Halblogarithmische Darstellung

In Wissenschaft und Technik bezeichnet man in einem halblogarithmischen Diagramm eine Darstellung mit einer logarithmischen und einer linearen Achse . Es eignet sich für Daten mit exponentiellen Zusammenhängen, bei denen eine Variable einen großen Wertebereich abdeckt. ^{[ 1 ]}

Alle Gleichungen der Form bilden bei halblogarithmischer Darstellung Geraden, da das Logarithmieren beider Seiten ergibt ${\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}$

${\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .}$

Dies ist eine Gerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt. Die logarithmische Skala wird üblicherweise im Dezimalsystem angegeben, gelegentlich auch im Binärsystem. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \log _{a}\lambda }$

${\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).}$

Ein logarithmisch-lineares Diagramm (manchmal auch log-lin) verwendet eine logarithmische Skala auf der y- Achse und eine lineare Skala auf der x -Achse; ein linear-logarithmisches Diagramm (manchmal auch lin-log) ist umgekehrt. Die Bezeichnung lautet Ausgabe-Eingabe ( y – x ), die umgekehrte Reihenfolge zu ( x , y ).

In einem halblogarithmischen Diagramm ist der Abstand der Skalenelemente auf der y -Achse (oder x -Achse) proportional zum Logarithmus des Wertes, nicht zum Wert selbst. Dies entspricht der Umwandlung der y- Werte (oder x- Werte) in ihren Logarithmus und der anschließenden Darstellung der Daten auf einer linearen Skala. Ein doppeltlogarithmisches Diagramm verwendet die logarithmische Skala für beide Achsen und ist daher kein halblogarithmisches Diagramm.

Die Gleichung einer Geraden in einem linear-logarithmischen Diagramm, bei dem die Abszissenachse logarithmisch skaliert ist (mit der logarithmischen Basis n ), wäre

${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,}$

Die Gleichung einer Geraden in einem doppeltlogarithmischen Diagramm mit logarithmisch skalierter Ordinate (Basis n ) lautet:

${\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b}$

${\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}$

In einem linear-logarithmischen Diagramm wählt man einen festen Punkt (x₀, _F₀ ) , wobei _F₀ die Kurzform für _F (x₀) ist , irgendwo auf _der Geraden im obigen Diagramm und anschließend einen weiteren beliebigen Punkt ( x₁ , _{F₁ ) im selben Diagramm.} Die Steigungsformel des Diagramms lautet _:

${\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}$

was dazu führt

${\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})}$

oder

${\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}}$

was bedeutet, dass $${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constant} }$$

Anders ausgedrückt: F ist proportional zum Logarithmus von x multipliziert mit der Steigung der Geraden im linearen Logarithmusdiagramm, zuzüglich einer Konstanten. Genauer gesagt, hat eine Gerade in einem linearen Logarithmusdiagramm _{, die die Punkte (} F₀ ,  x₀ ) und ( F₁ ,  x₁ ) enthält _{, die folgende Funktion:}

${\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}$

In einem doppeltlogarithmischen Diagramm (logarithmische Skala auf der y-Achse) wählt man einen _festen Punkt ( x₀ , F₀ ), wobei F₀ _die Kurzform für F ( x₀ ₎ ist , irgendwo auf der Geraden im obigen Diagramm und anschließend einen weiteren beliebigen Punkt ( x₁ _, F₁ _{) im selben Diagramm. Die} Steigungsformel des Diagramms lautet :

${\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}$

was dazu führt

${\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}$

Beachten Sie, dass n ^{log _n ( F ₁ )} = F ₁ . Daher können die Logarithmen invertiert werden, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

oder

${\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

Dies lässt sich auf jeden beliebigen Punkt verallgemeinern, nicht nur auf F ₁ :

${\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}$

In Physik und Chemie kann man mithilfe eines Diagramms, in dem der Logarithmus des Drucks gegen die Temperatur aufgetragen wird, die verschiedenen Phasen eines Stoffes veranschaulichen , wie im folgenden Beispiel für Wasser :

Obwohl zehn die gebräuchlichste Basis ist , gibt es Fälle, in denen andere Basen besser geeignet sind, wie in diesem Beispiel:

Notice that while the horizontal (time) axis is linear, with the dates evenly spaced, the vertical (cases) axis is logarithmic, with the evenly spaced divisions being labelled with successive powers of two. The semi-log plot makes it easier to see when the infection has stopped spreading at its maximum rate, i.e. the straight line on this exponential plot, and starts to curve to indicate a slower rate. This might indicate that some form of mitigation action is working, e.g. social distancing.

In biology and biological engineering, the change in numbers of microbes due to asexual reproduction and nutrient exhaustion is commonly illustrated by a semi-log plot. Time is usually the independent axis, with the logarithm of the number or mass of bacteria or other microbe as the dependent variable. This forms a plot with four distinct phases, as shown below.

• Nomogram, a diagram designed to approximate a function graphically
• Nonlinear regression#Transformation, for converting a nonlinear form to a semi-log form amenable to non-iterative calculation
• Log–log plot