Liste der Zwangsbegriffe

In der Mathematik ist Forcing eine Methode zur Konstruktion neuer Modelle M [ G ] der Mengenlehre , indem eine generische Teilmenge G einer partiell geordneten Menge P zu einem Modell M hinzugefügt wird . Die verwendete partiell geordnete Menge P bestimmt, welche Aussagen im neuen Universum gelten (die „Erweiterung“); um eine gewünschte Aussage zu erzwingen, muss daher eine geeignete partiell geordnete Menge P konstruiert werden . Dieser Artikel listet einige der partiell geordneten Mengen P auf , die für diese Konstruktion verwendet wurden.

• P ist eine partiell geordnete Menge mit Ordnung <
• V ist das Universum aller Mengen
• M ist ein abzählbares transitives Modell der Mengenlehre
• G ist eine generische Teilmenge von P über M.

• P erfüllt die Bedingung abzählbarer Ketten, wenn jede Antikette in P höchstens abzählbar ist. Dies impliziert, dass V und V [ G ] die gleichen Kardinalzahlen (und die gleichen Kofinalitäten) besitzen.
• Eine Teilmenge D von P heißt dicht , wenn es für jedes p ∈ P ein q ∈ D mit q ≤ p gibt .
• Ein Filter auf P ist eine nichtleere Teilmenge F von P, sodass, wenn p < q und p ∈ F , dann q ∈ F , und wenn p ∈ F und q ∈ F, dann gibt es ein r ∈ F mit r ≤ p und r ≤ q .
• Eine Teilmenge G von P heißt generisch über M , wenn sie ein Filter ist, der jede dichte Teilmenge von P in M ​​schneidet .

Amoeba Forcing ist Forcing mit der Amoeba-Ordnung und fügt eine Menge von zufälligen reellen Zahlen vom Maß 1 hinzu.

Bei der Cohen-Forcing-Methode (benannt nach Paul Cohen ) ist P die Menge der Funktionen von einer endlichen Teilmenge von ω ₂ × ω nach {0,1} und p < q , falls p ⊇ q .

Diese partiell geordnete Menge erfüllt die Bedingung einer abzählbaren Kette. Durch Forcing mit dieser partiell geordneten Menge werden dem Modell ω² verschiedene reelle Zahlen hinzugefügt _; dies war die partiell geordnete Menge, die Cohen in seinem ursprünglichen Beweis der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese verwendete.

Allgemeiner kann man ω² durch eine beliebige Kardinalzahl κ ersetzen _und so ein Modell konstruieren, dessen Kontinuum mindestens die Größe κ besitzt. Hierbei gibt es keine Einschränkung. Wenn κ die Kofinalität ω hat, ist die Kardinalität der reellen Zahlen größer als κ.

Grigorieff-Forcing (nach Serge Grigorieff) zerstört einen freien Ultrafilter auf ω.

Das Hechler-Forcing (nach Stephen Herman Hechler) wird verwendet, um zu zeigen, dass Martins Axiom impliziert, dass jede Familie von Funktionen kleiner als c von ω nach ω schließlich von einer solchen Funktion dominiert wird.

P ist die Menge der Paare ( s , E ), wobei s eine endliche Folge natürlicher Zahlen (als Funktionen einer endlichen Ordinalzahl nach ω betrachtet) und E eine endliche Teilmenge einer festen Menge G von Funktionen von ω nach ω ist. Das Element ( s , E ) ist stärker als ( t , F ) , wenn t in s enthalten ist , F in E enthalten ist und k im Definitionsbereich von s , aber nicht von t liegt, dann gilt s ( k ) > h ( k ) für alle h ∈ F.

Iteriertes Forcing mit endlichem Träger wurde von Solovay und Tennenbaum eingeführt , um die Konsistenz der Suslin-Hypothese zu beweisen . Easton führte eine weitere Art von iteriertem Forcing ein, um die möglichen Werte der Kontinuumsfunktion an regulären Kardinalzahlen zu bestimmen. Iteriertes Forcing mit abzählbarem Träger wurde von Laver in seinem Beweis der Konsistenz der Borel-Vermutung, von Baumgartner , der das Axiom-A-Forcing einführte, und von Shelah , der das eigentliche Forcing einführte, untersucht. Die revidierte Iteration mit abzählbarem Träger wurde von Shelah eingeführt , um semi-echte Forcings wie das Prikry-Forcing und Verallgemeinerungen, insbesondere das Namba-Forcing, zu behandeln.

Das Forcing mit Klassen wurde von Robert Soare und Carl Jockusch entwickelt , um unter anderem den Satz über niedrige Basen zu beweisen . Hierbei ist P die Menge der nichtleeren Teilmengen von (d. h. die Mengen der Pfade durch unendliche, berechenbare Teilbäume von ), geordnet nach Inklusion. Während die meisten Forcing-Konzepte auf dieser Seite mit der Mengenlehre zusammenhängen, bezieht sich dieses auf die Rekursionstheorie. ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$${\displaystyle 2^{\omega }}$${\displaystyle 2^{<\omega }}$

Laver nutzte das Laver-Forcing, um zu zeigen, dass Borels Vermutung, die besagt, dass alle Mengen vom starken Maß Null abzählbar sind, mit ZFC vereinbar ist. (Borels Vermutung ist nicht mit der Kontinuumshypothese vereinbar.)

• P ist die Menge der Laver-Bäume, geordnet nach Inklusion.

Ein Laver-Baum p ist eine Teilmenge der endlichen Folgen natürlicher Zahlen, sodass

• p ist ein Baum: p enthält jede Anfangssequenz beliebiger Elemente von p , äquivalent dazu ist p abgeschlossen bezüglich Anfangssegmenten.
• p hat einen Stamm: einen maximalen Knoten s ( p ) = s ∈ p, sodass s ≤ t oder t ≤ s für alle t in p ,
• Wenn t ∈ p und s ≤ t, dann hat t unendlich viele unmittelbare Nachfolger tn in p für n ∈ ω .

Wenn G generisch für ( P , ≤) ist , dann bestimmt die reelle Zahl { s ( p ) : p ∈ G } , die als Laver-reelle Zahl bezeichnet wird, G eindeutig .

Laver-Forcing erfüllt die Laver-Eigenschaft .

Die Laver-Präparation wurde von Laver ^{[ 1 ]} im Kontext des Forcing unter Erhaltung großer Kardinalzahlen eingeführt . Genauer gesagt: Ist κ eine superkompakte Kardinalzahl , so bleibt κ nach dem Forcing mit der Laver-Präparation bei κ eine superkompakte Kardinalzahl und darüber hinaus auch nach jedem weiteren Forcing mit κ-gerichteter Abgeschlossenheit.

Die Laver-Präparation P_{_κ} auf κ ist eine Easton- Trägeriteration der Länge κ, die durch eine Laver-Funktion f gesteuert wird . Diese Funktion ist so beschaffen, dass es für jedes x ∈ V eine λ-Superkompaktheitseinbettung j mit kritischem Punkt κ (für geeignetes λ) gibt, sodass j(f)(κ) = x . Laver zeigt, dass eine solche Funktion für jede superkompakte Kardinalzahl κ existiert. Die Iteration P_{_κ} besitzt nur in bestimmten Stufen α nicht-triviale Forcing-Eigenschaften. Für diese Stufen α ist f(α) eine geeignete Bezeichnung für ein α-gerichtetes, abgeschlossenes Forcing; in diesem Fall wird f(α) als Forcing der Stufe α verwendet.

Diese Posets werden verschiedene Kardinalzahlen zusammenbrechen lassen, mit anderen Worten, sie zwingen sie dazu, die gleiche Größe wie kleinere Kardinalzahlen anzunehmen.

• Eine Kardinalzahl auf ω reduzieren: P ist die Menge aller endlichen Folgen von Ordinalzahlen kleiner als eine gegebene Kardinalzahl λ. Wenn λ überabzählbar ist, reduziert die Anwendung dieser partiell geordneten Menge λ auf ω.
• Eine Kardinalzahl auf eine andere reduzieren: P ist die Menge aller Funktionen von einer Teilmenge von κ mit Kardinalität kleiner als κ nach λ (bei festen Kardinalzahlen κ und λ). Durch Forcing mit dieser partiell geordneten Menge wird λ auf κ reduziert.
• Lévy-Kollaps: Wenn κ regulär und λ unerreichbar ist, dann ist P die Menge der Funktionen p auf Teilmengen von λ × κ mit einem Definitionsbereich kleiner als κ und p (α, ξ) < α für jedes (α, ξ) im Definitionsbereich von p . Diese partiell geordnete Menge kollabiert alle Kardinalzahlen kleiner als λ auf κ, wobei λ als Nachfolger von κ erhalten bleibt.

Der Levy-Zusammenbruch ist nach Azriel Levy benannt .

Unter den vielen von Magidor entwickelten Forcing-Konzepten ist eines der bekanntesten eine Verallgemeinerung des Prikry-Forcings, mit dem die Kofinalität einer Kardinalzahl in eine gegebene kleinere reguläre Kardinalzahl geändert werden kann .

• Ein Element von P ist ein Paar aus einer endlichen Menge s natürlicher Zahlen und einer unendlichen Menge A natürlicher Zahlen, sodass jedes Element von s kleiner ist als jedes Element von A. Die Ordnung ist definiert durch

( t , B ) ist stärker als ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )) , wenn s ein Anfangssegment von t ist , B eine Teilmenge von A ist und t in s ∪ A enthalten ist .

Der Mathias-Force ist nach Adrian Mathias benannt .

Die Namba-Forcing-Methode (nach dem Kanji Namba) wird verwendet, um die Kofinalität von ω ₂ zu ω zu ändern, ohne ω ₁ zu kollabieren .

• P ist die Menge aller Bäume (nichtleere, nach unten abgeschlossene Teilmengen der Menge der endlichen Folgen von Ordinalzahlen kleiner als ω² ₎ , die die Eigenschaft besitzen, dass jedes s ∈ T eine Fortsetzung in T mit direkten Nachfolgern hat. P ist durch Inklusion geordnet (d. h., Teilbäume sind stärkere Bedingungen). Der Schnitt aller Bäume im generischen Filter definiert eine abzählbare Folge, die in _ω² kofinal ist .${\displaystyle T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }}$${\displaystyle \aleph _{2}}$

Namba′-Forcing ist die Teilmenge von P , sodass es einen Knoten gibt, unterhalb dessen die Ordnung linear ist und oberhalb dessen jeder Knoten unmittelbare Nachfolger hat. ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Magidor und Shelah bewiesen, dass, wenn CH gilt, ein generisches Objekt der Namba-Forcing-Theorie in der generischen Erweiterung durch Namba′ nicht existiert, und umgekehrt. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Im Prikry-Forcing (nach Karel Prikrý) ist P die Menge der Paare ( s , A ) , wobei s eine endliche Teilmenge einer festen messbaren Kardinalzahl κ und A ein Element eines festen Normalmaßes D auf κ ist. Eine Bedingung ( s , A ) ist stärker als ( t , B ) , wenn t ein Anfangssegment von s ist , A in B enthalten ist und s in t ∪ B enthalten ist . Dieses Forcing-Konzept kann verwendet werden, um die Kofinalität von κ zu ändern, während alle Kardinalzahlen erhalten bleiben.

Das Produkt der erzwungenen Bedingungen zu bilden, ist eine Möglichkeit, alle Bedingungen gleichzeitig zu erzwingen.

• Endliche Produkte : Wenn P und Q partiell geordnete Mengen sind, dann hat die Produktmenge P × Q die partielle Ordnung ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ) falls p ₁ ≤ p ₂ und q ₁ ≤ q ₂ .
• Unendliche Produkte : Das Produkt einer Menge von partiell geordneten Mengen P _i , i ∈ I , deren größtes Element jeweils 1 ist, ist die Menge der Funktionen p auf I mit p ( i ) ∈ P ( i ) , für die p ( i ) = 1 für alle i außer einer endlichen Anzahl gilt . Die Ordnung ist gegeben durch p ≤ q, falls p ( i ) ≤ q ( i ) für alle i gilt .
• Das Easton-Produkt (nach William Bigelow Easton) einer Menge von Posets P _i , i ∈ I , wobei I eine Menge von Kardinalzahlen ist, ist die Menge der Funktionen p auf I mit p ( i ) ∈ P ( i ) , für die gilt, dass für jede reguläre Kardinalzahl γ die Anzahl der Elemente α von γ mit p (α) ≠ 1 kleiner als γ ist.

Radin-Forcing (nach Lon Berk Radin), eine technisch anspruchsvolle Verallgemeinerung des Magidor-Forcings, fügt einer regulären Kardinalzahl λ eine abgeschlossene, unbeschränkte Teilmenge hinzu.

Ist λ eine ausreichend große Kardinalzahl, so sorgt die Forcing dafür, dass λ regulär, messbar , superkompakt usw. bleibt.

• P ist die Menge der Borel-Teilmengen von [0,1] mit positivem Maß, wobei p als stärker als q bezeichnet wird, wenn p in q enthalten ist . Die generische Menge G kodiert dann eine „zufällige reelle Zahl“: die eindeutige reelle Zahl x ∈ _G in allen rationalen Intervallen [ r , s ] ^{∈ V [ G ]} , für die [ r , s ] ∈ ^V in G liegt . Diese reelle Zahl ist in dem Sinne „zufällig“, dass für jede beliebige Teilmenge X von [0, 1] ∈ ^V mit Maß 1, die in V liegt , x ∈ _G ∈ X gilt .

• P ist die Menge aller perfekten Bäume, die in der Menge der endlichen {0, 1} -Folgen enthalten sind. (Ein Baum T ist eine Menge endlicher Folgen, die alle Anfangssegmente ihrer Elemente enthält, und heißt perfekt, wenn es zu jedem Element t aus T ein Segment s gibt, das t so erweitert , dass sowohl s₀ als auch s₁ in T liegen .) Ein Baum p ist stärker als q , wenn p in q enthalten ist . Gerald Enoch Sacks verwendete Forcing mit perfekten Bäumen, um ein reelles a mit minimalem Konstruierbarkeitsgrad zu erzeugen .

Sacks forcing besitzt die Sacks-Eigenschaft .

Für eine stationäre Teilmenge S von V setzen wir eine abgeschlossene Folge aus S und C eine abgeschlossene unbeschränkte Teilmenge von V , geordnet durch , genau dann, wenn an den Enden erweitert werden kann und . In V ist eine abgeschlossene unbeschränkte Teilmenge von S, die fast in jeder Clubmenge von V enthalten ist . bleibt erhalten. Diese Methode wurde von Ronald Jensen eingeführt , um die Konsistenz der Kontinuumshypothese und der Suslin-Hypothese zu zeigen . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma }$${\displaystyle \omega _{1}\}}$${\displaystyle \langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle }$${\displaystyle \sigma '}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle C'\subseteq C}$${\displaystyle \sigma '\subseteq \sigma \cup C}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sei S eine stationäre Teilmenge von . Wir setzen P gleich der Menge der abgeschlossenen abzählbaren Folgen aus S. In ist eine abgeschlossene unbeschränkte Teilmenge von S , und ist erhalten. Gilt CH, so sind alle Kardinalzahlen erhalten. ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \bigcup G}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sei S eine stationäre Teilmenge von ℝ . Wir setzen P gleich der Menge der endlichen Mengen von Paaren abzählbarer Ordinalzahlen, sodass für und , dass und , und wenn und verschiedene Elemente von p sind, dann entweder oder . P ist durch umgekehrte Inklusion geordnet. In ℝ ist eine abgeschlossene, unbeschränkte Teilmenge von S , und alle Kardinalzahlen bleiben erhalten. ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \in p}$${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle \alpha \in S}$${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$${\displaystyle \langle \gamma ,\delta \rangle }$${\displaystyle \beta <\gamma }$${\displaystyle \delta <\alpha }$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$

Silver-Forcing (nach Jack Howard Silver ) bezeichnet die Menge aller partiellen Funktionen von den natürlichen Zahlen in {0, 1}, deren Definitionsbereich unendlich ist; oder äquivalent dazu die Menge aller Paare ( A , p ) , wobei A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen mit unendlichem Komplement und p eine Funktion von A in eine feste zweielementige Menge ist. Eine Bedingung q ist stärker als eine Bedingung p, wenn q p erweitert .

Silver Forcing erfüllt Fusion, die Sacks-Eigenschaft und ist minimal in Bezug auf reelle Zahlen (aber nicht minimal).

Das Vopěnka-Forcing (nach Petr Vopěnka ) dient dazu, generisch eine Menge von Ordinalzahlen zu einer Menge hinzuzufügen . Zunächst wird als die Menge aller nichtleeren Teilmengen der Potenzmenge von definiert , wobei , geordnet nach Inklusion: genau dann, wenn . Jede Bedingung kann durch ein Tupel dargestellt werden , wobei für alle . Die Translation zwischen und ihrer kleinsten Repräsentation ist , und ist daher isomorph zu einer partiell geordneten Menge (die Bedingungen sind die minimalen Repräsentationen von Elementen aus ). Diese partiell geordnete Menge ist das Vopěnka-Forcing für Teilmengen von . Definiert man als die Menge aller Repräsentationen für Elemente mit , dann ist -generisch und . ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\color {blue}{\text{HOD}}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle {\text{OD}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A\subseteq \alpha }$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p\subseteq q}$${\displaystyle p\in P'}$${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\varphi )}$${\displaystyle x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)}$${\displaystyle x\subseteq \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{OD}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle P\in {\text{HOD}}}$${\displaystyle P'}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{A}}$${\displaystyle p\in P'}$${\displaystyle A\in p}$${\displaystyle G_{A}}$${\displaystyle {\text{HOD}}}$${\displaystyle A\in {\text{HOD}}[G_{A}]}$

• Jech, Thomas (2003), Mengenlehre: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Mengenlehre: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
• Kunen, Kenneth (2011), Mengenlehre , Studies in Logic, Bd. 34, London: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl  1262.03001

• A. Miller (2009), Forcing Tidbits.