Vektor (Mathematik und Physik)

In Mathematik und Physik ist ein Vektor eine Verallgemeinerung einer einzelnen Zahl . Er kann eine Vektorgröße bezeichnen , d. h. eine physikalische Größe , die nicht durch eine einzelne Skalargröße ausgedrückt werden kann . Der Begriff kann auch für Elemente von Vektorräumen verwendet werden , die addiert und mit Skalaren multipliziert („skaliert“) werden können . In manchen Kontexten sind Vektoren Tupel , also endliche Folgen (von Zahlen oder anderen Objekten) fester Länge.

Vektoren wurden ursprünglich in Geometrie und Physik (typischerweise in der Mechanik ) für Größen eingeführt, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung besitzen, wie beispielsweise Verschiebungen , Kräfte und Geschwindigkeiten . Solche Größen werden durch geometrische Vektoren dargestellt, analog zur Darstellung von Entfernungen , Massen und Zeit durch reelle Zahlen .

Sowohl geometrische Vektoren als auch Tupel lassen sich addieren und skalieren. Diese Vektoroperationen führten zum Konzept des Vektorraums, einer Menge , die mit einer Vektoraddition und einer Skalarmultiplikation ausgestattet ist und bestimmte Axiome erfüllt, welche die Haupteigenschaften von Operationen auf den oben genannten Vektortypen verallgemeinern. Ein Vektorraum, der aus geometrischen Vektoren besteht, wird als euklidischer Vektorraum bezeichnet , ein Vektorraum, der aus Tupeln besteht, als Koordinatenvektorraum .

In der Mathematik werden viele Vektorräume betrachtet, beispielsweise Erweiterungskörper , Polynomringe , Algebren und Funktionenräume . Der Begriff Vektor wird im Allgemeinen nicht für Elemente dieser Vektorräume verwendet, sondern ist geometrischen Vektoren, Tupeln und Elementen nicht näher spezifizierter Vektorräume vorbehalten (zum Beispiel bei der Erörterung allgemeiner Eigenschaften von Vektorräumen).

In Mathematik , Physik und Ingenieurwesen ist ein euklidischer Vektor oder einfach Vektor (manchmal auch geometrischer Vektor ^{[ 1 ]} oder räumlicher Vektor ^{[ 2 ]} genannt ) ein geometrisches Objekt mit Betrag (oder Länge ) und Richtung . Euklidische Vektoren können addiert und skaliert werden, um einen Vektorraum zu bilden . Eine Vektorgröße ist eine vektorwertige physikalische Größe , einschließlich Maßeinheit und gegebenenfalls Träger , die als gerichtete Strecke formuliert wird . Ein Vektor wird häufig grafisch als Pfeil dargestellt, der einen Anfangspunkt A mit einem Endpunkt B verbindet ^{[ 3 ]} und mit bezeichnet wird.${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

Ein Vektor ist das, was benötigt wird, um den Punkt A zum Punkt B zu „tragen“ ; das lateinische Wort „ Vektor“ bedeutet „Träger“. ^{[ 4 ]} Er wurde erstmals von Astronomen des 18. Jahrhunderts verwendet , die die Planetenbewegungen um die Sonne untersuchten. ^{[ 5 ]} Die Länge des Vektors ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, und die Richtung gibt die Verschiebungsrichtung von A nach B an . Viele algebraische Operationen mit reellen Zahlen wie Addition , Subtraktion , Multiplikation und Negation haben enge Analogien für Vektoren, ^{[ 6 ]} Operationen, die den bekannten algebraischen Gesetzen der Kommutativität , Assoziativität und Distributivität gehorchen . Diese Operationen und die zugehörigen Gesetze qualifizieren euklidische Vektoren als Beispiel für den allgemeineren Vektorbegriff, der einfach als Elemente eines Vektorraums definiert wird .

Vektoren spielen in der Physik eine wichtige Rolle : Geschwindigkeit und Beschleunigung eines sich bewegenden Objekts sowie die auf es wirkenden Kräfte lassen sich durch Vektoren beschreiben. ^{[ 7 ]} Viele weitere physikalische Größen können als Vektoren betrachtet werden. Obwohl die meisten von ihnen keine Entfernungen darstellen (mit Ausnahme von beispielsweise Position oder Verschiebung ), lassen sich ihre Größe und Richtung dennoch durch Länge und Richtung eines Pfeils beschreiben. Die mathematische Darstellung eines physikalischen Vektors hängt vom verwendeten Koordinatensystem ab . Andere vektorähnliche mathematische Objekte , die physikalische Größen beschreiben , wie Pseudovektoren und Tensoren , verändern sich bei einem Wechsel des Koordinatensystems auf ähnliche Weise. ^{[ 8 ]}

In der Mathematik ist ein Vektorraum (auch linearer Raum genannt) eine Menge , deren Elemente, oft Vektoren genannt , addiert und mit Skalaren multipliziert werden können . Die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation müssen bestimmte Bedingungen, die Vektoraxiome, erfüllen . Reelle und komplexe Vektorräume sind Arten von Vektorräumen, die auf unterschiedlichen Skalaren basieren: reellen Zahlen und komplexen Zahlen . Skalare können allgemein auch Elemente eines beliebigen Körpers sein .

Vektorräume verallgemeinern euklidische Vektoren und ermöglichen die Modellierung physikalischer Größen (wie Kräfte und Geschwindigkeiten ), die neben einem Betrag auch eine Richtung besitzen . Das Konzept der Vektorräume ist , zusammen mit dem Konzept der Matrizen , das Berechnungen in Vektorräumen ermöglicht, grundlegend für die lineare Algebra . Dies bietet eine prägnante und synthetische Methode zur Manipulation und Untersuchung linearer Gleichungssysteme .

Vektorräume werden durch ihre Dimension charakterisiert , die, grob gesagt, die Anzahl der unabhängigen Richtungen im Raum angibt. Das bedeutet, dass für zwei Vektorräume über einem gegebenen Körper und mit gleicher Dimension die Eigenschaften, die ausschließlich von der Vektorraumstruktur abhängen, exakt übereinstimmen (die Vektorräume sind also isomorph ). Ein Vektorraum ist endlichdimensional , wenn seine Dimension eine natürliche Zahl ist . Andernfalls ist er unendlichdimensional , und seine Dimension ist eine unendliche Kardinalzahl . Endlichdimensionale Vektorräume treten natürlicherweise in der Geometrie und verwandten Gebieten auf. Unendlichdimensionale Vektorräume finden sich in vielen Bereichen der Mathematik. Beispielsweise sind Polynomringe abzählbar unendlichdimensionale Vektorräume, und viele Funktionenräume haben die Kardinalität des Kontinuums als Dimension.

Viele in der Mathematik betrachtete Vektorräume besitzen darüber hinaus weitere Strukturen . Dies gilt beispielsweise für Algebren wie Körpererweiterungen , Polynomringe, assoziative Algebren und Lie-Algebren . Ebenso verhält es sich mit topologischen Vektorräumen , zu denen Funktionenräume, Skalarprodukträume , normierte Räume , Hilberträume und Banachräume gehören .

Jede Algebra über einem Körper ist ein Vektorraum, doch die Elemente einer Algebra werden im Allgemeinen nicht als Vektoren bezeichnet. In einigen Fällen werden sie jedoch, hauptsächlich aus historischen Gründen, als Vektoren bezeichnet.

• Vektorquaternion , ein Quaternion mit einem Realteil von Null
• Multivektor oder p -Vektor , ein Element der äußeren Algebra eines Vektorraums.
• Spinoren , auch Spinvektoren genannt , wurden eingeführt, um den Begriff des Rotationsvektors zu erweitern . Rotationsvektoren beschreiben Rotationen zwar lokal , aber nicht global, da eine geschlossene Schleife im Raum der Rotationsvektoren eine Kurve im Raum der Rotationen induzieren kann, die keine Schleife ist. Außerdem ist die Mannigfaltigkeit der Rotationsvektoren orientierbar , die Mannigfaltigkeit der Rotationen hingegen nicht. Spinoren sind Elemente eines Vektorunterraums einer Clifford-Algebra .
• Witt-Vektor , eine unendliche Folge von Elementen eines kommutativen Rings, die zu einer Algebra über diesem Ring gehört und zur Behandlung der Übertragsfortpflanzung bei Operationen auf p-adischen Zahlen eingeführt wurde .

Die Menge der Tupel von n reellen Zahlen besitzt eine natürliche Vektorraumstruktur, die durch komponentenweise Addition und Skalarmultiplikation definiert ist . Üblicherweise werden diese Tupel als Vektoren bezeichnet , selbst in Kontexten, in denen Vektorraumoperationen nicht anwendbar sind. Allgemeiner gesagt: Wenn sich Daten auf natürliche Weise durch Vektoren darstellen lassen, werden sie oft als Vektoren bezeichnet , selbst wenn Addition und Skalarmultiplikation von Vektoren keine gültigen Operationen für diese Daten darstellen. Hier einige Beispiele. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Rotationsvektor , ein euklidischer Vektor, dessen Richtung der Rotationsachse entspricht und dessen Betrag dem Rotationswinkel entspricht.
• Burgersvektor , ein Vektor, der die Stärke und Richtung der Gitterverzerrung durch Versetzungen in einem Kristallgitter darstellt.
• Intervallvektor , in der musikalischen Mengenlehre, ein Array, das den Intervallgehalt einer Tonklassenmenge ausdrückt
• Wahrscheinlichkeitsvektor , in der Statistik ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen, deren Summe eins ergibt.
• Ein Zufallsvektor oder eine multivariate Zufallsvariable ist in der Statistik eine Menge reellwertiger Zufallsvariablen , die korreliert sein können . Der Begriff Zufallsvektor kann sich aber auch auf eine Zufallsvariable beziehen , die ihre Werte in einem Vektorraum annimmt.
• Logischer Vektor , ein Vektor aus 0 und 1 ( Boolesche Werte ).

Die Infinitesimalrechnung dient als grundlegendes mathematisches Werkzeug im Bereich der Vektoren und bietet einen Rahmen für die Analyse und Manipulation von Vektorgrößen in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen, insbesondere in Physik und Ingenieurwesen . Vektorwertige Funktionen, deren Ausgabe ein Vektor ist, werden mithilfe der Infinitesimalrechnung untersucht, um wesentliche Erkenntnisse über Bewegungen im dreidimensionalen Raum zu gewinnen. Die Vektoranalysis erweitert die traditionellen Prinzipien der Infinitesimalrechnung auf Vektorfelder und führt Operationen wie Gradient , Divergenz und Rotation ein , die in Physik und Ingenieurwesen Anwendung finden. Linienintegrale , die für die Berechnung der Arbeit entlang eines Pfades in Kraftfeldern unerlässlich sind, und Oberflächenintegrale , die zur Bestimmung von Größen wie dem Fluss verwendet werden , veranschaulichen den praktischen Nutzen der Infinitesimalrechnung in der Vektoranalysis. Volumenintegrale , die für Berechnungen mit Skalar- oder Vektorfeldern über dreidimensionale Bereiche unerlässlich sind, tragen zum Verständnis von Massenverteilung , Ladungsdichte und Strömungsgeschwindigkeiten bei.

• Vektor (Begriffsklärung)

• Graduierter Vektorraum , eine Art Vektorraum, der die zusätzliche Struktur der Gradation beinhaltet.
• Normierter Vektorraum , ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist
• Hilbertraum
• Geordneter Vektorraum , ein Vektorraum mit einer partiellen Ordnung
• Supervektorraum , Bezeichnung für einen Z² _- graduierten Vektorraum
• Symplektischer Vektorraum , ein Vektorraum V, der mit einer nicht-ausgearteten, schiefsymmetrischen Bilinearform ausgestattet ist
• Topologischer Vektorraum , eine Mischung aus topologischer Struktur und dem algebraischen Konzept eines Vektorraums

Ein Vektorfeld ist eine vektorwertige Funktion , die im Allgemeinen einen Definitionsbereich derselben Dimension (als Mannigfaltigkeit ) wie ihren Zielbereich besitzt.

• Konservatives Vektorfeld , ein Vektorfeld, das der Gradient eines skalaren Potentialfeldes ist
• Hamiltonsches Vektorfeld , ein Vektorfeld, das für jede Energiefunktion oder jeden Hamilton-Operator definiert ist
• Killing-Vektorfeld , ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit , das mit einer Symmetrie assoziiert ist
• Solenoidales Vektorfeld , ein Vektorfeld mit verschwindender Divergenz
• Vektorpotential , ein Vektorfeld, dessen Rotation ein gegebenes Vektorfeld ist
• Vektorfluss , eine Reihe eng verwandter Konzepte des Flusses, der durch ein Vektorfeld bestimmt wird

• Ricci-Kalkül
• Die Vektoranalysis , ein Lehrbuch über Vektorrechnung von Wilson , erstmals 1901 veröffentlicht, trug wesentlich zur Standardisierung der Notation und des Vokabulars der dreidimensionalen linearen Algebra und Vektorrechnung bei.
• Vektorbündel , eine topologische Konstruktion, die die Idee einer Familie von Vektorräumen, die durch einen anderen Raum parametrisiert sind, präzisiert.
• Vektorrechnung , ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Differentiation und Integration von Vektorfeldern befasst.
• Vektordifferential , oder del , ein Vektordifferentialoperator, der durch das Nabla-Symbol dargestellt wird${\displaystyle \nabla }$
• Der Vektor- Laplace-Operator, bezeichnet mit , ist ein Differentialoperator, der über einem Vektorfeld definiert ist.${\displaystyle \nabla ^{2}}$
• Vektorschreibweise , gebräuchliche Notation beim Arbeiten mit Vektoren
• Vektoroperator , eine Art Differentialoperator, der in der Vektorrechnung verwendet wird
• Das Vektorprodukt , auch Kreuzprodukt genannt, ist eine Operation auf zwei Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum, die einen dritten dreidimensionalen euklidischen Vektor erzeugt, der senkrecht zu den beiden ursprünglichen Vektoren steht.
• Vektorprojektion , auch Vektorprojektion oder Vektorkomponente genannt , ist eine lineare Abbildung, die einen Vektor erzeugt, der parallel zu einem zweiten Vektor verläuft.
• Vektorwertige Funktion , eine Funktion , deren Zielbereich ein Vektorraum ist.
• Vektorisierung (Mathematik) , eine lineare Transformation, die eine Matrix in einen Spaltenvektor umwandelt.
• Vektorautoregression ist ein ökonometrisches Modell, das die Entwicklung und die Wechselwirkungen zwischen mehreren Zeitreihen erfasst.
• Vektorboson , ein Boson mit der Spinquantenzahl gleich 1
• Vektormaß , eine Funktion, die auf einer Familie von Mengen definiert ist und Vektorwerte annimmt, die bestimmte Eigenschaften erfüllen
• Vektormeson , ein Meson mit Gesamtspin 1 und ungerader Parität
• Vektorquantisierung , eine Quantisierungstechnik, die in der Signalverarbeitung verwendet wird
• Vektorsoliton , eine einzelne Welle mit mehreren gekoppelten Komponenten, die ihre Form während der Ausbreitung beibehält
• Vektorsynthese , eine Art der Audiosynthese
• Phasenvektor

• Vektoren – Die Feynman-Vorlesungen über Physik
• Heinbockel, JH (2001). Einführung in die Tensorrechnung und Kontinuumsmechanik . Trafford Publishing. ISBN 1-55369-133-4Die
• Itô, Kiyosi (1993). Enzyklopädisches Wörterbuch der Mathematik (2. Aufl.). MIT-Presse . ISBN 978-0-262-59020-4Die
• Ivanov, AB (2001) [1994], „Vektor“ , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press
• Pedoe, Daniel (1988). Geometrie: Ein umfassender Kurs . Dover. ISBN 0-486-65812-0Die