Magische Zahl (Physik)

In der Kernphysik bezeichnet man als magische Zahl die Anzahl an Nukleonen ( Protonen oder Neutronen ), die im Atomkern vollständige Schalen bilden . Atomkerne mit einer „magischen“ Anzahl an Protonen oder Neutronen sind daher deutlich stabiler als andere Kerne. Die sieben bekanntesten magischen Zahlen (Stand 2019) sind 2, 8, 20, 28, 50, 82 und 126 .

Für Protonen entspricht dies den Elementen Helium , Sauerstoff , Calcium , Nickel , Zinn , Blei und dem hypothetischen Unbihexium , wobei 126 bisher nur als magische Zahl für Neutronen bekannt ist. Atomkerne mit einer solchen magischen Anzahl an Nukleonen besitzen eine höhere durchschnittliche Bindungsenergie pro Nukleon , als man aufgrund von Vorhersagen wie der semiempirischen Massenformel erwarten würde , und sind daher stabiler gegenüber Kernzerfall.

Die ungewöhnliche Stabilität von Isotopen mit magischen Nukleonenzahlen bedeutet, dass Transurane theoretisch mit extrem großen Atomkernen erzeugt werden könnten, ohne dem extrem schnellen radioaktiven Zerfall zu unterliegen , der normalerweise mit hohen Ordnungszahlen einhergeht . Große Isotope mit magischen Nukleonenzahlen existieren in einer Stabilitätsinsel . Im Gegensatz zu den magischen Zahlen 2–126, die in kugelförmigen Atomkernen realisiert werden, sagen theoretische Berechnungen voraus, dass die Atomkerne in der Stabilitätsinsel deformiert sind. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Bevor dies erkannt wurde, wurden höhere magische Zahlen wie 184, 258, 350 und 462 auf der Grundlage einfacher Berechnungen unter der Annahme sphärischer Formen vorhergesagt: Diese werden durch die Formel generiert . Man geht heute davon aus, dass die Folge sphärischer magischer Zahlen auf diese Weise nicht fortgesetzt werden kann. Weitere vorhergesagte magische Zahlen sind 114, 122, 124 und 164 für Protonen sowie 184, 196, 236 und 318 für Neutronen. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Neuere Berechnungen sagen jedoch 228 und 308 für Neutronen sowie 184 und 196 voraus. ^{[ 4 ]}${\displaystyle 2({\tbinom {n}{1}}+{\tbinom {n}{2}}+{\tbinom {n}{3}})}$

Während ihrer Arbeit am Manhattan-Projekt interessierte sich die deutsche Physikerin Maria Goeppert Mayer für die Eigenschaften von Kernspaltprodukten, wie etwa Zerfallsenergien und Halbwertszeiten. ^{[ 5 ]} 1948 veröffentlichte sie eine Reihe experimenteller Belege für das Vorkommen abgeschlossener Kernschalen bei Atomkernen mit 50 oder 82 Protonen bzw. 50, 82 und 126 Neutronen. ^{[ 6 ]}

Es war bereits bekannt, dass Atomkerne mit 20 Protonen oder Neutronen stabil sind: Dies belegten Berechnungen des ungarisch-amerikanischen Physikers Eugene Wigner , eines ihrer Kollegen im Manhattan-Projekt. ^{[ 7 ]} Zwei Jahre später, 1950, folgte eine weitere Veröffentlichung, in der sie die Schalenabschlüsse bei den magischen Zahlen der Spin-Bahn-Kopplung zuschrieb . ^{[ 8 ]} Laut Steven Moszkowski, einem Schüler von Goeppert Mayer, wurde der Begriff „magische Zahl“ von Wigner geprägt: „Auch Wigner glaubte an das Tröpfchenmodell , erkannte aber in den Arbeiten von Maria Mayer die sehr starken Hinweise auf die abgeschlossenen Schalen. Es erschien ihm ein wenig wie Magie, und so entstand der Begriff ‚magische Zahlen‘.“ ^{[ 9 ]}

Diese magischen Zahlen bildeten die Grundlage des Kernschalenmodells , das Mayer in den folgenden Jahren zusammen mit Hans Jensen weiterentwickelte und für das sie 1963 gemeinsam den Nobelpreis für Physik erhielten. ^{[ 10 ]}

Atomkerne, deren Neutronen- und Protonenzahl ( Ordnungszahl ) jeweils einer der magischen Zahlen entspricht, werden als „doppelt magisch“ bezeichnet und sind im Allgemeinen sehr zerfallsstabil. ^{[ 11 ]} Zu den bekannten doppelt magischen Isotopen gehören Helium-4 , Helium-10, Sauerstoff-16 , Sauerstoff-28, Calcium-40 , Calcium-48 , Nickel -48, Nickel-56, Nickel-78, Zinn -100, Zinn-132 und Blei -208. Während nur Helium-4, Sauerstoff-16, Calcium-40 und Blei-208 vollständig stabil sind, ist Calcium-48 extrem langlebig und kommt daher natürlich vor. Es zerfällt ausschließlich durch einen sehr ineffizienten Doppelbeta-Minus-Zerfall . Doppelbeta-Zerfall ist generell so selten, dass es mehrere Nuklide gibt, deren Zerfall durch diesen Mechanismus vorhergesagt wird, bei denen aber bisher kein solcher Zerfall beobachtet wurde. Selbst bei Nukliden, deren doppelter Beta-Zerfall durch Beobachtungen bestätigt wurde, übersteigen die Halbwertszeiten üblicherweise das Alter des Universums um Größenordnungen, und die emittierte Beta- oder Gammastrahlung ist praktisch irrelevant. Helium-10 hingegen ist extrem instabil und ungebunden und hat eine Halbwertszeit von nur wenigen Sekunden.260(40)  Yoktosekunden (2,6(4) × 10 ⁻²²  s ).

Doppelt magische Effekte ermöglichen die Existenz stabiler Isotope, die andernfalls nicht zu erwarten wären. Ein Beispiel ist Calcium-40 mit 20 Neutronen und 20 Protonen, das schwerste stabile Isotop mit gleicher Protonen- und Neutronenzahl. Sowohl Calcium-48 als auch Nickel -48 sind doppelt magisch, da Calcium-48 20 Protonen und 28 Neutronen, Nickel-48 hingegen 28 Protonen und 20 Neutronen besitzt. Calcium-48 ist für ein so relativ leichtes Element sehr neutronenreich, wird aber wie Calcium-40 durch den doppelt magischen Effekt stabilisiert. Sauerstoff-28 hingegen besitzt zwar 8 Protonen und 20 Neutronen, ist aber bezüglich des Vier-Neutronen-Zerfalls ungebunden und scheint keine abgeschlossenen Neutronenschalen zu haben. Daher wird es nicht als doppelt magisch betrachtet. ^{[ 12 ]}

Magische Schaleneffekte zeigen sich in den üblichen Elementhäufigkeiten: Helium-4 gehört zu den häufigsten (und stabilsten) Atomkernen im Universum ^{[ 13 ]} , und Blei-208 ist das schwerste stabile Nuklid ( zumindest nach bekannten experimentellen Beobachtungen). Der Alpha-Zerfall (die Emission eines Helium- ⁴ -Kerns – auch Alpha-Teilchen genannt – durch ein schweres Element beim radioaktiven Zerfall) ist unter anderem aufgrund der außergewöhnlichen Stabilität von Helium-4 weit verbreitet. Diese Stabilität macht diesen Zerfallstyp bei den meisten schweren Atomkernen energetisch günstiger als Neutronen- , Protonen- oder andere Clusterzerfälle . Die Stabilität von Helium ^-4 führt auch zum Fehlen stabiler Isobare mit den Massenzahlen 5 und 8; tatsächlich zerfallen alle Nuklide dieser Massenzahlen innerhalb von Sekundenbruchteilen unter Bildung von Alpha-Teilchen.

Magische Effekte können verhindern, dass instabile Nuklide so schnell zerfallen, wie man es erwarten würde. Beispielsweise sind die Nuklide Zinn-100 und Zinn-132 doppelt magische Zinnisotope , die instabil sind und Endpunkte darstellen, ab denen die Stabilität rapide abnimmt. Nickel-48, entdeckt 1999, ist das protonenreichste bekannte doppelt magische Nuklid. ^{[ 14 ]} Am anderen Ende des Spektrums ist Nickel-78 ebenfalls doppelt magisch, mit 28 Protonen und 50 Neutronen – ein Verhältnis, das man außer bei Tritium mit einem Proton und zwei Neutronen (^⁷⁸ Ni: 28/50 = 0,56; ^²³⁸ U: 92/146 = 0,63) nur bei viel schwereren Elementen beobachtet . ^{[ 15 ]}

Im Dezember 2006 wurde Hassium -270 mit 108 Protonen und 162 Neutronen von einem internationalen Wissenschaftlerteam unter der Leitung der Technischen Universität München entdeckt . Es besitzt eine Halbwertszeit von 9 Sekunden. ^{[ 16 ]} Hassium-270 ist offenbar Teil einer Stabilitätsinsel und könnte aufgrund der deformierten ( ähnlich einem American -Football- oder Rugbyball ) Form seines Atomkerns sogar doppelt faszinierend sein. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Obwohl Z  = 92 und N  = 164 keine magischen Zahlen sind, könnte der noch unentdeckte neutronenreiche Kern Uran -256 aufgrund des Größenunterschieds zwischen Orbitalen mit niedrigem und hohem Drehimpuls , der die Form des Kernpotentials verändert, doppelt magisch und sphärisch sein . ^{[ 19 ]}

Magische Zahlen werden typischerweise durch empirische Studien ermittelt; ist die Form des Kernpotentials bekannt, lässt sich die Schrödingergleichung zur Beschreibung der Nukleonenbewegung aufstellen und die Energieniveaus bestimmen. Man spricht von Kernschalen, wenn der Abstand zwischen den Energieniveaus deutlich größer ist als der lokale mittlere Abstand.

Im Schalenmodell des Atomkerns bezeichnen magische Zahlen die Anzahl der Nukleonen, bei der eine Schale vollständig besetzt ist. Beispielsweise tritt die magische Zahl 8 auf, wenn die Energieniveaus 1s_{_1/2} , 1p_{_3/2} und 1p_{_1/2 vollständig besetzt sind, da zwischen dem Energieniveau 1p_1/2} und dem nächsthöheren Energieniveau 1d_{_5/2} eine große Energielücke besteht .

Die ersten magischen Zahlen lassen sich vorhersagen, indem man die Kernkraft als quantenmechanischen harmonischen Oszillator in drei Dimensionen approximiert. Die Energien hängen somit nur von der Summe n = n_{_x} + n_{_y} + n_{_z} der drei Quantenzahlen n _x , n_{_y} , n_{_z} ab . Die Anzahl der Zustände auf einem Energieniveau E _{_n} entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, n in drei (nichtnegative) Zahlen n _{_x} , n_{_y} , n_{_z} aufzuteilen , eine für jede Dimension. In der Kombinatorik werden diese als schwache 3-Kompositionen von n bezeichnet . Sie lassen sich mit der Sterne-und-Balken -Methode zählen und liefern so die Zustände auf dem Energieniveau E _{_n} . Um die zwei möglichen Spins zu berücksichtigen , müssen wir dies mit 2 multiplizieren. Das ergibt 2, 6, 12, 20 für n = 0, 1, 2, 3. Die Anzahl der Zustände bis zu einem bestimmten n gibt die Anzahl der Nukleonen an, die benötigt werden, um die n -te Schale zu füllen. Magische Zahlen treten auf, wenn jede Schale voll ist, daher müssen wir die kumulative Summe bilden. Wir sagen also voraus, dass 2, 8 (2 + 6), 20 (2 + 6 + 12) und 40 (2 + 6 + 12 + 20) magische Zahlen sind. Dies verfehlt nicht nur die magische Zahl 28 (die aufgrund von Effekten wie der Spin-Bahn-Kopplung auftritt ), sondern sagt auch 40 als magische Zahl voraus, was nicht stimmt, obwohl 40 der Wert ist , bei dem die nächste Schale gefüllt wäre. Die korrekte Formel zur Vorhersage magischer Zahlen basiert grundlegend auf der Spin-Bahn-Kopplung . $${\displaystyle E=\hbar \omega (3/2+n_{x}+n_{y}+n_{z})}$$$${\displaystyle {\binom {n+2}{2}}}$$

Das atomare Analogon zu den magischen Kernzahlen sind jene Elektronenzahlen, die zu Diskontinuitäten in der Ionisierungsenergie führen . Diese treten bei den Edelgasen Helium , Neon , Argon , Krypton , Xenon , Radon und Oganesson auf . Die „atomaren magischen Zahlen“ sind demnach 2, 10, 18, 36, 54, 86 und 118. Ähnlich wie bei den magischen Kernzahlen wird erwartet, dass sich diese im Bereich der superschweren Elemente aufgrund von Spin-Bahn-Kopplungseffekten, die die Unterschalenenergieniveaus beeinflussen, ändern. Daher sind Copernicium (112) und Flerovium (114) voraussichtlich reaktionsträger als Oganesson (118), und das nächste Edelgas nach diesen wird voraussichtlich bei Element 172 und nicht bei 168 (was das Muster fortsetzen würde) auftreten.

Im Jahr 2010 wurde eine alternative Erklärung für magische Zahlen auf Basis von Symmetrieüberlegungen gegeben. Mithilfe der fraktionalen Erweiterung der Standardrotationsgruppe wurden die Grundzustandseigenschaften (einschließlich der magischen Zahlen) für metallische Cluster und Atomkerne analytisch bestimmt. In diesem Modell ist kein spezifischer Potentialterm erforderlich. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

• Magische Zahl (Chemie)
• Superatom
• Superdeformation

• Nave, CR „Schalenmodell des Atomkerns“ . HyperPhysics .
• Scerri, Eric (2007). Das Periodensystem: Seine Geschichte und seine Bedeutung . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-530573-9DieSiehe insbesondere Kapitel 10.
• Moskowitz, Clara. „Neue magische Zahl „im Inneren von Atomen“ entdeckt“ . Scientific American .
• Watkins, Thayer. „Eine nahezu vollständige Erklärung der magischen Nuklearzahlen“ .