Messbare Kardinalzahl

In der Mathematik , insbesondere in der Mengenlehre , ist eine messbare Kardinalzahl eine bestimmte Art großer Kardinalzahl . Um diesen Begriff zu definieren, führt man ein zweiwertiges Maß auf einer Kardinalzahl oder allgemeiner auf einer beliebigen Menge ein. Für eine Kardinalzahl lässt sie sich als Unterteilung all ihrer Teilmengen in große und kleine Mengen beschreiben, wobei die Kardinalzahl selbst groß ist, die leere Menge und alle einelementigen Mengen mit n = 0 klein sind, die Komplemente kleiner Mengen groß sind und umgekehrt. Der Schnitt von Mengen, die kleiner als n sind, ist wiederum groß. ^{[ 1 ]}${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \{\alpha \}}$${\displaystyle \alpha \in \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Es stellt sich heraus, dass überabzählbare Kardinalzahlen, die mit einem zweiwertigen Maß versehen sind, große Kardinalzahlen sind, deren Existenz nicht aus ZFC bewiesen werden kann . ^{[ 2 ]}

Das Konzept einer messbaren Kardinalzahl wurde 1930 von Stanisław Ulam eingeführt. ^{[ 3 ]}

Formal ist eine messbare Kardinalzahl eine überabzählbare Kardinalzahl , sodass es ein -additives, nicht-triviales, 0-1-wertiges Maß auf der Potenzmenge von gibt . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \kappa }$

Hier bedeutet -additiv, dass für jede und jede -große Sammlung paarweise disjunkter Teilmengen gilt: ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \{A_{\beta }\}_{\beta <\lambda }}$${\displaystyle A_{\beta }\subseteq \kappa }$

${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{\beta <\lambda }A_{\beta }{\Big )}=\sum _{\beta <\lambda }\mu (A_{\beta })}$Die

Äquivalent dazu ist eine messbare Kardinalzahl genau dann, wenn sie eine überabzählbare Kardinalzahl mit einem -vollständigen, nicht-primitiven Ultrafilter ist . Dies bedeutet, dass der Schnittpunkt aller Mengen, die strikt weniger als -viele im Ultrafilter enthalten, ebenfalls im Ultrafilter liegt. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Äquivalent dazu ist messbar, wenn es der kritische Punkt einer nichttrivialen elementaren Einbettung des Universums in eine transitive Klasse ist . Diese Äquivalenz geht auf Jerome Keisler und Dana Scott zurück und verwendet die Ultrapotenz- Konstruktion aus der Modelltheorie . Da eine echte Klasse ist , muss ein technisches Problem, das bei der Betrachtung von Ultrapotenzen üblicherweise nicht auftritt, mithilfe des sogenannten Scott-Tricks gelöst werden . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle ^{\kappa }M\subseteq M}$${\displaystyle V}$

Es ist leicht zu erkennen, dass, wenn ein nicht-triviales -additives Maß existiert, die Menge regulär sein muss : Aufgrund der Nicht-Trivialität und -Additivität muss jede Teilmenge mit einer Kardinalität kleiner als das Maß 0 haben, und aufgrund der -Additivität bedeutet dies wiederum, dass die gesamte Menge nicht die Vereinigung von weniger als Mengen mit einer Kardinalität kleiner als sein darf . Schließlich kann, wenn , nicht der Fall sein, dass . Wäre dies der Fall, könnten wir mit einer Menge von 0-1-Folgen der Länge identifizieren . Für jede Position in der Folge müsste entweder die Teilmenge der Folgen mit 1 an dieser Position oder die Teilmenge mit 0 an dieser Position das Maß 1 haben. Der Schnitt dieser -vielen Teilmengen mit Maß 1 müsste somit ebenfalls das Maß 1 haben, enthielte aber genau eine Folge, was der Nicht-Trivialität des Maßes widerspräche. Unter der Annahme des Auswahlaxioms (als Trichotomie der Kardinalität zwischen κ und 2 ^λ ) können wir schließen, dass es sich um eine starke Limeskardinale handelt , womit der Beweis ihrer Unerreichbarkeit abgeschlossen ist . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle \kappa \leq 2^{\lambda }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \kappa }$

Obwohl aus ZFC folgt , dass jede messbare Kardinalzahl unzugänglich (und unaussprechlich , Ramsey usw.) ist, ist es mit ZF vereinbar , dass eine messbare Kardinalzahl eine Nachfolgerkardinalzahl sein kann. Aus ZF + AD folgt  , dass messbar ist ^{[ 4 ]} und dass jede Teilmenge von eine abgeschlossene und unbeschränkte Teilmenge enthält oder disjunkt zu dieser ist . ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

Ulam zeigte, dass die kleinste Kardinalzahl , die ein nicht-triviales abzählbar-additives zweiwertiges Maß zulässt, tatsächlich ein -additives Maß zulässt. (Gäbe es eine Menge von weniger als null Maß-Teilmengen, deren Vereinigung gleich null wäre , so wäre das induzierte Maß auf dieser Menge ein Gegenbeispiel zur Minimalität von null .) Daraus lässt sich (mit dem Auswahlaxiom) beweisen, dass die kleinste solche Kardinalzahl unerreichbar sein muss. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Wenn messbar ist und ( die Ultrapotenz von ) die Bedingung erfüllt , dann ist die Menge derjenigen, für die die Bedingung erfüllt, stationär in (genauer gesagt eine Menge vom Maß 1). Insbesondere, wenn eine Formel ist und die Bedingung erfüllt , dann erfüllt auch diese und somit auch die Bedingung für eine stationäre Menge von . Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um zu zeigen, dass ein Limes der meisten Arten großer Kardinalzahlen ist, die schwächer als messbar sind. Man beachte, dass der Ultrafilter oder das Maß, das die Messbarkeit von belegt, nicht in liegen kann, da die kleinste messbare Kardinalzahl eine weitere solche darunter haben müsste, was unmöglich ist. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle p\in V_{\kappa }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi (\kappa,p)}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi (\alpha,p)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi (\kappa,p)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi (\alpha,p)}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle M}$

Beginnt man mit einer elementaren Einbettung von in mit kritischem Punkt , so lässt sich ein Ultrafilter auf als definieren . Durch die Bildung einer Ultrapotenz von über erhält man eine weitere elementare Einbettung von in . Dabei ist jedoch zu beachten, dass . Daher können auch andere Arten großer Kardinalzahlen, wie z. B. starke Kardinalzahlen , messbar sein, jedoch nicht mithilfe derselben Einbettung. Es lässt sich zeigen, dass eine starke Kardinalzahl messbar ist und zudem -viele messbare Kardinalzahlen darunter besitzt. ${\displaystyle j_{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \{S\subseteq \kappa \mid \kappa \in j_{1}(S)\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle j_{2}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle j_{2}\neq j_{1}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Jede messbare Kardinalzahl ist eine 0- große Kardinalzahl, weil , das heißt, jede Funktion von nach , ist in . Folglich . ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle ^{\kappa }M\subseteq M}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V_{\kappa +1}\subseteq M}$

Existiert eine messbare Kardinalzahl, so besitzt jede (bezüglich der analytischen Hierarchie ) Menge reeller Zahlen ein Lebesgue-Maß . ^{[ 4 ]} Insbesondere darf keine nicht messbare Menge reeller Zahlen ein Lebesgue-Maß sein . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{1}}$

Eine Kardinalzahl heißt reellwertig messbar, wenn es auf der Potenzmenge von ein additives Wahrscheinlichkeitsmaß gibt , das auf einelementigen Zahlen verschwindet. Reellwertig messbare Kardinalzahlen wurden von Stefan Banach  ( 1930 ) eingeführt. Banach und Kuratowski (1929) zeigten, dass die Kontinuumshypothese impliziert, dass nicht reellwertig messbar ist. Stanislaw Ulam  ( 1930 ) zeigte (siehe unten für Teile seines Beweises), dass reellwertig messbare Kardinalzahlen schwach unerreichbar sind (sie sind tatsächlich schwach Mahlo- ). Alle messbaren Kardinalzahlen sind reellwertig messbar, und eine reellwertig messbare Kardinalzahl ist genau dann messbar, wenn größer als ist . Somit ist eine Kardinalzahl genau dann messbar, wenn sie reellwertig messbar und stark unerreichbar ist. Eine reellwertige messbare Kardinalzahl kleiner oder gleich existiert genau dann, wenn es eine abzählbar additive Erweiterung des Lebesgue-Maßes auf alle Mengen reeller Zahlen gibt, und genau dann, wenn es ein atomloses Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Potenzmenge einer nichtleeren Menge gibt. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Solovay (1971) zeigte, dass die Existenz messbarer Kardinalzahlen in ZFC, reellwertiger messbarer Kardinalzahlen in ZFC und messbarer Kardinalzahlen in ZF äquikonsistent ist .

Sei ein äußeres Maß auf einer Menge . Man sagt, eine Kardinalzahl sei eine Ulam-Zahl, wenn immer ^{[ 5 ] [ nb 1 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mu (X)\leq \infty }$,

1

${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$für jedes ,${\displaystyle x\in X}$

2

alle sind μ -messbar ,${\displaystyle A\subseteq X}$

3

dann impliziert . ${\displaystyle |X|\leq \alpha }$${\displaystyle \mu (X)=0}$

Äquivalent dazu: Ist eine Menge paarweise disjunkter Teilmengen von , so ist eine Ulam-Zahl, wenn für jedes gilt ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$

1. ${\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)<\infty }$,
2. ${\displaystyle \mu (A)=0}$für ,${\displaystyle A\in F}$
3. ${\displaystyle \textstyle \bigcup G}$ist für jedes messbar ,${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G\subset F}$

dann impliziert . ${\displaystyle |F|\leq \alpha }$${\displaystyle \mu (\textstyle \bigcup F)=0}$

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ℵ₀ ist eine Ulam-Zahl _. Die Klasse der Ulam-Zahlen ist bezüglich der Kardinalnachfolgeroperation abgeschlossen . ^{[ 6 ]} Besitzt eine unendliche Kardinalzahl einen unmittelbaren Vorgänger , der eine Ulam-Zahl ist, so erfülle dieser die Eigenschaften ( 1 )–( 3 ) mit . Im von-Neumann-Modell der Ordinal- und Kardinalzahlen wählt man für jedes eine injektive Funktion und definiert die Mengen ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X=\beta }$${\displaystyle x\in \beta }$${\displaystyle f_{x}:x\to \alpha }$

${\displaystyle U(b,a)=\{x\in \beta \mid f_{x}(b)=a\}}$Die

Da die Funktionen injektiv sind, die Mengen ${\displaystyle f_{x}}$

${\displaystyle \{U(b,a)\mid b\in \beta \}}$mit fest${\displaystyle a\in \alpha }$

Und

${\displaystyle \{U(b,a)\mid a\in \alpha \}}$mit fest${\displaystyle b\in \beta }$

sind paarweise disjunkt. Nach Eigenschaft ( 1 ) von ist die Menge ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \{b\in \beta \mid \mu (U(b,a))>0\}}$

ist abzählbar , und daher

${\displaystyle {\big |}\{(b,a)\in \beta \times \alpha \mid \mu (U(b,a))>0\}{\big |}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha }$Die

Somit gibt es ein solches, dass ${\displaystyle b_{0}\in \beta }$

${\displaystyle \mu (U(b_{0},a))=0}$für alle ,${\displaystyle a\in \alpha }$

woraus folgt, da es sich um eine Ulam-Zahl handelt und unter Verwendung der zweiten Definition, dass ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a){\Big )}=0}$Die

Wenn und dann . Somit ${\displaystyle b_{0}<x<\beta }$${\displaystyle f_{x}(b_{0})=a_{x}}$${\displaystyle x\in U(b_{0},a_{x})}$

${\displaystyle \beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)}$Die

Aufgrund der Eigenschaft ( 1 ) und da , folgt aus ( 3 ), ( 1 ) und ( 2 ), . Daraus folgt . Die Schlussfolgerung ist, dass eine Ulam-Zahl ist. ${\displaystyle \mu (\{b_{0}\})=0}$${\displaystyle |b_{0}|\leq \alpha }$${\displaystyle \mu (b_{0})=0}$${\displaystyle \mu (\beta )=0}$${\displaystyle \beta }$

Es gibt einen ähnlichen Beweis ^{[ 7 ]} , dass das Supremum einer Menge von Ulam-Zahlen mit einer Ulam-Zahl wieder eine Ulam-Zahl ist. Zusammen mit dem vorherigen Ergebnis impliziert dies, dass eine Kardinalzahl, die keine Ulam-Zahl ist, schwach unerreichbar ist . ${\displaystyle S}$${\displaystyle |S|}$

• Normalmaß
• Mitchell-Ordnung
• Liste der großen Kardinaleigenschaften

• Banach, Stefan (1930), „Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen“ , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97–101 , doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 , ISSN  0016-2736Die
• Banach, Stefan ; Kuratowski, Kazimierz (1929), „Sur une généralisation du probleme de la mesure“ , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127–131 , doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 , ISSN  0016-2736Die
• Drake, FR (1974), Mengenlehre: Eine Einführung in große Kardinalzahlen (Studien zur Logik und den Grundlagen der Mathematik; Bd. 76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5Die
• Federer, H. (1996) [1969], Geometrische Maßtheorie , Klassiker der Mathematik (Nachdruck der 1. Auflage), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567Die
• Jech, Thomas (2002), Mengenlehre, überarbeitete und erweiterte Ausgabe für das dritte Jahrtausend , Springer, ISBN 3-540-44085-2Die
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2. Aufl.), Springer, ISBN 3-540-00384-3Die
• Maddy, Penelope (1988), „Believing the Axioms. II“, The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736–764 , doi : 10.2307/2274569 , JSTOR  2274569 , S2CID  16544090Eine Kopie von Teil I und II dieses Artikels mit Korrekturen ist auf der Webseite des Autors verfügbar .
• Solovay, Robert M. (1971), „Real-valued measurable cardinals“, Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., S.  397–428 , MR  0290961Die
• Ulam, Stanislaw (1930), „Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre“ , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140–150 , doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 , ISSN  0016-2736Die