteten Daten. Mit nur einer Realisierung jeder Zufallsvariablen ist es theoretisch unmöglich, statistische Parameter der einzelnen Variablen oder der Funktion zu bestimmen. Der vorgeschlagene Lösungsansatz im geostatistischen Formalismus besteht darin, verschiedene Grade der Stationarität in der Zufallsfunktion anzunehmen , um die Schätzung einiger statistischer Werte zu ermöglichen. ${\displaystyle z(x_{i})}$

Wenn man beispielsweise aufgrund der Homogenität der Stichproben in dem Gebiet, in dem die Variable verteilt ist, die Hypothese aufstellt, dass das erste Moment stationär ist (d. h. alle Zufallsvariablen haben den gleichen Mittelwert), dann geht man davon aus, dass der Mittelwert durch das arithmetische Mittel der Stichprobenwerte geschätzt werden kann. ${\displaystyle A}$

Die Hypothese der Stationarität bezüglich des zweiten Moments ist folgendermaßen definiert: Die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen hängt ausschließlich vom räumlichen Abstand zwischen ihnen ab und ist unabhängig von ihrem Ort. Wenn also und , dann gilt: ${\displaystyle \mathbf {h} =x_{2}-x_{1}}$${\displaystyle h=|\mathbf {h} |}$

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),}$

${\displaystyle \gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).}$

Der Einfachheit halber definieren wir und . ${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$${\displaystyle \gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$

Diese Hypothese erlaubt es, auf diese beiden Maße – das Variogramm und das Kovariogramm – zu schließen :

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},}$

${\displaystyle C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},}$

Wo:

${\displaystyle m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}\left(Z(x_{i})+Z(x_{j})\right)}$;

${\displaystyle N(h)}$bezeichnet die Menge der Paare von Beobachtungen, für die gilt , und ist die Anzahl der Paare in der Menge.${\displaystyle i,\;j}$${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|=h}$${\displaystyle |N(h)|}$

In dieser Menge bezeichnen und dasselbe Element. Im Allgemeinen wird ein „ungefährer Abstand“ verwendet, der mit einer bestimmten Toleranz implementiert wird. ${\displaystyle (i,\;j)}$${\displaystyle (j,\;i)}$${\displaystyle h}$

Die räumliche Inferenz bzw. Schätzung einer Größe an einem nicht beobachteten Ort wird aus einer linearen Kombination der beobachteten Werte und Gewichtungen berechnet : ${\displaystyle Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).}$

Die Gewichtungen sollen zwei äußerst wichtige Verfahrensschritte in einem räumlichen Inferenzprozess zusammenfassen: ${\displaystyle w_{i}}$

• die strukturelle "Nähe" der Proben zum Schätzort widerspiegeln ;${\displaystyle x_{0}}$
• Gleichzeitig sollten sie einen Desegregationseffekt haben, um Verzerrungen durch mögliche Stichprobencluster zu vermeiden .

Bei der Berechnung der Gewichte verfolgt der geostatistische Formalismus zwei Ziele: Unvoreingenommenheit und minimale Varianz der Schätzung . ${\displaystyle w_{i}}$

Trägt man die Punktwolke der realen Werte gegen die geschätzten Werte auf , so bedeutet das Kriterium für globale Unverzerrtheit, intrinsische Stationarität oder Stationarität im weiteren Sinne des Feldes, dass der Mittelwert der Schätzungen gleich dem Mittelwert der realen Werte sein muss. ${\displaystyle Z(x_{0})}$${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$

Das zweite Kriterium besagt, dass der Mittelwert der quadrierten Abweichungen minimal sein muss, was bedeutet, dass der Schätzer umso ungenauer ist, je größer die Streuung der Schätzwerte im Vergleich zur Streuung der tatsächlichen Werte ist.${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$

Abhängig von den stochastischen Eigenschaften des Zufallsfeldes und den verschiedenen angenommenen Stationaritätsgraden lassen sich unterschiedliche Methoden zur Berechnung der Gewichte ableiten, d. h. verschiedene Kriging-Verfahren kommen zum Einsatz. Klassische Methoden sind:

• Das gewöhnliche Kriging geht davon aus, dass der unbekannte Mittelwert nur in der Suchumgebung konstant ist .${\displaystyle x_{0}}$
• Beim einfachen Kriging wird die Stationarität des ersten Moments über den gesamten Bereich mit einem bekannten Mittelwert angenommen: , wobei der bekannte Mittelwert ist.${\displaystyle E\{Z(x)\}=E\{Z(x_{0})\}=m}$${\displaystyle m}$
• Universelles Krigingsetzt ein allgemeines polynomiales Trendmodell voraus, wie zum Beispiel ein lineares Trendmodell .${\displaystyle \textstyle E\{Z(x)\}=\sum _{k=0}^{p}\beta _{k}f_{k}(x)}$
• IRFk-Krigingwird als ein unbekanntes Polynom in angenommen .${\displaystyle E\{Z(x)\}}$${\displaystyle x}$
• Indikator-KrigingVerwendet Indikatorfunktionen anstelle des Prozesses selbst, um Übergangswahrscheinlichkeiten abzuschätzen.
  • Mehrfachindikator-Kriging is a version of indicator kriging working with a family of indicators. Initially, MIK showed considerable promise as a new method that could more accurately estimate overall global mineral deposit concentrations or grades. However, these benefits have been outweighed by other inherent problems of practicality in modelling due to the inherently large block sizes used and also the lack of mining scale resolution. Conditional simulation is fast, becoming the accepted replacement technique in this case.
• Disjunctive kriging is a nonlinear generalisation of kriging.
• Log-normal kriging interpolates positive data by means of logarithms.
• Latent kriging assumes the various krigings on the latent level (second stage) of the nonlinear mixed-effects model to produce a spatial functional prediction.^[4] This technique is useful when analyzing a spatial functional data ${\displaystyle \{(y_{i},x_{i},s_{i})\}_{i=1}^{n}}$, where ${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{iT_{i}})^{\top }}$ is a time series data over ${\displaystyle T_{i}}$ period, ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ip})^{\top }}$ is a vector of ${\displaystyle p}$ covariates, and ${\displaystyle s_{i}=(s_{i1},s_{i2})^{\top }}$ is a spatial location (longitude, latitude) of the ${\displaystyle i}$-th subject.
• Co-kriging denotes the joint kriging of data from multiple sources with a relationship between the different data sources.^[5] Co-kriging is also possible in a Bayesian approach.^[6][7]
• Bayesian kriging departs from the optimization of unknown coefficients and hyperparameters, which is understood as a maximum likelihood estimate from the Bayesian perspective. Instead, the coefficients and hyperparameters are estimated from their expectation values. An advantage of Bayesian kriging is, that it allows to quantify the evidence for and the uncertainty of the kriging emulator.^[8] If the emulator is employed to propagate uncertainties, the quality of the kriging emulator can be assessed by comparing the emulator uncertainty to the total uncertainty (see also Bayesian Polynomial Chaos). Bayesian kriging can also be mixed with co-kriging.^[6][7]

The unknown value ${\displaystyle Z(x_{0})}$ is interpreted as a random variable located in ${\displaystyle x_{0}}$, as well as the values of neighbors samples ${\displaystyle Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N}$. The estimator ${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$ is also interpreted as a random variable located in ${\displaystyle x_{0}}$, a result of the linear combination of variables.

Kriging seeks to minimize the mean square value of the following error in estimating ${\displaystyle Z(x_{0})}$, subject to lack of bias:

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

Die beiden zuvor genannten Qualitätskriterien können nun durch den Mittelwert und die Varianz der neuen Zufallsvariablen ausgedrückt werden : ${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$

Unvoreingenommenheit

Da die Zufallsfunktion stationär ist, müssen die Gewichte in der Summe 1 ergeben, um sicherzustellen, dass das Modell unverzerrt ist. Dies lässt sich wie folgt veranschaulichen: ${\displaystyle E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m}$

${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.}$

Minimale Abweichung

Zwei Schätzer können denselben Mittelwert haben , aber die Streuung um ihren Mittelwert bestimmt den Unterschied in der Qualität der Schätzer. Um einen Schätzer mit minimaler Varianz zu finden, müssen wir die Varianz minimieren . ${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0}$${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})^{2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Eine detaillierte Erklärung finden Sie in der Kovarianzmatrix .

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},}$

wobei die wörtlichen Werte für Folgendes stehen ${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}}$

${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.}$

Sobald das Kovarianzmodell oder Variogramm , oder , das in allen Bereichen der Analyse von gültig ist , definiert ist, können wir einen Ausdruck für die Schätzvarianz eines beliebigen Schätzers in Abhängigkeit von der Kovarianz zwischen den Stichproben und den Kovarianzen zwischen den Stichproben und dem zu schätzenden Punkt schreiben: ${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$${\displaystyle Z(x)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}}$

Aus diesem Ausdruck lassen sich einige Schlussfolgerungen ziehen. Die Varianz der Schätzung:

• ist mit keinem linearen Schätzer quantifizierbar, sobald die Stationarität des Mittelwerts und der räumlichen Kovarianzen bzw. Variogramme angenommen wird;
• Sie steigt, wenn die Kovarianz zwischen den Stichproben und dem zu schätzenden Punkt abnimmt. Das bedeutet, dass die Schätzung umso schlechter wird, je weiter die Stichproben vom zu schätzenden Punkt entfernt sind;${\displaystyle x_{0}}$
• wächst mit der a priori Varianz der Variablen ; wenn die Variable weniger streut, ist die Varianz an jedem Punkt des Gebiets geringer ;${\displaystyle C(0)}$${\displaystyle Z(x)}$${\displaystyle A}$
• Sie ist unabhängig von den Werten der Stichproben, was bedeutet, dass dieselbe räumliche Konfiguration (mit denselben geometrischen Beziehungen zwischen den Stichproben und dem zu schätzenden Punkt) in jedem Teil des Gebiets immer dieselbe Schätzvarianz ergibt ; auf diese Weise misst die Varianz nicht die durch die lokale Variable hervorgerufene Unsicherheit der Schätzung.${\displaystyle A}$

Gleichungssystem

${\displaystyle W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).}$

Die Lösung dieses Optimierungsproblems (siehe Lagrange-Multiplikatoren ) führt zum Kriging-System :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.}$

Der zusätzliche Parameter ist ein Lagrange-Multiplikator , der bei der Minimierung des Kriging-Fehlers verwendet wird , um die Unvoreingenommenheitsbedingung zu erfüllen. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$

Einfaches Kriging ist mathematisch die einfachste, aber auch die am wenigsten allgemeine Methode. ^{[ 9 ]} Es setzt voraus, dass der Erwartungswert des Zufallsfeldes bekannt ist und basiert auf einer Kovarianzfunktion . In den meisten Anwendungen sind jedoch weder der Erwartungswert noch die Kovarianzfunktion im Voraus bekannt.

Die praktischen Annahmen für die Anwendung des einfachen Krigings sind:

• Stationarität des Feldes im weiteren Sinne (Varianzstationarität).
• Der Erwartungswert ist überall null: .${\displaystyle \mu (x)=0}$
• Bekannte Kovarianzfunktion .${\displaystyle c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}}$

Die Wahl der Kovarianzfunktion ist entscheidend, da sie die Eigenschaften des Gaußprozesses und damit das Verhalten des Modells bestimmt. Sie enthält Informationen über beispielsweise Glattheit und Periodizität, die sich in der Schätzung widerspiegeln. Eine häufig verwendete Kovarianzfunktion ist die quadrierte Exponentialfunktion, die glatte Funktionsschätzungen stark begünstigt. ^{[ 10 ]} Daher kann sie in vielen praktischen Anwendungen zu ungenauen Schätzungen führen, insbesondere wenn die zugrunde liegende Funktion Unstetigkeiten und abrupte Änderungen aufweist.

Gleichungssystem

Die Kriging-Gewichte des einfachen Krigings unterliegen keiner Unvoreingenommenheitsbedingung und werden durch das einfache Kriging-Gleichungssystem gegeben :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

Dies ist analog zu einer linearen Regression von auf die andere . ${\displaystyle Z(x_{0})}$${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

Schätzung

Die Interpolation mittels einfachem Kriging ist gegeben durch

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

Der Kriging-Fehler wird angegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},}$

woraus die verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Version des Satzes von Gauß-Markov resultiert (Chiles & Delfiner 1999, S. 159):

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.}$

Siehe auch Bayes'sches Polynomchaos

• Die Kriging-Schätzung ist unverzerrt: .${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$
• Die Kriging-Schätzung berücksichtigt den tatsächlich beobachteten Wert (vorausgesetzt, es treten keine Messfehler auf).${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$
• Die Kriging-Schätzung ist der beste lineare erwartungstreue Schätzer , wenn die Annahmen erfüllt sind. Jedoch (z. B. Cressie 1993): ^{[ 11 ]}${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$${\displaystyle Z(x)}$
  • Wie bei jeder Methode gilt auch beim Kriging: Wenn die Annahmen nicht zutreffen, kann das Ergebnis ungünstig sein.
  • Möglicherweise gibt es bessere nichtlineare und/oder voreingenommene Methoden.
  • Bei Verwendung des falschen Variogramms können keine Eigenschaften garantiert werden. In der Regel wird jedoch dennoch eine gute Interpolation erzielt.
  • Das Beste ist nicht unbedingt gut: z. B. ist im Falle keiner räumlichen Abhängigkeit die Kriging-Interpolation nur so gut wie das arithmetische Mittel.
• Kriging liefert ein Maß für die Präzision. Dieses Maß ist jedoch von der Korrektheit des Variogramms abhängig.${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$

Obwohl Kriging ursprünglich für Anwendungen in der Geostatistik entwickelt wurde, ist es eine allgemeine Methode der statistischen Interpolation und kann in jeder Disziplin auf Stichprobendaten aus Zufallsfeldern angewendet werden, die die entsprechenden mathematischen Voraussetzungen erfüllen. Es eignet sich, wenn räumlich zusammenhängende Daten (in 2D oder 3D) erhoben wurden und Schätzwerte für die Lücken zwischen den tatsächlichen Messungen benötigt werden.

Bis heute wurde Kriging in einer Vielzahl von Disziplinen eingesetzt, darunter die folgenden:

• Umweltwissenschaft ^{[ 12 ]}
• Hydrogeologie ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• Bergbau ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• Natürliche Ressourcen ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• Fernerkundung ^{[ 20 ]}
• Immobilienbewertung ^{[ 21 ]}
• Analyse und Optimierung integrierter Schaltungen ^{[ 22 ]}
• Modellierung von Mikrowellengeräten ^{[ 23 ]}
• Astronomie ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}
• Vorhersage der Ölproduktionskurve von Schieferölquellen ^{[ 27 ]}

Ein weiteres wichtiges und schnell wachsendes Anwendungsgebiet im Ingenieurwesen ist die Interpolation von Daten, die als Antwortvariablen deterministischer Computersimulationen ^{[ 28 ]} , z. B. Finite-Elemente-Methoden (FEM), ausgegeben werden. In diesem Fall wird Kriging als Metamodellierungswerkzeug eingesetzt , d. h. als Black-Box-Modell, das auf Basis einer Reihe von Computersimulationen erstellt wird . Bei vielen praktischen Ingenieurproblemen, wie beispielsweise der Auslegung eines Umformprozesses , kann eine einzelne FEM-Simulation mehrere Stunden oder sogar Tage dauern. Daher ist es effizienter, eine begrenzte Anzahl von Computersimulationen zu entwerfen und durchzuführen und anschließend einen Kriging-Interpolator zu verwenden, um die Antwort an jedem anderen Auslegungspunkt schnell vorherzusagen. Kriging wird daher sehr häufig als sogenanntes Ersatzmodell verwendet , das in Optimierungsroutinen implementiert ist . ^{[ 29 ]} Kriging-basierte Ersatzmodelle können auch bei gemischt-ganzzahligen Eingangsgrößen eingesetzt werden. ^{[ 30 ]}

• Bayes lineare Statistik
• Gaußscher Prozess
• Multivariate Interpolation
• Nichtparametrische Regression
• Interpolation mit radialen Basisfunktionen
• Raumkartierung
• räumliche Abhängigkeit
• Variogramm
• Gradientenverstärktes Kriging (GEK)
• Ersatzmodell
• Informationsfeldtheorie
• Gewichtung der inversen Distanz

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