Material bedingt

Die materiale Konditionalaussage (auch bekannt als materiale Implikation ) ist eine binäre Operation, die häufig in der Logik verwendet wird . Wenn das Konditionalsymbol als materiale Implikation interpretiert wird , ist eine Formel wahr, es sei denn , ist wahr und ist falsch. ${\displaystyle \to }$${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Die materielle Implikation findet in allen grundlegenden Systemen der klassischen Logik sowie in einigen nichtklassischen Logiken Anwendung . Sie gilt in der Mathematik als Modell korrekten bedingten Schließens und dient in vielen Programmiersprachen als Grundlage für Befehle . Allerdings ersetzen viele Logiken die materielle Implikation durch andere Operatoren wie den strikten Konditional und den variabel strikten Konditional . Aufgrund der Paradoxien der materiellen Implikation und verwandter Probleme wird sie im Allgemeinen nicht als geeignete Analysemethode für Konditionalsätze in natürlicher Sprache angesehen .

In der Logik und verwandten Gebieten wird die materiale Konditionalaussage üblicherweise mit einem Infixoperator ( U+2192 → Pfeil nach rechts ) notiert. ^{[ 1 ]} Alternativ kann die materiale Konditionalaussage auch mit den Infixen U+2283 ⊃ Obermenge von U+21D2 ⇒ Doppelpfeil nach rechts notiert werden . [ 2 ] In der polnischen Präfixnotation werden Konditionalaussagen als U+21D2 → U+21D2 → U+21D2 → Doppelpfeil nach rechts geschrieben. ^{In einer Konditionalformel} wird die Teilformel als Antezedens und die Folge als Konsequens der Konditionalaussage bezeichnet . Konditionalaussagen können so verschachtelt werden, dass Antezedens oder Konsequens selbst Konditionalaussagen sein können, wie in der Formel U+21D2 → ... ${\displaystyle \to }$${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle Cpq}$${\displaystyle p\to q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$

In Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889) drückte Peano den Satz „Wenn , dann “ als Ɔ mit dem Symbol Ɔ aus, das das Gegenteil von C ist. ^{[ 3 ]} Er drückte den Satz auch als Ɔ aus . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Hilbert drückte den Satz „Wenn A , dann B “ 1918 als Ɔ aus. ^{[ 1 ]} Russell folgte Peano in seinen Principia Mathematica (1910–1913), in denen er den Satz „Wenn A , dann B “ als Ɔ ausdrückte . Nach Russell drückte Gentzen den Satz „Wenn A , dann B “ als Ɔ aus . Heyting drückte den Satz „Wenn A , dann B “ zunächst als Ɔ aus, später jedoch als Ɔ mit einem nach rechts zeigenden Pfeil. Bourbaki drückte den Satz „Wenn A , dann B “ 1954 als Ɔ aus. ^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\supset B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A\supset B}$${\displaystyle A\supset B}$${\displaystyle A\supset B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A\Rightarrow B}$

Aus klassisch -semantischer Sicht ist die materielle Implikation der binäre Wahrheitsfunktionaloperator , der „wahr“ zurückgibt, es sei denn, sein erstes Argument ist wahr und sein zweites Argument ist falsch. Diese Semantik lässt sich grafisch in der folgenden Wahrheitstabelle darstellen :

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\to B}$
F	F	T
F	T	T
T	F	F
T	T	T

Man kann auch die Äquivalenz in Betracht ziehen . ${\displaystyle A\to B\equiv \neg (A\land \neg B)\equiv \neg A\lor B}$

Konditionalsätze, deren Prämisse falsch ist, werden als „ leere Wahrheiten “ bezeichnet. Beispiele hierfür sind … ${\displaystyle (A\to B)}$${\displaystyle A}$

• ... mit falsch: „Wenn Marie Curie eine Schwester von Galileo Galilei ist , dann ist Galileo Galilei ein Bruder von Marie Curie.“${\displaystyle B}$
• ... mit wahr: „Wenn Marie Curie eine Schwester von Galileo Galilei ist, dann hat Marie Curie ein Geschwisterkind.“${\displaystyle B}$

Formeln über der Menge der Konnektive ^{[ 8 ]} werden f-Implikationalformeln genannt . ^{[ 9 ]} In der klassischen Logik können die anderen Konnektive, wie ( Negation ), ( Konjunktion ), ( Disjunktion ) und ( Äquivalenz ), mithilfe von und ( Falschheit ) definiert werden: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \{\to ,\bot \}}$${\displaystyle \neg }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \bot }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad A\to \bot \\A\land B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to (B\to \bot ))\to \bot \\A\lor B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad (A\to \bot )\to B\\A\leftrightarrow B&\quad {\overset {\text{def}}{=}}\quad \{(A\to B)\to [(B\to A)\to \bot ]\}\to \bot \\\end{aligned}}}$$

Die Gültigkeit von f-Implikationsformeln lässt sich semantisch mit Hilfe analytischer Tableaus nachweisen . Die logischen Regeln lauten:

${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A\to B)}{{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A)\quad \mid \quad {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(B)}}}$	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(A\to B)}{\begin{array}{c}{\boldsymbol {\mathsf {T}}}(A)\\{\boldsymbol {\mathsf {F}}}(B)\end{array}}}}$
${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {T}}}(\bot )}$ : Zweig schließen (Widerspruch)  : Nichts tun (da lediglich festgestellt wird, dass kein Widerspruch vorliegt) ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {F}}}(\bot )}$

Beispiel: Beweis von , mittels analytischer Tableaus${\displaystyle p\to \neg \neg p\quad }$
F[p → ((p → ⊥) → ⊥)] | T[p] F[(p → ⊥) → ⊥] | T[p → ⊥] F[⊥] ┌────────┴────────┐ F[p] T[⊥] | | WIDERSPRUCH WIDERSPRUCH (T[p], F[p]) (⊥ ist wahr)

Beispiel: Beweis von , mittels analytischer Tableaus${\displaystyle \neg \neg p\to p\quad }$
F[((p → ⊥) → ⊥) → p] | T[(p → ⊥) → ⊥] F[p] ┌────────┴────────┐ F[p → ⊥] T[⊥] | | T[p] WIDERSPRUCH (⊥ ist wahr) F[⊥] | WIDERSPRUCH (W[p], F[p]) Beweise im Hilbert-Stil finden Sie hier oder hier .

Beispiel: Beweis von , mittels analytischer Tableaus${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$
1. F[(p → q) → ((q → r) → (p → r))] | // von 1 2. T[p → q] 3. F[(q → r) → (p → r)] | // von 3 4. T[q → r] 5. F[p → r] | // von 5 6. T[p] 7. F[r] ┌────────┴────────┐ // von 2 8a. F[p] 8b. T[q] X ┌────────┴────────┐ // von 4 9a. F[q] 9b. T[r] XX Einen Beweis im Hilbert-Stil finden Sie hier .

Die semantische Definition mittels Wahrheitstabellen erlaubt keine Untersuchung strukturell identischer Aussagenformen in verschiedenen logischen Systemen , in denen unterschiedliche Eigenschaften nachgewiesen werden können. Die hier betrachtete Sprache beschränkt sich auf f-Implikationsformeln .

Betrachten Sie die folgenden (potenziellen) Regeln des natürlichen Schlussfolgerns .

Implikationseinleitung ( I) ${\displaystyle \to }$ Wenn man annimmt, dass man ableiten kann , dann kann man folgern . ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}[A]\\\vdots \\B\end{array}}{A\to B}}}$( ICH) ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle [A]}$ist eine Annahme, die bei Anwendung der Regel nicht mehr erfüllt ist.	Implikationseliminierung ( E) ${\displaystyle \to }$ Diese Regel entspricht dem Modus Ponens . ${\displaystyle {\frac {A\to B\quad A}{B}}}$( E) ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {\frac {A\quad A\to B}{B}}}$( E) ${\displaystyle \to }$
Doppelte Negationseliminierung (E) ${\displaystyle \neg \neg }$ ${\displaystyle {\frac {\begin{array}{c}(A\to \bot )\to \bot \\\end{array}}{A}}}$( E) ${\displaystyle \neg \neg }$	Irrtumsbeseitigung ( E) ${\displaystyle \bot }$ Aus Falsum ( ) kann man jede beliebige Formel ableiten. (ex falso quodlibet) ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle {\frac {\bot }{A}}}$( E) ${\displaystyle \bot }$

• Minimallogik : Beschränkt man dieRegeln des natürlichen Schließens auf die Einführung von Implikationen (I) und die Eliminierung von Implikationen (E), so erhält man (das implikationale Fragment der) ^{[ 10 ]} Minimallogik (wie von Johansson definiert ). ^{[ 11 ]}${\displaystyle \to }$${\displaystyle \to }$

Beweis von , innerhalb minimaler Logik${\displaystyle P\to \neg \neg P\quad }$
1.  [ P ]  // Annehmen 2.  [ P → ⊥ ]  // Annehmen 3.  ⊥  // E (1, 2) ${\displaystyle \to }$ 4.  (P → ⊥) → ⊥)  // I (2, 3), Entladung 2 ${\displaystyle \to }$ 5.  P → ((P → ⊥) → ⊥)  // I (1, 4), Entladung 1 ${\displaystyle \to }$

• Intuitionistische Logik : Durch Hinzufügen der Falsum Elimination (E) als Regel erhält man (das implikationale Fragment von) ^{[ 10 ]} intuitionistischer Logik.${\displaystyle \bot }$

Die Aussage ist gültig (bereits in minimaler Logik), im Gegensatz zur umgekehrten Implikation, die den Satz vom ausgeschlossenen Dritten zur Folge hätte .${\displaystyle P\to \neg \neg P}$

• Klassische Logik : Wenn auch die doppelte Negationseliminierung (E) erlaubt ist, ^{[ 14 ]} definiert das System die (vollständige!) klassische Logik. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 15 ]}${\displaystyle \neg \neg }$

In der klassischen Logik bestätigt die Materialimplikation Folgendes:

Kontraposition:${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)\to (P\to Q)}$

1.  [ (Q → ⊥) → (P → ⊥) ]  // Annahme (Entladung bei 9) 2.  [ P ]  // Annahme (Entladung bei 8) 3.  [ Q → ⊥ ]  // Annahme (Entladung bei 6) 4.  P → ⊥  // E (1, 3) ${\displaystyle \to }$ 5.  ⊥  // E (2, 4) ${\displaystyle \to }$ 6.  (Q → ⊥) → ⊥  // I (3, 5) (Entladung von 3) ${\displaystyle \to }$ 7.  Q  // E (6) ${\displaystyle \neg \neg }$ 8.  P → Q  // I (2, 7) (Entladung von 2) ${\displaystyle \to }$ 9.  ((Q → ⊥) → (P → ⊥)) → (P → Q)  // I (1, 8) (Entladung 1) ${\displaystyle \to }$

Peirces Gesetz :${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

1.  [ (P → Q) → P ]  // Annahme (Entladung bei 11) 2.  [ P → ⊥ ]  // Annahme (Entladung bei 9) 3.  [ P ]  // Annahme (Entladung bei 6) 4.  ⊥  // E (2, 3) ${\displaystyle \to }$ 5.  Q  // E (4) ${\displaystyle \bot }$ 6.  P → Q  // I (3, 5) (Entladung von 3) ${\displaystyle \to }$ 7.  P  // E (1, 6) ${\displaystyle \to }$ 8.  ⊥  // E (2, 7) ${\displaystyle \to }$ 9.  (P → ⊥) → ⊥  // I (2, 8) (Entladung von 2) ${\displaystyle \to }$ 10.  P  // E (9) ${\displaystyle \neg \neg }$ 11.  ((P → Q) → P) → P  // I (1, 10) (Entladung 1) ${\displaystyle \to }$

Leerer Konditionalsatz (IPC):${\displaystyle \neg P\to (P\to Q)}$
1.  ${\displaystyle [P\to \bot ]}$  // Annehmen 2.  ${\displaystyle [P]}$  // Annehmen 3.  ${\displaystyle \bot }$  // E (1, 2) ${\displaystyle \to }$ 4.  ${\displaystyle Q}$  // E (3) ${\displaystyle \bot }$ 5.  ${\displaystyle P\to Q}$  // I (2, 4) (Entladung von 2) ${\displaystyle \to }$ 6.  ${\displaystyle (P\to \bot )\to (P\to Q)}$  // I (1, 5) (Entladung 1) ${\displaystyle \to }$

• Import-Export :${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• Negierte Konditionalsätze:${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• Oder-und-wenn:${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• Kommutativität der Antezedenten:${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• Linksdistributivität :${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

In ähnlicher Weise bestätigen materielle Implikationen gemäß klassischen Interpretationen der anderen Konnektive die folgenden Folgerungen :

• Antezedente Stärkung:${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• Transitivität :${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• Vereinfachung disjunktiver Antezedenzien :${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

Tautologien mit materieller Implikation umfassen:

• Reflexivität :${\displaystyle \models P\to P}$
• Totalität :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• Bedingt ausgeschlossenes Mittel :${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

Der materiale Konditional ist eine Satzverbindung innerhalb einer formalen Sprache. Er sollte nicht mit der Relation der logischen Folgerung (auch logische Implikation oder Implikation genannt) verwechselt werden, die üblicherweise als Relation zwischen Sätzen behandelt wird, die in einer Metasprache ausgedrückt sind .

Die Beziehung zwischen der materialen Konditionalaussage und der logischen Folgerungsrelation wird durch den Deduktionssatz gegeben .

${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}\vdash B\;}$genau dann, wenn${\displaystyle \;\Gamma \vdash A\to B}$

Dies kann so gelesen werden, dass die Menge der Sätze zusammen mit A logisch B impliziert , genau dann, wenn logisch die materiale Konditionalaussage impliziert wird . ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle A\to B}$

Im Sonderfall, dass leer ist, reduziert sich dies auf: ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle A\vdash B\;}$genau dann, wenn${\displaystyle \;\vdash A\to B}$

Dies besagt, dass A logisch B impliziert , genau dann, wenn die materielle Konditionalaussage ein Theorem der Logik ist. ${\displaystyle A\to B}$

Viele Lehrbücher verwenden den Begriff „logische Konsequenz“ (oder „logische Implikation“) ausschließlich für die semantische Konsequenzrelation mit dem Symbol . ^{[ 16 ] [ 17 ]} In diesem Fall lautet die Relation dann: ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle A\models B\;}$genau dann, wenn${\displaystyle \;\models A\to B}$

Logisch folgt aus A genau dann B , wenn die materiale Konditionalaussage eine Tautologie ist . ${\displaystyle A\to B}$

Die Materialimplikation entspricht nicht genau dem Gebrauch von Konditionalsätzen in der natürlichen Sprache . Beispielsweise sind Materialkonditionale mit falschen Prämissen zwar trivial wahr , die Aussage „Wenn 8 ungerade ist, dann ist 3 eine Primzahl“ wird jedoch in der Regel als falsch beurteilt. Ebenso ist jedes Materialkonditional mit einer wahren Konsequenz selbst wahr, doch Sätze wie „Wenn ich einen Penny in der Tasche habe, dann liegt Paris in Frankreich“ werden üblicherweise abgelehnt. Diese klassischen Probleme werden als Paradoxien der Materialimplikation bezeichnet . ^{[ 18 ]} Neben diesen Paradoxien wurden verschiedene weitere Argumente gegen eine Analyse mittels Materialimplikation vorgebracht. So wären beispielsweise kontrafaktische Konditionale nach dieser Auffassung alle trivial wahr, obwohl einige tatsächlich falsch sind. ^{[ 19 ]}

Mitte des 20. Jahrhunderts schlugen Forscher wie H. P. Grice und Frank Jackson vor , die Diskrepanzen zwischen Konditionalsätzen in der natürlichen Sprache und dem materialen Konditional durch pragmatische Prinzipien erklären zu lassen. Ihren Theorien zufolge bezeichnen Konditionalsätze zwar eine materielle Implikation, vermitteln aber zusätzliche Informationen, wenn sie mit Konversationsnormen wie Grices Maximen interagieren . ^{[ 18 ] [ 20 ]} Neuere Arbeiten in der formalen Semantik und Sprachphilosophie haben die materielle Implikation als Analysemethode für Konditionalsätze in der natürlichen Sprache im Allgemeinen abgelehnt. ^{[ 20 ]} Insbesondere wurde in diesen Arbeiten häufig die Annahme verworfen, dass Konditionalsätze in der natürlichen Sprache wahrheitsfunktional sind , d. h. dass der Wahrheitswert von „Wenn P , dann Q “ ausschließlich durch die Wahrheitswerte von P und Q bestimmt wird . ^{[ 18 ]} Semantische Analysen von Konditionalsätzen schlagen daher typischerweise alternative Interpretationen vor, die auf Grundlagen wie Modallogik , Relevanzlogik , Wahrscheinlichkeitstheorie und Kausalmodellen basieren . ^{[ 20 ] [ 18 ] [ 21 ]}

Ähnliche Diskrepanzen wurden von Psychologen beobachtet, die bedingtes Denken untersuchten, beispielsweise in der berüchtigten Wason-Selektionsaufgabe , in der weniger als 10 % der Teilnehmer gemäß der materialen Konditionalaussage argumentierten. Einige Forscher interpretierten dieses Ergebnis als ein Versagen der Teilnehmer, sich an normative Denkgesetze zu halten, während andere es als normativ und nach nichtklassischen Gesetzen argumentierend interpretierten. ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

• Entsprechende Konditional
• Kontrafaktische Konditional
• Indikativkonditional
• Strenge Bedingung

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