Lineare Funktion

In der Mathematik bezeichnet der Begriff lineare Funktion zwei unterschiedliche, aber miteinander verbundene Begriffe: ^{[ 1 ]}

• In der Analysis und verwandten Gebieten ist eine lineare Funktion eine Funktion , deren Graph eine Gerade ist , also eine Polynomfunktion vom Grad Null (ein konstantes Polynom) oder Eins (ein lineares Polynom). ^{[ 2 ]} Um eine solche lineare Funktion von anderen Konzepten zu unterscheiden, wird häufig der Begriff affine Funktion verwendet. ^{[ 3 ]}
• In der linearen Algebra , ^der mathematischen Analysis ^{[ 4 ]} und der Funktionalanalysis ist eine lineare Funktion eine Funktion zwischen Vektorräumen . ^{[ 5} ]

In der Analysis, der analytischen Geometrie und verwandten Gebieten ist eine lineare Funktion ein Polynom vom Grad eins oder kleiner, einschließlich des Nullpolynoms . (Letzteres ist ein Polynom ohne Terme und wird nicht als vom Grad Null betrachtet.)

Wenn die Funktion nur eine Variable enthält , hat sie die Form

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

wobei a und b Konstanten sind , oft reelle Zahlen . Der Graph einer solchen Funktion einer Variablen ist eine nicht-vertikale Gerade. a wird häufig als Steigung der Geraden und b als Achsenabschnitt bezeichnet.

Wenn a > 0, dann ist die Steigung positiv und der Graph steigt an.

Wenn a < 0, dann ist die Steigung negativ und der Graph verläuft fallend.

Für eine Funktion mit einer beliebigen endlichen Anzahl von Variablen lautet die allgemeine Formel: ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

und der Graph ist eine Hyperebene der Dimension k .

Eine konstante Funktion wird in diesem Zusammenhang ebenfalls als linear betrachtet, da sie ein Polynom nullten Grades oder das Nullpolynom ist. Ihr Graph ist bei nur einer Variablen eine horizontale Gerade.

In diesem Kontext kann eine Funktion, die gleichzeitig eine lineare Abbildung ist (die andere Bedeutung linearer Funktionen, siehe unten), als homogene lineare Funktion oder lineare Form bezeichnet werden . In der linearen Algebra sind Polynomfunktionen vom Grad 0 oder 1 skalarwertige affine Abbildungen .

In der linearen Algebra ist eine lineare Funktion eine Abbildung von einem Vektorraum in einen Vektorraum (beide Räume sind nicht notwendigerweise verschieden) über demselben Körper K , sodass ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Hier bezeichnet a eine Konstante aus dem Skalarkörper K (beispielsweise den reellen Zahlen ), und x und y sind Elemente von , das auch K selbst sein kann . Selbst bei Verwendung desselben Symbols ist die Addition von x und y (beide aus ) nicht notwendigerweise identisch mit der Addition von x und y (beide aus ). ${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$${\displaystyle \mathbf {W} }$

Mit anderen Worten: Die lineare Funktion erhält die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation .

Einige Autoren verwenden den Begriff „lineare Funktion“ nur für lineare Abbildungen, die Werte im Skalarkörper annehmen; ^{[ 6 ]} diese werden häufiger als lineare Formen bezeichnet .

Die linearen Funktionen der Analysis gelten als lineare Abbildungen, wenn (und nur wenn) f (0, ..., 0) = 0 gilt , oder äquivalent dazu, wenn die Konstante b im obigen Polynom ersten Grades gleich null ist. Geometrisch gesehen muss der Graph der Funktion durch den Ursprung verlaufen.

• Homogene Funktion
• Nichtlineares System
• Stückweise lineare Funktion
• Lineare Approximation
• Lineare Interpolation
• Diskontinuierliche lineare Abbildung
• Lineare Ausgleichsrechnung

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Vorlesungen über Lineare Algebra , Interscience Publishers, Inc., New York. Nachdruck bei Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Shores, Thomas S. (2007). Angewandte Lineare Algebra und Matrizenanalyse . Undergraduate Texts in Mathematics . Springer. ISBN 978-0-387-33195-9Die
• Stewart, James (2012). Analysis: Frühe Transzendentale (7. Auflage). Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9Die
• Leonid N. Vaserstein (2006), „Lineare Programmierung“, in: Leslie Hogben (Hrsg.), Handbuch der Linearen Algebra , Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen, Chapman and Hall/CRC, Kap. 50. ISBN 1-584-88510-6