Skalarmultiplikation

In der Mathematik ist die Skalarmultiplikation eine der grundlegenden Operationen zur Definition eines Vektorraums in der linearen Algebra ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} (oder allgemeiner eines Moduls in der abstrakten Algebra ^{[ 4 ] [ 5 ]} ). In geometrischen Kontexten multipliziert die Skalarmultiplikation eines reellen euklidischen Vektors mit einer positiven reellen Zahl den Betrag des Vektors, ohne seine Richtung zu ändern. Die Skalarmultiplikation ist die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (wobei das Produkt ein Vektor ist) und ist vom inneren Produkt zweier Vektoren zu unterscheiden (wobei das Produkt ebenfalls ein Skalar ist).

Allgemein gilt: Ist K ein Körper und V ein Vektorraum über K , so ist die Skalarmultiplikation eine Funktion von K × V nach V. Das Ergebnis der Anwendung dieser Funktion auf k ∈ K und v ∈ V wird mit k ⋅ v bezeichnet .

Die Skalarmultiplikation gehorcht den folgenden Regeln (Vektor in Fettdruck ) :

• Additivität im Skalar: ( c + d ) v = c v + d v ;
• Additivität im Vektor: c ( v + w ) = c v + c w ;
• Kompatibilität des Produkts von Skalaren mit der Skalarmultiplikation: ( cd ) v = c ( d v );
• Die Multiplikation mit 1 ändert einen Vektor nicht: 1 v = v ;
• Multiplikation mit 0 ergibt den Nullvektor : 0 v = 0 ;
• Multipliziert man mit −1, erhält man das additive Inverse : (−1) v = − v .

Hierbei steht + für die Addition, entweder im Körper oder im Vektorraum, je nach Kontext; 0 ist das neutrale Element der Addition. Die Nebeneinanderstellung kennzeichnet entweder die Skalarmultiplikation oder die Multiplikation im Körper.

Der Vektorraum kann als Koordinatenraum betrachtet werden , dessen Elemente jeweils einer Liste von Elementen aus K zugeordnet sind . Die Einheiten des Körpers bilden eine Gruppe K ^× , und die Skalar-Vektor-Multiplikation ist eine Gruppenoperation von K ^× auf dem Koordinatenraum . Die Nullstelle des Körpers bewirkt, dass der Koordinatenraum auf den Nullvektor reduziert wird.

Wenn K der Körper der reellen Zahlen ist, gibt es eine geometrische Interpretation der Skalarmultiplikation: Sie streckt oder stauchen Vektoren um einen konstanten Faktor. Dadurch entsteht ein Vektor in der gleichen oder entgegengesetzten Richtung des ursprünglichen Vektors, jedoch mit einer anderen Länge. ^{[ 6 ]}

Als Sonderfall kann V als K selbst angenommen werden, und die Skalarmultiplikation kann dann einfach als Multiplikation im Körper betrachtet werden.

Wenn V gleich K ⁿ ist , entspricht die Skalarmultiplikation der Multiplikation jeder Komponente mit dem Skalar und kann auch so definiert werden.

Dasselbe Prinzip gilt, wenn K ein kommutativer Ring und V ein Modul über K ist . K kann sogar ein Rig sein , aber dann existiert kein additives Inverses. Ist K nicht kommutativ , so lassen sich die verschiedenen Operationen Linksskalarmultiplikation c v und Rechtsskalarmultiplikation v c definieren.

Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ von links ergibt eine andere Matrix gleicher Größe wie A. Sie wird mit λA bezeichnet , deren Einträge wie folgt definiert sind :

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

ausdrücklich:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Auch wenn es keine allgemein anerkannte Definition gibt, könnte die rechte Skalarmultiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ wie folgt definiert werden:

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

ausdrücklich:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

Wenn die Einträge der Matrix und die Skalare aus demselben kommutativen Körper stammen, beispielsweise dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, sind diese beiden Multiplikationen identisch und können einfach als Skalarmultiplikation bezeichnet werden . Bei Matrizen über einem allgemeineren , nicht kommutativen Körper sind sie möglicherweise nicht identisch.

Für einen reellen Skalar und eine Matrix:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

Für Quaternionen-Skalare und -Matrizen:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

wobei i , j , k die Quaternioneneinheiten sind. Die Nichtkommutativität der Quaternionenmultiplikation verhindert den Übergang von ij = + k zu ji = − k .

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