Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra nennt man eine Menge von Vektoren linear unabhängig , wenn es keinen Vektor in der Menge gibt, der gleich einer Linearkombination der anderen Vektoren in der Menge ist. Existiert ein solcher Vektor, so nennt man die Vektoren linear abhängig . Lineare Unabhängigkeit ist Bestandteil der Definition einer linearen Basis . ^{[ 1 ]}

Ein Vektorraum kann endliche oder unendliche Dimension haben, je nachdem, wie viele linear unabhängige Vektoren maximal vorhanden sind. Die Definition der linearen Abhängigkeit und die Fähigkeit, festzustellen, ob eine Teilmenge von Vektoren in einem Vektorraum linear abhängig ist, sind zentral für die Bestimmung der Dimension eines Vektorraums.

Eine Folge von Vektoren aus einem Vektorraum V heißt linear abhängig , wenn es Skalare gibt, die nicht alle null sind, sodass ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

wobei den Nullvektor bezeichnet. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Wenn ⁠ ⁠${\displaystyle k=1}$ , bedeutet dies, dass ein einzelner Vektor genau dann linear abhängig ist, wenn er der Nullvektor ist.

Wenn ⁠ ⁠${\displaystyle k>1}$ , bedeutet dies, dass mindestens einer der Skalare ungleich null ist, etwa , und die obige Gleichung lässt sich schreiben als ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k}.}$

Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn einer von ihnen null oder eine Linearkombination der anderen ist.

Eine Folge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig ist, d. h. wenn die Gleichung ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

Die Bedingung kann nur erfüllt werden durch . Dies impliziert, dass kein Vektor der Folge als Linearkombination der übrigen Vektoren der Folge dargestellt werden kann. Anders ausgedrückt: Eine Folge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn die einzige Darstellung von als Linearkombination ihrer Vektoren die triviale Darstellung ist, in der alle Skalare null sind. ^{[ 2 ]} Noch prägnanter: Eine Folge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn sie eindeutig als Linearkombination ihrer Vektoren dargestellt werden kann. ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\textstyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Enthält eine Folge von Vektoren denselben Vektor zweimal, so ist sie notwendigerweise linear abhängig. Die lineare Abhängigkeit einer Vektorfolge hängt nicht von der Reihenfolge der Elemente in der Folge ab. Dies ermöglicht die Definition linearer Unabhängigkeit für eine endliche Menge von Vektoren: Eine endliche Menge von Vektoren ist linear unabhängig , wenn die durch Anordnung der Vektoren entstehende Folge linear unabhängig ist. Anders ausgedrückt: Es gilt das folgende, oft nützliche Ergebnis.

Eine Folge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn sie keinen Vektor zweimal enthält und die Menge ihrer Vektoren linear unabhängig ist.

Eine unendliche Menge von Vektoren heißt linear unabhängig , wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist. Diese Definition gilt auch für endliche Mengen von Vektoren, da eine endliche Menge eine endliche Teilmenge von sich selbst ist und jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ebenfalls linear unabhängig ist.

Umgekehrt ist eine unendliche Menge von Vektoren linear abhängig , wenn sie eine endliche Teilmenge enthält, die linear abhängig ist, oder äquivalent dazu, wenn ein Vektor in der Menge eine Linearkombination anderer Vektoren in der Menge ist.

Eine indizierte Familie von Vektoren heißt linear unabhängig , wenn sie keinen Vektor zweimal enthält und die Menge ihrer Vektoren linear unabhängig ist. Andernfalls nennt man die Familie linear abhängig .

Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die einen Vektorraum aufspannt , bildet eine Basis dieses Vektorraums. Beispielsweise besitzt der Vektorraum aller Polynome in x über den reellen Zahlen die (unendliche) Teilmenge {1, x , x² , ^... } als Basis.

Sei ein Vektorraum. Eine Menge ist genau dann linear unabhängig , wenn ein minimales Element von ist.${\displaystyle V}$${\displaystyle X\subseteq V}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}}$

durch die Inklusionsordnung . Im Gegensatz dazu ist linear abhängig , wenn es eine echte Teilmenge besitzt, deren Spann eine Obermenge von ist . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$und sind unabhängig und definieren die Ebene P.${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$und sind voneinander abhängig , da alle drei in derselben Ebene liegen.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$und sind voneinander abhängig, weil sie parallel zueinander verlaufen.${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$Die Vektoren sind unabhängig , da sie voneinander unabhängig sind und keine Linearkombination von ihnen ist, oder äquivalent dazu, da sie nicht in einer gemeinsamen Ebene liegen. Die drei Vektoren definieren einen dreidimensionalen Raum.${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Die Vektoren (Nullvektor, dessen Komponenten gleich Null sind) und sind abhängig, da .${\displaystyle {\vec {o}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

Jemand, der den Standort eines bestimmten Ortes beschreibt, könnte sagen: „Er liegt 3 Meilen nördlich und 4 Meilen östlich von hier.“ Diese Information reicht aus, um den Standort zu beschreiben, da das geografische Koordinatensystem als zweidimensionaler Vektorraum betrachtet werden kann (Höhe und Erdkrümmung werden vernachlässigt). Man könnte hinzufügen: „Der Ort liegt 5 Meilen nordöstlich von hier.“ Diese letzte Aussage ist zwar richtig , aber für die Standortbestimmung nicht notwendig.

In diesem Beispiel sind der Vektor „3 Meilen nördlich“ und der Vektor „4 Meilen östlich“ linear unabhängig. Das heißt, der Nordvektor lässt sich nicht durch den Ostvektor beschreiben und umgekehrt. Der dritte Vektor „5 Meilen nordöstlich“ ist eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren und bewirkt, dass die Vektoren linear abhängig sind . Das bedeutet, dass einer der drei Vektoren nicht notwendig ist, um einen bestimmten Punkt in der Ebene zu definieren.

Beachten Sie außerdem, dass, wenn die Höhe nicht vernachlässigt wird, ein dritter Vektor zur Menge der linear unabhängigen Vektoren hinzugefügt werden muss. Im Allgemeinen werden n linear unabhängige Vektoren benötigt, um alle Positionen im n- dimensionalen Raum zu beschreiben.

Wenn ein oder mehrere Vektoren einer gegebenen Vektorfolge der Nullvektor sind, dann sind die Vektoren notwendigerweise linear abhängig (und folglich nicht linear unabhängig). Um dies zu verstehen, nehmen wir an, dass ein Index (d. h. ein Element von ) ist, sodass . Dann sei (alternativ funktioniert es auch, wenn man gleich einem beliebigen anderen Skalar ungleich null setzt) ​​und alle anderen Skalare seien (ausdrücklich bedeutet dies, dass für jeden Index außer (d. h. für ) gilt, dass , sodass folglich ). Vereinfacht ergibt sich: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$${\displaystyle a_{i}:=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle a_{j}:=0}$${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Da nicht alle Skalare null sind (insbesondere ist ), beweist dies, dass die Vektoren linear abhängig sind. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

Folglich kann der Nullvektor unmöglich zu irgendeiner Menge von Vektoren gehören, die linear unabhängig ist .

Betrachten wir nun den Spezialfall, dass die Folge die Länge hat (d. h. den Fall, dass ). Eine Menge von Vektoren, die aus genau einem Vektor besteht, ist genau dann linear abhängig, wenn dieser Vektor null ist. Genauer gesagt: Ist ein beliebiger Vektor, so ist die Folge (eine Folge der Länge ) genau dann linear abhängig, wenn ; alternativ ist die Menge genau dann linear unabhängig, wenn .${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Dieses Beispiel betrachtet den Spezialfall, in dem es genau zwei Vektoren x und y aus einem reellen oder komplexen Vektorraum gibt. Die Vektoren x und y sind genau dann linear abhängig , wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ist ein skalares Vielfaches von (ausdrücklich bedeutet dies, dass es einen Skalar gibt, sodass ) oder${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ist ein skalares Vielfaches von (ausdrücklich bedeutet dies, dass es einen Skalar gibt, sodass ).${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Wenn wir dann durch Setzen erhalten (diese Gleichheit gilt unabhängig vom Wert von ), was zeigt, dass (1) in diesem speziellen Fall wahr ist. Analog dazu ist (2) wahr, wenn , denn wenn (zum Beispiel, wenn beide gleich dem Nullvektor sind ), dann sind sowohl (1) als auch (2) wahr (da für beide verwendet wird). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c:=0}$${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle c:=1}$

Wenn dann nur möglich ist, wenn und ; in diesem Fall kann man beide Seiten mit multiplizieren, um zu schließen, dass . Dies zeigt, dass (1) genau dann wahr ist, wenn (2) wahr ist, wenn und . Das heißt, in diesem speziellen Fall sind entweder sowohl (1) als auch (2) wahr (und die Vektoren sind linear abhängig) oder sowohl (1) als auch (2) falsch (und die Vektoren sind linear unabhängig ). Wenn aber stattdessen , dann muss mindestens einer der Vektoren und null sein. Wenn genau einer der Vektoren und null ist (während der andere ungleich null ist), dann ist genau eine der Aussagen (1) und (2) wahr (und die andere falsch). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\textstyle {\frac {1}{c}}}$${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Die Vektoren und sind genau dann linear unabhängig , wenn kein skalares Vielfaches von und kein skalares Vielfaches von ist . ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$

Drei Vektoren: Betrachten wir die Menge der Vektoren , so sucht die Bedingung für lineare Abhängigkeit eine Menge von Skalaren ungleich Null, sodass ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

oder

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Diese Matrixgleichung lässt sich zeilenweise reduzieren, indem man die erste Zeile von der zweiten subtrahiert, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Die Zeilenreduktion wird fortgesetzt, indem (i) die zweite Zeile durch 5 geteilt und anschließend (ii) mit 3 multipliziert und zur ersten Zeile addiert wird.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Durch Umstellen dieser Gleichung erhalten wir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

Dies zeigt, dass von Null verschiedene a _i existieren, sodass durch und definiert werden kann . Somit sind die drei Vektoren linear abhängig. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Zwei Vektoren: Betrachten Sie nun die lineare Abhängigkeit der beiden Vektoren und und überprüfen Sie, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

oder

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Die gleiche Reihenreduktion wie oben dargestellt ergibt:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Dies zeigt, dass die Vektoren und linear unabhängig sind. ${\displaystyle a_{i}=0,}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

Um festzustellen, ob die drei Vektoren in${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

sind linear abhängig und bilden die Matrixgleichung.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Vereinfachen Sie diese Gleichung, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Umstellen nach v ₃ ergibt:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Diese Gleichung lässt sich leicht lösen, um von Null verschiedene Werte für a _i zu definieren .

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

wobei beliebig gewählt werden kann. Daher sind die Vektoren und linear abhängig. ${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Eine alternative Methode beruht auf der Tatsache, dass Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn die Determinante der Matrix , die durch Auswahl der Vektoren als Spalten gebildet wird, ungleich Null ist. ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

In diesem Fall ist die von den Vektoren gebildete Matrix

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Wir können eine Linearkombination der Spalten schreiben als

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Wir sind daran interessiert, ob A Λ = 0 für einen von Null verschiedenen Vektor Λ gilt. Dies hängt von der Determinante von ab , die ist ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Da die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren und linear unabhängig. ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (-3,2)}$

Angenommen, wir haben Koordinatenvektoren , dann ist A eine n × m Matrix und Λ ein Spaltenvektor mit Einträgen, und wir interessieren uns erneut für A Λ = 0. Wie bereits erwähnt, entspricht dies einer Liste von Gleichungen. Betrachten wir die ersten Zeilen dieser Liste , die ersten Gleichungen; jede Lösung der vollständigen Gleichungsliste muss auch für die reduzierte Liste gelten. Tatsächlich gilt für jede beliebige Zeilenliste ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ die Gleichung für diese Zeilen.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m<n.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Darüber hinaus gilt auch das Umgekehrte. Das heißt, wir können testen, ob die Vektoren linear abhängig sind, indem wir testen, ob ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

für alle möglichen Zeilenlisten . (Im Fall benötigt man dafür wie oben nur eine Determinante. Wenn , dann besagt der Satz, dass die Vektoren linear abhängig sein müssen.) Diese Tatsache ist für die Theorie wertvoll; in praktischen Berechnungen stehen effizientere Methoden zur Verfügung. ${\displaystyle m}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m>n}$

Sind mehr Vektoren als Dimensionen vorhanden, sind die Vektoren linear abhängig. Dies wird im obigen Beispiel mit drei Vektoren veranschaulicht.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Seien und betrachten wir die folgenden Elemente in , die als natürliche Basisvektoren bekannt sind : ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Dann sind sie linear unabhängig. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Sei der Vektorraum aller differenzierbaren Funktionen einer reellen Variablen . Dann sind die Funktionen und in linear unabhängig. ${\displaystyle V}$${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle V}$

Seien und zwei reelle Zahlen, so dass ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Bilden Sie die erste Ableitung der obigen Gleichung:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

Für alle Werte von müssen wir zeigen, dass und . Dazu subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten und erhalten . Da für ein nicht null ist , folgt daraus auch . Daher sind und gemäß der Definition der linearen Unabhängigkeit linear unabhängig. ${\displaystyle t.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle be^{2t}=0}$${\displaystyle e^{2t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle b=0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle e^{t}}$${\displaystyle e^{2t}}$

Eine lineare Abhängigkeit oder lineare Relation zwischen Vektoren v ₁ , ..., v _n ist ein Tupel ( a ₁ , ..., a _n ) mit n skalaren Komponenten, so dass

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Existiert eine solche lineare Abhängigkeit mit mindestens einer von Null verschiedenen Komponente, so sind die n Vektoren linear abhängig. Lineare Abhängigkeiten zwischen v₁ _, ..., vₙ _bilden einen Vektorraum.

Werden die Vektoren durch ihre Koordinaten ausgedrückt, so sind die linearen Abhängigkeiten die Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems , dessen Koeffizienten die Koordinaten der Vektoren sind. Eine Basis des Vektorraums der linearen Abhängigkeiten lässt sich daher mittels Gaußscher Elimination berechnen .

Eine Menge von Vektoren heißt affin abhängig , wenn mindestens einer der Vektoren als affine Kombination der anderen definiert werden kann. Andernfalls heißt die Menge affin unabhängig . Jede affine Kombination ist eine Linearkombination; daher ist jede affin abhängige Menge linear abhängig. Umgekehrt ist jede linear unabhängige Menge affin unabhängig. Eine affin unabhängige Menge ist jedoch nicht notwendigerweise linear unabhängig.

Betrachten wir eine Menge von Vektoren der Größe n und die Menge der erweiterten Vektoren derselben Größe . Die ursprünglichen Vektoren sind genau dann affin unabhängig, wenn die erweiterten Vektoren linear unabhängig sind. ^{[ 3 ] : 256} ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$${\displaystyle n+1}$

Zwei Vektorunterräume und eines Vektorraums heißen linear unabhängig , wenn ^{[ 4 ].} Allgemeiner heißt eine Menge von Unterräumen linear unabhängig , wenn für jeden Index gilt, wobei ^{[ 4 ].} Der Vektorraum heißt direkte Summe von , wenn diese Unterräume linear unabhängig sind und${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle X}$${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$${\displaystyle i,}$${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

• Matroid  – Abstraktion der linearen Unabhängigkeit von Vektoren

• „Lineare Unabhängigkeit“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Linear abhängige Funktionen bei WolframMathWorld.
• Tutorial und interaktives Programm zur linearen Unabhängigkeit.
• Einführung in die lineare Unabhängigkeit bei Khan Academy.