„The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings“ ist eine Monographie zur Mengenlehre von Akihiro Kanamori . Sie behandelt die Geschichte und Theorie der großen Kardinalzahlen , unendlicher Mengen mit so starken Eigenschaften, dass ihre Existenz in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) nicht bewiesen werden kann. [ 1 ] Das Buch erschien 1994 im Springer-Verlag in der Reihe „Perspectives in Mathematical Logic“, eine zweite Auflage folgte 2003 in der Reihe „Springer Monographs in Mathematics“ [ 2 ] und ein Taschenbuchnachdruck der zweiten Auflage erschien 2009 ( ISBN [ISBN einfügen]). 978-3-540-88866-6[ 3 ]​

Themen

Abgesehen von Einleitung und Anhängen umfasst „ The Higher Infinite“ sechs Kapitel , die grob chronologisch nach der Entwicklungsgeschichte des Themas geordnet sind. Der Autor schreibt, er habe diese Reihenfolge gewählt, „weil sie sowohl die kohärenteste Darstellung der Mathematik bietet als auch den Schlüssel zu allen erkenntnistheoretischen Fragen birgt“. [ 1 ] [ 4 ]

Im ersten Kapitel „Anfänge“ [ 4 ] werden unzugängliche Kardinalzahlen , Mahlo-Kardinalzahlen , messbare Kardinalzahlen , kompakte Kardinalzahlen und unbeschreibbare Kardinalzahlen behandelt . Das Kapitel umfasst das konstruierbare Universum und innere Modelle , elementare Einbettungen und Ultrapotenzen sowie ein Ergebnis von Dana Scott , wonach messbare Kardinalzahlen mit dem Konstruierbarkeitsaxiom unvereinbar sind . [ 5 ] [ 6 ]

Das zweite Kapitel, „Partitionseigenschaften“ [ 4 ], umfasst den Partitionskalkül von Paul Erdős und Richard Rado , Bäume und Aronszajn-Bäume , die modelltheoretische Untersuchung großer Kardinalzahlen sowie die Existenz der Menge 0 # wahrer Formeln über Ununterscheidbare . Es behandelt außerdem Jónsson-Kardinalzahlen und Rowbottom-Kardinalzahlen . [ 5 ] [ 6 ]

Es folgen zwei Kapitel über „Forcing und Mengen reeller Zahlen“ und „Aspekte der Messbarkeit“. [ 4 ] Das erste Kapitel behandelt Forcing , eine von Paul Cohen eingeführte Technik zum Beweis von Konsistenz- und Inkonsistenzresultaten in der Mengenlehre; es umfasst auch Material zur deskriptiven Mengenlehre . Das zweite Kapitel behandelt die Anwendung von Forcing durch Robert M. Solovay zum Beweis der Konsistenz messbarer Kardinalzahlen sowie verwandte Ergebnisse unter Verwendung stärkerer Forcing-Begriffe. [ 5 ]

Kapitel fünf trägt den Titel „Starke Hypothesen“ [ 4 ] . Es behandelt superkompakte Kardinalzahlen und deren Spiegelungseigenschaften , riesige Kardinalzahlen , das Prinzip von Vopěnka [ 5 ] , erweiterbare Kardinalzahlen , starke Kardinalzahlen und Woodin-Kardinalzahlen [ 6 ] . Das Buch schließt mit dem Kapitel „Determiniertheit“ [ 4 ] , das das Determiniertheitsaxiom und die Theorie unendlicher Spiele [ 5 ] behandelt. Rezensent Frank R. Drake betrachtet dieses Kapitel und den darin enthaltenen Beweis des Borelschen Determiniertheitssatzes von Donald A. Martin als zentral für Kanamoris Werk, „einen Triumph für die von ihm präsentierte Theorie“ [ 7 ] .

Obwohl im gesamten Buch Zitate zu den philosophischen Positionen von Forschern auf diesem Gebiet zu finden sind, [ 1 ] wird eine detailliertere Auseinandersetzung mit Fragen der Philosophie der Mathematik hinsichtlich der Grundlagen der Mathematik in einem Anhang behandelt. [ 8 ]

Publikum und Empfang

Rezensent Pierre Matet schreibt, dass dieses Buch „zweifellos viele Jahre lang als Standardwerk für große Kardinalzahlen dienen wird“ [ 4 ] , und die Rezensenten Joel David Hamkins , Azriel Lévy und Philip Welch äußern ähnliche Ansichten. [ 1 ] [ 6 ] [ 8 ] Hamkins schreibt, das Buch sei „voller historischer Einblicke, klarer Sprache, interessanter Theoreme und eleganter Beweise“. [ 1 ] Da dieses Thema viele wichtige Werkzeuge der Mengenlehre im Allgemeinen verwendet, empfiehlt Lévy das Buch „allen, die mit der Forschung in der Mengenlehre beginnen möchten“ [ 6 ] , und Welch empfiehlt es allen Universitätsbibliotheken. [ 8 ]

Referenzen

  1. ^ a b c d e Hamkins, Joel David (August 2000), „Rezension von The Higher Infinite “, Studia Logica , 65 (3): 443– 446, JSTOR 20016207 
  2. ^ MR 1994835 ; Zbl 1022.03033  
  3. ^ MR 2731169 ; Zbl 1154.03033  
  4. ^ a b c d e f g Matet, Pierre (1996), "Rezension von The Higher Infinite ", Mathematical Reviews , MR 1321144 
  5. ^ a b c d e Weese, M., "Rezension von The Higher Infinite ", zbMATH , Zbl 0813.03034 
  6. ^ a b c d e Lévy, Azriel (März 1996), „Rezension von The Higher Infinite “, Journal of Symbolic Logic , 61 (1): 334–336 , doi : 10.2307/2275615 , JSTOR 2275615 , S2CID 119055819  
  7. ^ Drake, FR (1997), „Rezension zu The Higher Infinite “, Bulletin of the London Mathematical Society , 29 (1): 111–113 , doi : 10.1112/S0024609396221678
  8. ^ a b c Welch, PD (Februar 1998), „Rezension von The Higher Infinite “, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society , 41 (1): 208–209 , doi : 10.1017/s0013091500019532