David Hilbert

David Hilbert ( / ˈ h ɪ l b ər t / ; ^{[ 3 ]} Deutsch: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23. Januar 1862 – 14. Februar 1943) war ein deutscher Mathematiker und Philosoph der Mathematik und einer der einflussreichsten Mathematiker aller Zeiten.

Hilbert discovered and developed a broad range of fundamental ideas including invariant theory, the calculus of variations, commutative algebra, algebraic number theory, the foundations of geometry, spectral theory of operators and its application to integral equations, mathematical physics, and the foundations of mathematics (particularly proof theory). He adopted and defended Georg Cantor's set theory and transfinite numbers. In 1900, he presented a collection of problems that set a course for mathematical research of the 20th century.^[4][5]

Hilbert and his students contributed to establishing rigor and developed important tools used in modern mathematical physics. He was a co-founder of proof theory and mathematical logic.^[6]

Hilbert, the first of two children and only son of Otto, a county judge, and Maria Therese Hilbert (née Erdtmann), the daughter of a merchant, was born in the Province of Prussia, Kingdom of Prussia, either in Königsberg, now Kaliningrad, (according to Hilbert's own statement) or in Wehlau (known since 1946 as Znamensk) near Königsberg where his father worked at the time of his birth. His paternal grandfather was David Hilbert, a judge and Geheimrat. His mother Maria had an interest in philosophy, astronomy and prime numbers, while his father Otto taught him Prussian virtues. After his father became a city judge, the family moved to Königsberg. David's sister, Elise, was born when he was six. He began his schooling aged eight, two years later than the usual starting age.^[7]

Ende 1872 trat Hilbert in das Friedrichskolleg ( Collegium fridericianum , dieselbe Schule, die 140 Jahre zuvor Immanuel Kant besucht hatte) ein; nach einer unglücklichen Zeit wechselte er jedoch Ende 1879 zum naturwissenschaftlich orientierten Wilhelm-Gymnasium , das er Anfang 1880 abschloss . ^{[ 8 ]} Im Herbst 1880 schrieb er sich nach seinem Abitur an der Universität Königsberg , der „Albertina“, ein. Anfang 1882 kehrte Hermann Minkowski (zwei Jahre jünger als Hilbert und ebenfalls Königsberger, der jedoch drei Semester in Berlin verbracht hatte) ^{[ 9 ]} nach Königsberg zurück und begann sein Studium an der Universität. Hilbert verband eine lebenslange Freundschaft mit dem schüchternen, hochbegabten Minkowski. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Hilbert im Jahr 1886

Hilbert im Jahr 1907

1884 kam Adolf Hurwitz als außerordentlicher Professor aus Göttingen. Es entwickelte sich ein intensiver und fruchtbarer wissenschaftlicher Austausch zwischen den dreien, und insbesondere Minkowski und Hilbert beeinflussten sich im Laufe ihrer wissenschaftlichen Karrieren immer wieder gegenseitig. Hilbert promovierte 1885 mit einer Dissertation unter Ferdinand von Lindemann [ ^{2 ]} mit dem Titel ^„ Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen , insbesondere der Kugelfunktionen“ .

Hilbert blieb von 1886 bis 1895 als Privatdozent an der Universität Königsberg . 1895 erhielt er dank der Intervention von Felix Klein eine Professur für Mathematik an der Universität Göttingen . Während der Jahre unter Klein und Hilbert entwickelte sich Göttingen zur führenden Institution der mathematischen Welt. ^{[ 12 ]} Er blieb dort bis zu seinem Tod.

Zu Hilberts Schülern zählten Hermann Weyl , der Schachweltmeister Emanuel Lasker , Ernst Zermelo und Carl Gustav Hempel . John von Neumann war sein Assistent. An der Universität Göttingen verkehrte Hilbert in einem Kreis der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, darunter Emmy Noether und Alonzo Church .

Unter seinen 69 Doktoranden in Göttingen befanden sich viele, die später berühmte Mathematiker wurden, darunter (mit Angabe des Dissertationsdatums): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) und Wilhelm Ackermann (1925). ^{[ 13 ]} Zwischen 1902 und 1939 war Hilbert Herausgeber der „Mathematischen Annalen“ , der damals führenden mathematischen Fachzeitschrift. 1907 wurde er zum internationalen Mitglied der National Academy of Sciences der Vereinigten Staaten gewählt. ^{[ 14 ]}

Hilbert und seine Frau Käthe Jerosch (1892)

Franz Hilbert

1892 heiratete Hilbert Käthe Jerosch (1864–1945), die Tochter eines Königsberger Kaufmanns, „eine resolute junge Dame mit einer Unabhängigkeit, die [Hilberts] in nichts nachstand.“ ^{[ 15 ]} In Königsberg wurde ihr einziger Sohn, Franz Hilbert (1893–1969), geboren. Franz litt zeitlebens unter einer psychischen Erkrankung, und nachdem er in eine psychiatrische Klinik eingewiesen worden war, sagte Hilbert: „Von nun an muss ich mich so betrachten, als hätte ich keinen Sohn mehr.“ Diese Haltung gegenüber Franz bereitete Käthe großen Kummer. ^{[ 16 ]}

Hilbert betrachtete den Mathematiker Hermann Minkowski als seinen „besten und treuesten Freund“. ^{[ 17 ]}

Hilbert wurde in der Preußischen Evangelischen Kirche getauft und calvinistisch erzogen . ^{[ a ]} Später verließ er die Kirche und wurde Agnostiker . ^{[ b ]} Er argumentierte außerdem, dass mathematische Wahrheit unabhängig von der Existenz Gottes oder anderen a priori Annahmen sei. ^{[ c ] [ d ]} Als Galileo Galilei dafür kritisiert wurde, dass er seine Überzeugungen zur heliozentrischen Theorie nicht verteidigte , wandte Hilbert ein: „Aber [Galileo] war kein Idiot. Nur ein Idiot könnte glauben, dass wissenschaftliche Wahrheit ein Martyrium erfordert; das mag in der Religion notwendig sein, aber wissenschaftliche Ergebnisse beweisen sich mit der Zeit.“ ^{[ e ]}

Wie Albert Einstein pflegte auch Hilbert engste Kontakte zur Berliner Gruppe , deren führende Gründer bei Hilbert in Göttingen studiert hatten ( Kurt Grelling , Hans Reichenbach und Walter Dubislav ). ^{[ 18 ]}

Um 1925 erkrankte Hilbert an perniziöser Anämie , einem damals unheilbaren Vitaminmangel, dessen Hauptsymptom Erschöpfung ist. Sein Assistent Eugene Wigner beschrieb ihn als von „enormer Müdigkeit“ geplagt und wie er „ziemlich alt wirkte“, und dass er selbst nach der Diagnose und Behandlung „nach 1925 kaum noch ein Wissenschaftler und schon gar kein Hilbert mehr war“. ^{[ 19 ]}

Hilbert wurde 1932 in die American Philosophical Society gewählt. ^{[ 20 ]}

Hilbert erlebte 1933 noch die Säuberungswelle der Nationalsozialisten an der Universität Göttingen, bei der viele prominente Dozenten entlassen wurden. ^{[ 21 ]} Zu den Entlassenen gehörten Hermann Weyl (der Hilberts Lehrstuhl nach dessen Emeritierung 1930 übernommen hatte), Emmy Noether und Edmund Landau . Paul Bernays , der Deutschland verlassen musste, hatte mit Hilbert auf dem Gebiet der mathematischen Logik zusammengearbeitet und mit ihm das bedeutende Werk „ Grundlagen der Mathematik ^{“ [ 22 ]} verfasst (das schließlich in zwei Bänden, 1934 und 1939, erschien). Es handelte sich dabei um eine Fortsetzung des Hilbert- Ackermann- Werks „Principles of Mathematical Logic“ (1928). Hermann Weyls Nachfolger war Helmut Hasse . ^{[ 23 ]}

Etwa ein Jahr nach der Säuberung nahm Hilbert an einem Bankett teil und saß neben dem neuen Bildungsminister Bernhard Rust . Rust fragte, ob „das Mathematische Institut wirklich so sehr unter dem Weggang der Juden gelitten habe “. Hilbert antwortete: „Gelitten? Es existiert doch gar nicht mehr, oder?“ ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Als Hilbert 1943 starb, hatten die Nationalsozialisten die Universität fast vollständig neu besetzt, da viele der ehemaligen Dozenten entweder jüdisch waren oder mit Juden verheiratet waren. An Hilberts Beerdigung nahmen weniger als ein Dutzend Personen teil, darunter nur zwei Kollegen, unter ihnen Arnold Sommerfeld , ein theoretischer Physiker und ebenfalls gebürtiger Königsberger. ^{[ 26 ]} Die Nachricht von seinem Tod wurde der Öffentlichkeit erst mehrere Monate später bekannt. ^{[ 27 ]}

Die Inschrift auf seinem Grabstein in Göttingen besteht aus den berühmten Zeilen, die er am 8. September 1930 zum Abschluss seiner Abschiedsrede vor der Gesellschaft Deutscher Wissenschaftler und Ärzte sprach. Die Worte waren eine Antwort auf den lateinischen Ausspruch: „ Ignoramus et ignorabimus “ oder „Wir wissen es nicht und wir werden es nicht wissen“: ^{[ 28 ]}

Einen Tag bevor Hilbert diese Sätze auf der Jahrestagung der Gesellschaft Deutscher Wissenschaftler und Ärzte 1930 verkündete, gab Kurt Gödel – in einer Podiumsdiskussion während der gemeinsam mit der Gesellschaft abgehaltenen Konferenz über Erkenntnistheorie – die erste Formulierung seines Unvollständigkeitssatzes bekannt. ^{[ f ]} Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen, dass selbst elementare Axiomensysteme wie die Peano-Arithmetik entweder widersprüchlich sind oder logische Aussagen enthalten, die innerhalb dieses Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Hilberts erste Arbeiten über invariante Funktionen führten ihn 1888 zum Beweis seines berühmten Endlichkeitssatzes . Zwanzig Jahre zuvor hatte Paul Gordon den Satz von der Endlichkeit der Erzeugenden binärer Formen mit einem komplexen Rechenverfahren bewiesen. Versuche, seine Methode auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen zu verallgemeinern, scheiterten an der enormen Schwierigkeit der damit verbundenen Berechnungen. Um das sogenannte Gordon-Problem zu lösen , erkannte Hilbert, dass ein völlig anderer Weg notwendig war. Daher bewies er Hilberts Basissatz , der die Existenz einer endlichen Menge von Erzeugenden für die Invarianten von Quantiken in beliebiger Anzahl von Variablen zeigt, jedoch in abstrakter Form. Das heißt, obwohl er die Existenz einer solchen Menge bewies, war es kein konstruktiver Beweis – er zeigte kein „Objekt“ –, sondern ein Existenzbeweis ^{[ 29 ]} , der auf der Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in einer unendlichen Erweiterung beruhte .

Hilbert sandte seine Ergebnisse an die Mathematischen Annalen . Gordan, der Hausexperte für Invariantentheorie der Mathematischen Annalen , konnte die revolutionäre Natur von Hilberts Theorem nicht würdigen und lehnte den Artikel ab, da er die Darstellung als unzureichend umfassend kritisierte. Sein Kommentar lautete:

Klein hingegen erkannte die Bedeutung der Arbeit und sicherte zu, dass sie unverändert veröffentlicht würde. Von Klein ermutigt, erweiterte Hilbert seine Methode in einem zweiten Artikel, in dem er Abschätzungen für den maximalen Grad der minimalen Erzeugermenge lieferte, und sandte diesen erneut an die Annalen . Nachdem Klein das Manuskript gelesen hatte, schrieb er ihm:

Dies ist zweifellos die wichtigste Arbeit über allgemeine Algebra, die die Annalen je veröffentlicht haben. ^{[ 31 ]}

Später, nachdem der Nutzen von Hilberts Methode allgemein anerkannt worden war, sagte Gordon selbst:

Ich bin zu der Überzeugung gelangt, dass auch die Theologie ihre Vorzüge hat. ^{[ 32 ]}

Trotz all seiner Erfolge bereitete die Art seines Beweises mehr Schwierigkeiten, als Hilbert sich hätte vorstellen können. Obwohl Kronecker dies eingeräumt hatte, entgegnete Hilbert später auf ähnliche Kritikpunkte anderer, dass „viele verschiedene Konstruktionen unter einer fundamentalen Idee subsumiert werden“ – mit anderen Worten (um Reid zu zitieren): „Durch einen Existenzbeweis hatte Hilbert eine Konstruktion erhalten können“; „der Beweis“ (d. h. die Symbole auf dem Papier) war „das Objekt“. ^{[ 32 ]} Nicht alle waren überzeugt. Kronecker starb zwar bald darauf, doch seine konstruktivistische Philosophie lebte mit dem jungen Brouwer und dessen sich entwickelnder intuitionistischer „Schule“ fort, sehr zum Leidwesen Hilberts in seinen späteren Jahren. ^{[ 33 ]} Tatsächlich verlor Hilbert seinen „begabten Schüler“ Weyl an den Intuitionismus – „Hilbert war beunruhigt über die Faszination seines ehemaligen Schülers für die Ideen Brouwers, die in ihm die Erinnerung an Kronecker weckte“. ^{[ 34 ]} Insbesondere der Intuitionist Brouwer wandte sich gegen die Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten auf unendliche Mengen (wie Hilbert ihn verwendet hatte). Hilbert antwortete:

Den Grundsatz des ausgeschlossenen Dritten vom Mathematiker zu übernehmen, ist dasselbe, als würde man dem Boxer den Gebrauch seiner Fäuste verbieten. ^{[ 35 ]}

In der Algebra heißt ein Körper genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom über ihm eine Nullstelle in ihm besitzt. Unter dieser Bedingung gab Hilbert ein Kriterium dafür an, wann eine Menge von Polynomen von Variablen eine gemeinsame Nullstelle hat: Dies ist genau dann der Fall, wenn es keine Polynome und Indizes gibt , sodass ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})}$Die

Dieses Ergebnis ist als Hilbertscher Wurzelsatz bekannt . Er bewies außerdem, dass die Korrespondenz zwischen verschwindenden Idealen und ihren Verschwindungsmengen bijektiv zwischen affinen Varietäten und radikalischen Idealen in ist . ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Im März 1890 veröffentlichte Giuseppe Peano in den Mathematischen Annalen einen Artikel , in dem er die historisch erste raumfüllende Kurve beschrieb . Daraufhin entwarf Hilbert seine eigene Konstruktion einer solchen Kurve, die heute als Hilbert-Kurve bekannt ist . Approximationen dieser Kurve werden iterativ nach den Ersetzungsregeln in der ersten Abbildung dieses Abschnitts konstruiert. Die Kurve selbst ist dann der punktweise Grenzwert.

Der 1899 von Hilbert veröffentlichte Text „Grundlagen der Geometrie “ (dt.: Foundations of Geometry ) stellt ein formales System, die sogenannten Hilbertschen Axiome, vor, die die traditionellen Axiome Euklids ersetzen sollten . Sie vermeiden die Schwächen der Euklidischen Axiome , deren Werke damals noch als Lehrbücher galten. Es ist schwierig, die von Hilbert verwendeten Axiome ohne Bezugnahme auf die Publikationsgeschichte der „ Grundlagen“ genau zu bestimmen , da Hilbert sie mehrfach änderte und modifizierte. Auf die Originalmonographie folgte rasch eine französische Übersetzung, in der Hilbert das Vollständigkeitsaxiom (V.2) hinzufügte. Eine von Hilbert autorisierte englische Übersetzung wurde von E. J. Townsend angefertigt und 1902 urheberrechtlich geschützt. ^{[ 36 ] [ 37 ]} Diese Übersetzung enthielt die Änderungen der französischen Fassung und gilt daher als Übersetzung der zweiten Auflage. Hilbert nahm weiterhin Änderungen am Text vor, und es erschienen mehrere deutsche Auflagen. Die siebte Auflage erschien als letzte zu Hilberts Lebzeiten. Nach der 7. Auflage erschienen weitere Ausgaben, der Haupttext wurde jedoch im Wesentlichen nicht überarbeitet. ^{[ g ]}

Hilberts Ansatz markierte den Übergang zur modernen axiomatischen Methode . In dieser Hinsicht wurde Hilbert von Moritz Paschs Arbeiten aus dem Jahr 1882 vorweggenommen. Axiome werden nicht als selbstverständliche Wahrheiten betrachtet. Die Geometrie mag Dinge behandeln , zu denen wir starke Intuitionen haben, aber es ist nicht notwendig, den undefinierten Begriffen eine explizite Bedeutung zuzuweisen. Die Elemente, wie Punkt , Gerade , Ebene und andere, könnten, wie Hilbert gegenüber Schoenflies und Kötter geäußert haben soll , durch Tische, Stühle, Biergläser und ähnliche Gegenstände ersetzt werden. ^{[ 38 ]} Diskutiert werden vielmehr ihre definierten Beziehungen.

Hilbert zählt zunächst die undefinierten Begriffe auf: Punkt, Gerade, Ebene, Lage auf (eine Beziehung zwischen Punkten und Geraden, Punkten und Ebenen sowie Geraden und Ebenen), Zwischenbeziehung, Kongruenz von Punktpaaren ( Strecken ) und Kongruenz von Winkeln . Die Axiome vereinheitlichen sowohl die ebene als auch die räumliche Geometrie Euklids in einem einzigen System.

Hilbert legte auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahr 1900 eine Liste von 23 ungelösten Problemen vor. Diese Liste, die auch die Riemannsche Vermutung enthält , gilt allgemein als die erfolgreichste und durchdachteste Zusammenstellung offener Probleme, die jemals von einem einzelnen Mathematiker erstellt wurde.

Nach der Überarbeitung der Grundlagen der klassischen Geometrie hätte Hilbert seine Erkenntnisse auf die gesamte Mathematik übertragen können. Sein Ansatz unterschied sich von dem des späteren „Fundamentalisten“ Russell-Whitehead oder des „Enzyklopädisten“ Nicolas Bourbaki sowie von dem seines Zeitgenossen Giuseppe Peano . Die gesamte mathematische Gemeinschaft konnte sich mit Problemen auseinandersetzen, die er als entscheidende Aspekte wichtiger Bereiche der Mathematik identifiziert hatte.

Die Aufgabenstellung entstand im Rahmen eines Vortrags mit dem Titel „Die Probleme der Mathematik“, der auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris gehalten wurde. In der Einleitung seines Vortrags hieß es:

Wer von uns würde nicht gern den Schleier lüften, hinter dem die Zukunft verborgen liegt, einen Blick auf die nächsten Fortschritte unserer Wissenschaft und die Geheimnisse ihrer Entwicklung in den kommenden Jahrhunderten werfen? Welche Ziele werden die führenden mathematischen Köpfe der kommenden Generationen verfolgen? Welche neuen Methoden und neuen Erkenntnisse werden die neuen Jahrhunderte im weiten und reichen Feld des mathematischen Denkens enthüllen? ^{[ 39 ]}

Er präsentierte auf dem Kongress weniger als die Hälfte der Probleme, die in den Kongressprotokollen veröffentlicht wurden. In einer späteren Publikation erweiterte er das Spektrum und gelangte zur Formulierung der heute kanonischen 23 Hilbertschen Probleme (siehe auch Hilberts 24. Problem ). Der vollständige Text ist wichtig, da die Auslegung der Fragen bis heute Gegenstand von Debatten sein kann, insbesondere wenn es um die Frage geht, wie viele davon gelöst wurden.

Einige dieser Probleme wurden innerhalb kurzer Zeit gelöst. Andere wurden das ganze 20. Jahrhundert über diskutiert, wobei einige heute als zu offen gelten, um abgeschlossen zu werden. Manche stellen weiterhin Herausforderungen dar.

Nachfolgend die Überschriften der 23 Hilbertschen Probleme, wie sie in der Übersetzung von 1902 im Bulletin of the American Mathematical Society erschienen .

1. Cantors Problem der Kardinalzahl des Kontinuums.

2. Die Kompatibilität der arithmetischen Axiome.

3. Die Gleichheit der Volumina zweier Tetraeder mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe.

4. Das Problem der Geraden als kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.

5. Lies Konzept einer stetigen Gruppe von Transformationen ohne die Annahme der Differenzierbarkeit der die Gruppe definierenden Funktionen.

6. Mathematische Behandlung der Axiome der Physik.

7. Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen.

8. Probleme der Primzahlen (Die „Riemannsche Vermutung“).

9. Beweis des allgemeinsten Reziprozitätsgesetzes in einem beliebigen Zahlenkörper.

10. Bestimmung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung.

11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen numerischen Koeffizienten

12. Erweiterungen des Satzes von Kronecker über abelsche Körper auf beliebige algebraische Rationalitätsbereiche

13. Unmöglichkeit der Lösung der allgemeinen Differentialgleichung 7. Grades mittels Funktionen mit nur zwei Argumenten.

14. Beweis der Endlichkeit bestimmter vollständiger Funktionensysteme.

15. Strenge Begründung von Schuberts Abzählkalkül.

16. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen.

17. Darstellung bestimmter Formen durch Quadrate.

18. Aufbau des Raumes aus kongruenten Polyedern.

19. Sind die Lösungen regulärer Probleme in der Variationsrechnung immer notwendigerweise analytisch?

20. Das allgemeine Problem der Randwerte (Randwertprobleme in partiellen Differentialgleichungen).

21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgegebener Monodromiegruppe.

22. Vereinheitlichung analytischer Relationen mittels automorpher Funktionen.

23. Weiterentwicklung der Methoden der Variationsrechnung.

Hilberts Aufgabenstellung, die Mitte des Jahrhunderts zum Standard geworden war, fungierte zugleich als eine Art Manifest und ebnete den Weg für die Entwicklung der formalistischen Schule, einer der drei wichtigsten mathematischen Schulen des 20. Jahrhunderts. Laut den Formalisten ist Mathematik die Manipulation von Symbolen nach vereinbarten formalen Regeln. Sie ist daher eine autonome Denktätigkeit.

1920 schlug Hilbert ein Forschungsprojekt in der Metamathematik vor , das als Hilbertsches Programm bekannt wurde. Er wollte die Mathematik auf einem soliden und vollständigen logischen Fundament formulieren. Er glaubte, dies sei prinzipiell möglich, indem er zeigte, dass:

1. Die gesamte Mathematik folgt aus einem korrekt gewählten endlichen Axiomensystem ; und
2. dass ein solches Axiomensystem durch Mittel wie den Epsilon-Kalkül nachweislich widerspruchsfrei ist .

Er scheint sowohl technische als auch philosophische Gründe für die Formulierung dieses Vorschlags gehabt zu haben. Er bekräftigte seine Abneigung gegen das, was als Ignorabimus bekannt geworden war , ein Thema, das zu seiner Zeit im deutschen Denken noch immer aktuell war und in seiner Formulierung auf Emil du Bois-Reymond zurückgeführt werden konnte . ^{[ 40 ]}

Dieses Programm ist in der populären Philosophie der Mathematik noch immer erkennbar , wo es üblicherweise als Formalismus bezeichnet wird . So übernahm beispielsweise die Bourbaki-Gruppe eine abgeschwächte und selektive Version davon, die den Anforderungen ihrer beiden Projekte – (a) dem Verfassen enzyklopädischer Grundlagenwerke und (b) der Unterstützung der axiomatischen Methode als Forschungsinstrument – ​​genügte. Dieser Ansatz war im Zusammenhang mit Hilberts Arbeiten zur Algebra und Funktionalanalysis erfolgreich und einflussreich, konnte aber seine Interessen in Physik und Logik nicht in gleicher Weise berücksichtigen.

Hilbert schrieb 1919:

Wir sprechen hier keinesfalls von Willkür. Mathematik ist kein Spiel, dessen Aufgaben durch willkürlich festgelegte Regeln bestimmt werden. Vielmehr handelt es sich um ein begriffliches System mit einer inneren Notwendigkeit, die nur so sein kann und keinesfalls anders. ^{[ 41 ]}

Hilbert veröffentlichte seine Ansichten über die Grundlagen der Mathematik in dem zweibändigen Werk Grundlagen der Mathematik .

Hilbert und die Mathematiker, die mit ihm an seinem Vorhaben arbeiteten, waren dem Projekt verpflichtet. Sein Versuch, die axiomatisierte Mathematik mit definitiven Prinzipien zu untermauern, die theoretische Unsicherheiten beseitigen könnten, scheiterte jedoch.

Gödel bewies, dass ein konsistentes formales System, das mächtig genug ist, um die elementare Arithmetik auszudrücken, seine eigene Vollständigkeit nicht allein mit seinen Axiomen und Schlussregeln beweisen kann. Sein Unvollständigkeitssatz von 1931 zeigte, dass Hilberts großer Plan in der formulierten Form nicht umsetzbar war. Der zweite Punkt lässt sich nicht sinnvoll mit dem ersten verbinden, solange das Axiomensystem tatsächlich finitär ist .

Die nachfolgenden Errungenschaften der Beweistheorie trugen zumindest zur Klärung der Konsistenz in Bezug auf Theorien bei, die für Mathematiker von zentraler Bedeutung waren. Hilberts Arbeit hatte die Logik auf diesen Weg der Klärung geführt; das Bedürfnis, Gödels Werk zu verstehen, führte dann in den 1930er Jahren zur Entwicklung der Rekursionstheorie und schließlich der mathematischen Logik als eigenständige Disziplin. Auch die Grundlage der späteren theoretischen Informatik , in den Arbeiten von Alonzo Church und Alan Turing , erwuchs direkt aus dieser „Debatte“. ^{[ 42 ]}

Um 1909 widmete sich Hilbert dem Studium von Differential- und Integralgleichungen ; seine Arbeit hatte direkte Auswirkungen auf wichtige Bereiche der modernen Funktionalanalysis. Um diese Studien durchzuführen, führte Hilbert den Begriff des unendlichdimensionalen euklidischen Raums ein , der später Hilbert-Raum genannt wurde . Seine Arbeiten in diesem Bereich der Analysis bildeten die Grundlage für wichtige Beiträge zur Mathematik der Physik in den folgenden zwei Jahrzehnten, wenn auch aus einer unerwarteten Richtung. Später erweiterte Stefan Banach das Konzept und definierte Banachräume . Hilbert-Räume sind eine wichtige Objektklasse in der Funktionalanalysis , insbesondere in der Spektraltheorie selbstadjungierter linearer Operatoren, die sich im Laufe des 20. Jahrhunderts um sie herum entwickelte.

Bis 1912 war Hilbert fast ausschließlich Mathematiker . Als sein Mathematikerkollege und Freund Hermann Minkowski einen Besuch aus Bonn plante, wo er sich intensiv mit Physik beschäftigte, scherzte er, er müsse zehn Tage in Quarantäne verbringen, bevor er Hilbert besuchen könne. Tatsächlich scheint Minkowski vor 1912 für den Großteil von Hilberts physikalischen Untersuchungen verantwortlich gewesen zu sein, darunter auch ihr gemeinsames Seminar zu diesem Thema im Jahr 1905.

1912, drei Jahre nach dem Tod seines Freundes, widmete sich Hilbert fast ausschließlich diesem Fachgebiet. Er engagierte einen Physiklehrer. ^{[ 43 ]} Er begann mit dem Studium der kinetischen Gastheorie und wandte sich anschließend der elementaren Strahlungstheorie und der Molekültheorie der Materie zu. Auch nach Kriegsbeginn 1914 hielt er weiterhin Seminare und Vorlesungen, in denen er die Arbeiten von Albert Einstein und anderen eingehend verfolgte.

Bis 1907 hatte Einstein die Grundlagen der Gravitationstheorie formuliert , rang dann aber fast acht Jahre damit, sie in ihre endgültige Form zu bringen . ^{[ 44 ]} Die Begegnung mit Emmy Noether in Göttingen war maßgeblich für seinen Durchbruch. ^{[ 45 ]} Im Frühsommer 1915 konzentrierte sich Hilberts Interesse an der Physik auf die allgemeine Relativitätstheorie , und er lud Einstein zu einer einwöchigen Vorlesung zu diesem Thema nach Göttingen ein. ^{[ 46 ]} Einstein wurde in Göttingen begeistert empfangen. ^{[ 47 ]} Im Laufe des Sommers erfuhr Einstein, dass Hilbert ebenfalls an den Feldgleichungen arbeitete, und verstärkte seine eigenen Bemühungen. Im November 1915 veröffentlichte Einstein mehrere Arbeiten, die in den Feldgleichungen der Gravitation gipfelten (siehe Einsteinsche Feldgleichungen ). ^{[ h ]} Fast zeitgleich veröffentlichte Hilbert „Grundlagen der Physik“, eine axiomatische Herleitung der Feldgleichungen (siehe Einstein-Hilbert-Wirkung ). Hilbert erkannte Einstein uneingeschränkt als Urheber der Theorie an, und zu Lebzeiten der beiden Männer entstand nie ein öffentlicher Prioritätsstreit bezüglich der Feldgleichungen. ^{[ i ]} Siehe mehr unter Priorität .

Hilberts Arbeit nahm zudem mehrere Fortschritte in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik vorweg und trug maßgeblich dazu bei . Sie war ein Schlüsselaspekt der Arbeiten von Hermann Weyl und John von Neumann zur mathematischen Äquivalenz von Werner Heisenbergs Matrizenmechanik und Erwin Schrödingers Wellengleichung , und der nach ihm benannte Hilbertraum spielt eine wichtige Rolle in der Quantentheorie. 1926 zeigte von Neumann, dass Quantenzustände, wenn sie als Vektoren im Hilbertraum verstanden werden, sowohl mit Schrödingers Wellenfunktionstheorie als auch mit Heisenbergs Matrizen übereinstimmen. ^{[ j ]}

Während seiner intensiven Beschäftigung mit der Physik arbeitete Hilbert daran, die Mathematik der Physik zu verfeinern. Obwohl die Physik stark von höherer Mathematik abhängig war, gingen Physiker oft nachlässig damit um. Für einen reinen Mathematiker wie Hilbert war dies sowohl unschön als auch schwer nachvollziehbar. Als er begann, die Physik und die Anwendung der Mathematik durch Physiker zu verstehen, entwickelte er eine kohärente mathematische Theorie für seine Erkenntnisse – insbesondere im Bereich der Integralgleichungen . Als sein Kollege Richard Courant das heute klassische Werk „ Methoden der mathematischen Physik “ verfasste, das einige von Hilberts Ideen enthielt, fügte er Hilberts Namen als Autor hinzu, obwohl Hilbert nicht direkt an dem Werk mitgewirkt hatte. Hilbert sagte: „Physik ist zu schwer für Physiker“, womit er andeutete, dass die notwendige Mathematik im Allgemeinen ihre Fähigkeiten überstieg; das Buch von Courant und Hilbert erleichterte ihnen den Zugang.

Hilbert vereinigte mit seiner 1897 erschienenen Abhandlung „Zahlbericht “ (wörtlich: „Bericht über Zahlen“) das Gebiet der algebraischen Zahlentheorie . Er löste auch ein bedeutendes zahlentheoretisches Problem, das Waring 1770 formuliert hatte. Wie beim Endlichkeitssatz verwendete er einen Existenzbeweis, der die Existenz von Lösungen für das Problem belegt, anstatt einen Mechanismus zur Ermittlung der Lösungen anzugeben. ^{[ 48 ]} Danach veröffentlichte er zu diesem Thema kaum noch etwas; doch das Auftreten der Hilbertschen Modulformen in der Dissertation eines Studenten hat seinen Namen weiterhin mit diesem wichtigen Gebiet verbunden.

Er stellte eine Reihe von Vermutungen zur Klassenkörpertheorie auf . Die Konzepte waren äußerst einflussreich, und sein Beitrag lebt in den Namen des Hilbert-Klassenkörpers und des Hilbert-Symbols der lokalen Klassenkörpertheorie fort . Die meisten Ergebnisse wurden nach Arbeiten von Teiji Takagi bis 1930 bewiesen . ^{[ k ]}

Hilbert arbeitete nicht in den zentralen Bereichen der analytischen Zahlentheorie , doch sein Name ist – aus eher anekdotischen Gründen – durch die Hilbert-Pólya-Vermutung bekannt geworden . Ernst Hellinger , ein Schüler Hilberts, erzählte André Weil einmal , Hilbert habe Anfang des 20. Jahrhunderts in seinem Seminar verkündet, er erwarte, dass der Beweis der Riemannschen Vermutung eine Folge von Fredholms Arbeiten über Integralgleichungen mit symmetrischem Kern sein werde. ^{[ 49 ]}

Seine gesammelten Abhandlungen wurden mehrfach veröffentlicht. Die Originalfassungen enthielten „zahlreiche technische Fehler unterschiedlichen Ausmaßes“ ^{[ 50 ]} . Bei der Erstveröffentlichung der Sammlung wurden die Fehler korrigiert, und es stellte sich heraus, dass dies ohne größere Änderungen an den Theoremen möglich war, mit einer Ausnahme – einem vermeintlichen Beweis der Kontinuumshypothese ^{[ 51 ] [ 52 ]} . Die Fehler waren jedoch so zahlreich und bedeutend, dass Olga Taussky-Todd drei Jahre für die Korrekturen benötigte ^{[ 52 ] .}

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• Georg von Wallwitz: Meine Herren, dies ist keine Badeanstalt. Wie ein Mathematiker das 20. Jahrhundert veränderte. Berenberg Verlag, Berlin 2017, ISBN 978-3-946334-24-8. Die maßgebliche deutschsprachige Biographie Hilberts.

• Hilbert-Bernays-Projekt
• Hilberts 23 Probleme
• ICMM 2014 ist dem Andenken an D. Hilbert gewidmet.
• Werke von David Hilbert im Projekt Gutenberg
• Werke von oder über David Hilbert im Internet Archive
• Werke von David Hilbert bei LibriVox (gemeinfreie Hörbücher)
• Hilberts Radioansprache, aufgezeichnet 1930 in Königsberg (in deutscher Sprache), archiviert am 14. Februar 2006 in der Wayback Machine ; englische Übersetzung archiviert am 12. November 2020 in der Wayback Machine.
• Wolfram MathWorld – Hilbert-Konstante
• David Hilbert beim Mathematik-Genealogie-Projekt
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "David Hilbert" , MacTutor History of Mathematics Archive , University of St Andrews
• „Von Hilberts Problemen zur Zukunft“ , Vortrag von Professor Robin Wilson, Gresham College , 27. Februar 2008 (verfügbar in Text-, Audio- und Videoformat).
• Zeitungsausschnitte über David Hilbert im Pressearchiv des 20. Jahrhunderts der ZBW