Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der bewegten kleinsten Quadrate ist eine Methode zur Rekonstruktion stetiger Funktionen aus einer Menge ungeordneter Punktproben durch die Berechnung eines gewichteten kleinsten Quadratsmaßes, das auf die Region um den Punkt, an dem der rekonstruierte Wert angefordert wird, ausgerichtet ist.

In der Computergrafik ist die Methode der bewegten kleinsten Quadrate nützlich, um eine Oberfläche aus einer Punktmenge zu rekonstruieren. Sie wird häufig verwendet, um aus einer Punktwolke durch Downsampling oder Upsampling eine 3D-Oberfläche zu erzeugen .

In der numerischen Analysis wurden zur Behandlung geometrischer Beiträge, bei denen die Diskretisierung schwierig ist, auch die Methode der beweglichen kleinsten Quadrate verwendet und verallgemeinert, um partielle Differentialgleichungen auf gekrümmten Oberflächen und anderen Geometrien zu lösen. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Dies umfasst numerische Methoden, die für gekrümmte Oberflächen zur Lösung skalarer parabolischer partieller Differentialgleichungen ^{[ 1 ] [ 3 ]} und vektorwertiger hydrodynamischer partieller Differentialgleichungen ^{[ 2 ] entwickelt wurden.}

Im maschinellen Lernen wurden Moving-Least-Squares-Methoden auch zur Entwicklung von Modellklassen und Lernverfahren eingesetzt. Dazu gehören Funktionsregressionsmethoden ^{[ 4 ]} sowie neuronale Netzwerkfunktionen und Operatorregressionsansätze wie GMLS-Netze ^{[ 5 ] .}

Gegeben sei eine Funktion und eine Menge von Stützstellen . Dann ist die gleitende Kleinste-Quadrate-Approximation vom Grad an der Stützstelle diejenige , die den gewichteten Kleinste-Quadrate-Fehler minimiert. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$${\displaystyle {\tilde {p}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)}$

über alle Polynome vom Grad in . ist das Gewicht und es strebt gegen Null, wenn . ${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \theta (s)}$${\displaystyle s\to \infty }$

Im Beispiel handelt es sich bei dem glatten Interpolator der „Ordnung 3“ um einen quadratischen Interpolator. ${\displaystyle \theta (s)=e^{-s^{2}}}$

• Lokale Regression
• Diffuse Elementmethode
• Gleitender Durchschnitt

• Die Approximationskraft der Methode der bewegten kleinsten Quadrate David Levin, Mathematics of Computation, Band 67, 1517-1531, 1998 [1]
• Moving Least Squares Response Surface Approximation: Formulation and metal forming applications Piotr Breitkopf; Hakim Naceur; Alain Rassineux; Pierre Villon, Computers and Structures, Band 83, 17-18, 2005.
• Verallgemeinerung der Finite-Elemente-Methode: Diffuse Approximation und diffuse Elemente , B. Nayroles, G. Touzot, Pierre Villon, P., Computational Mechanics Band 10, S. 307-318, 1992

• Eine möglichst kurze Einführung in die Methoden der kleinsten Quadrate, der gewichteten kleinsten Quadrate und der gleitenden kleinsten Quadrate zur Approximation und Interpolation von Streudaten