Upsampling

In der digitalen Signalverarbeitung bezeichnen Upsampling , Expansion und Interpolation Begriffe, die mit dem Resampling-Prozess in einem digitalen Mehrraten-Signalverarbeitungssystem zusammenhängen . Upsampling kann synonym mit Expansion verwendet werden oder einen gesamten Prozess der Expansion und Filterung ( Interpolation ) beschreiben . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Wird Upsampling auf eine Sequenz von Abtastwerten eines Signals oder einer anderen stetigen Funktion angewendet, erzeugt es eine Annäherung an die Sequenz, die durch Abtastung des Signals mit einer höheren Rate (oder Dichte , wie im Fall eines Fotos) erhalten worden wäre . Wird beispielsweise CD- Audio mit 44.100 Abtastungen pro Sekunde um den Faktor 5/4 hochgerechnet, ergibt sich eine Abtastrate von 55.125.

Eine Erhöhung der Rate um einen ganzzahligen Faktor kann als zweistufiger Prozess erklärt werden, wobei eine äquivalente Implementierung effizienter ist : ^{[ 4 ]}${\displaystyle L}$

1. Expansion : Erzeugt eine Sequenz, die aus den ursprünglichen Abtastwerten besteht, getrennt durch Nullen. Die Notation für diese Operation lautet :${\displaystyle x_{L}[n],}$${\displaystyle x[n],}$${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. Interpolation : Glätten Sie die Diskontinuitäten mithilfe eines Tiefpassfilters , der die Nullstellen ersetzt.

In dieser Anwendung wird der Filter als Interpolationsfilter bezeichnet , dessen Aufbau im Folgenden erläutert wird. Bei einem FIR -Interpolationsfilter lässt sich die Effizienz steigern, da die Nullen keinen Beitrag zur Berechnung des Skalarprodukts leisten . Sie können daher problemlos sowohl aus dem Datenstrom als auch aus den Berechnungen entfernt werden. Die Berechnung, die ein Multiraten-FIR-Interpolationsfilter für jeden Ausgabewert durchführt, ist ein Skalarprodukt : ^{[ a ]}

wobei die Sequenz die Impulsantwort des Interpolationsfilters ist und der größte Wert von ist, für den ungleich Null ist. ${\displaystyle h}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h[j+kL]}$

Die   Funktion kann als Halbbandfilter ausgelegt werden , wobei fast die Hälfte der Koeffizienten null ist und daher nicht in die Skalarprodukte einbezogen werden muss. Die in Intervallen gemessenen Impulsantwortkoeffizienten bilden eine Teilfolge, und mehrere solcher Teilfolgen ( Phasen genannt ) werden gemultiplext. Jede Phase der Impulsantwort filtert dieselben sequenziellen Werte des Datenstroms und erzeugt einen sequenziellen Ausgabewert. In manchen Mehrprozessorarchitekturen werden diese Skalarprodukte simultan berechnet; in diesem Fall spricht man von einem Polyphasenfilter . ${\displaystyle L=2,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass eine mögliche, aber unwahrscheinliche Implementierung jeder Phase darin besteht, die Koeffizienten der anderen Phasen in einer Kopie des Arrays durch Nullen zu ersetzen und die   Sequenz mit einer höheren Geschwindigkeit als der ursprünglichen Eingangsrate zu verarbeiten. Dann sind alle Ausgänge null. Die gewünschte Sequenz ist die Summe der Phasen, wobei die Summenglieder jeweils identisch null sind. Das Berechnen von Nullen zwischen den nutzbaren Ausgängen einer Phase und deren Addition zu einer Summe entspricht effektiv einer Dezimierung. Das Ergebnis ist dasselbe, als würde man sie gar nicht berechnen. Diese Äquivalenz ist als zweite Noble-Identität bekannt . ^{[ 5 ]} Sie wird gelegentlich bei Herleitungen der Polyphasenmethode verwendet. ${\displaystyle h}$${\displaystyle x_{L}[n]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L-1}$

Sei die Fouriertransformierte einer beliebigen Funktion, deren Abtastwerte in einem bestimmten Intervall der Folge entsprechen . Dann ist die diskrete Fouriertransformierte (DTFT) der Folge die Fourierreihendarstellung einer periodischen Summe von ^{[ b ].}${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f):}$

Wenn die Einheit Sekunden ist, hat sie die Einheit Hertz (Hz) . Eine schnellere Abtastung (im Intervall ) erhöht die Periodizität um den Faktor ^{[ c ].}${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T/L}$${\displaystyle L:}$

Dies ist auch das gewünschte Ergebnis der Interpolation. Ein Beispiel für beide Verteilungen ist in der ersten und dritten Grafik von Abb. 2 dargestellt. ^{[ 6 ]} 

Wenn in die zusätzlichen Abtastwerte Nullen eingefügt werden, verringern sie das Abtastintervall. Lässt man die Null-Glieder der Fourierreihe weg, kann man es wie folgt schreiben: ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

Dies entspricht Gleichung 2, unabhängig vom Wert von . Diese Äquivalenz ist im zweiten Diagramm von Abb. 2 dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die verfügbare digitale Bandbreite auf erweitert wird , wodurch sich die Anzahl periodischer Spektralbilder innerhalb der neuen Bandbreite erhöht. Einige Autoren bezeichnen dies als neue Frequenzkomponenten. ^{[ 7 ]}   Das zweite Diagramm zeigt außerdem einen Tiefpassfilter, der zur gewünschten Spektralverteilung führt (drittes Diagramm). Die Bandbreite des Filters entspricht der Nyquist-Frequenz der ursprünglichen Sequenz. ^{[ A ]}   In Hz beträgt dieser Wert ,   jedoch werden für Filterdesignanwendungen üblicherweise normierte Einheiten benötigt . (siehe Abb. 2, Tabelle) ${\displaystyle L.}$${\displaystyle L/T}$${\displaystyle L=3,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle {\tfrac {0,5}{T}},}$

Der Upsampling-Faktor sei L / M , wobei L  >  M.

1. Hochskalieren um den Faktor L
2. Reduzierung um den Faktor M

Für das Upsampling ist nach der Erhöhung der Datenrate ein Tiefpassfilter erforderlich, für das Downsampling hingegen vor der Dezimierung. Daher lassen sich beide Operationen mit einem einzigen Filter und der niedrigeren der beiden Grenzfrequenzen realisieren. Im Fall L  >  M entspricht die Grenzfrequenz des Interpolationsfilters ( Zyklen pro Zwischenabtastung ) der niedrigeren Frequenz. ${\displaystyle {\tfrac {0,5}{L}}}$

• Downsampling
• Digitale Signalverarbeitung mit mehreren Datenraten
• Halbbandfilter
• Überabtastung
• Probenhäufigkeit
• Abtastung (Signalverarbeitung)
• Signal (Informationstheorie)
• Datenkonvertierung
• Interpolation
• Poisson-Summationsformel

• „Homepage für digitales Audio-Resampling“ .(erörtert eine Technik zur bandbegrenzten Interpolation)
• "Matlab-Beispiel für die Verwendung von Polyphasenfiltern zur Interpolation" .