Verstärker mit negativer Rückkopplung

Ein Verstärker mit negativer Rückkopplung (oder Rückkopplungsverstärker ) ist ein elektronischer Verstärker , der einen Teil seines Ausgangssignals vom Eingangssignal subtrahiert, sodass die negative Rückkopplung dem ursprünglichen Signal entgegenwirkt. ^{[ 1 ]} Die angewandte negative Rückkopplung kann seine Eigenschaften (Verstärkungsstabilität, Linearität, Frequenzgang , Sprungantwort ) verbessern und die Empfindlichkeit gegenüber Parameterabweichungen aufgrund von Fertigung oder Umgebungsbedingungen reduzieren. Aufgrund dieser Vorteile wird negative Rückkopplung in vielen Verstärkern und Steuerungssystemen eingesetzt. ^{[ 2 ]}

Ein idealisierter Gegenkopplungsverstärker, wie im Diagramm dargestellt, ist ein System aus drei Elementen (siehe Abbildung 1):

• ein Verstärker mit der Verstärkung A _OL
• ein Rückkopplungsnetzwerk β , das das Ausgangssignal erfasst und es gegebenenfalls in irgendeiner Weise transformiert (zum Beispiel durch Dämpfung oder Filterung ).
• Eine Summierschaltung, die als Subtrahierer fungiert (der Kreis in der Abbildung), kombiniert das Eingangssignal mit dem transformierten Ausgangssignal.

Grundsätzlich sind alle elektronischen Bauelemente, die eine Leistungsverstärkung ermöglichen (z. B. Elektronenröhren , Bipolartransistoren , MOSFETs ), nichtlinear . Negative Rückkopplung reduziert die Verstärkung zugunsten höherer Linearität (und damit geringerer Verzerrungen ) und kann weitere Vorteile bieten. Bei fehlerhafter Auslegung können Verstärker mit negativer Rückkopplung unter bestimmten Umständen instabil werden, da die Rückkopplung positiv wird und unerwünschtes Verhalten wie Schwingungen hervorruft . Das von Harry Nyquist ( Bell Laboratories) entwickelte Nyquist-Stabilitätskriterium dient zur Untersuchung der Stabilität von Verstärkern mit Rückkopplung.

Rückkopplungsverstärker weisen folgende Eigenschaften auf: ^{[ 3 ]}

Vorteile:

• Kann die Eingangsimpedanz erhöhen oder verringern (abhängig von der Art der Rückkopplung).
• Kann die Ausgangsimpedanz erhöhen oder verringern (abhängig von der Art der Rückkopplung).
• Verringert die Gesamtverzerrung bei ausreichender Anwendung (erhöht die Linearität).
• Erhöht die Bandbreite.
• Unempfindlicher gegenüber Bauteilabweichungen wird die Verstärkung reduziert.
• Kann das Sprungverhalten des Verstärkers steuern.

Nachteile:

• Kann bei ungenauer Konstruktion zu Instabilität führen.
• Die Verstärkung des Verstärkers nimmt ab.
• Die Eingangs- und Ausgangsimpedanzen eines Verstärkers mit negativer Rückkopplung ( Verstärker mit geschlossenem Regelkreis ) reagieren empfindlich auf die Verstärkung eines Verstärkers ohne Rückkopplung ( Verstärker mit offenem Regelkreis ). Dadurch werden diese Impedanzen Schwankungen der Verstärkung im offenen Regelkreis ausgesetzt, beispielsweise aufgrund von Parameterabweichungen oder Nichtlinearitäten der Verstärkung im offenen Regelkreis.
• Verändert die Zusammensetzung der Verzerrung (und erhöht die Hörbarkeit), wenn es nicht ausreichend angewendet wird.

Paul Voigt patentierte im Januar 1924 einen Verstärker mit negativer Rückkopplung, allerdings war seine Theorie noch recht ungenau. ^{[ 4 ]} Unabhängig davon erfand Harold Stephen Black den Verstärker mit negativer Rückkopplung am 6. August 1927 als Passagier der Lackawanna-Fähre (vom Hoboken Terminal nach Manhattan) auf dem Weg zu seiner Arbeitsstelle bei den Bell Laboratories (die sich 1927 in Manhattan und nicht in New Jersey befanden) ^{[ 5 ]} (US-Patent 2,102,671, ^{[ 6 ]} erteilt 1937). Black arbeitete an der Reduzierung von Verzerrungen in Verstärkern für die Telefonübertragung. In einer freien Stelle seiner Ausgabe der New York Times [ ^{7 ]} notierte er das Diagramm aus Abbildung 1 und die unten hergeleiteten Gleichungen. ^{[ 8 ] Am 8. August 1928 reichte Black seine Erfindung beim US -} Patentamt ein, dessen Erteilung mehr als neun Jahre dauerte. Black schrieb später: „Ein Grund für die Verzögerung war, dass das Konzept so sehr im Widerspruch zu etablierten Überzeugungen stand, dass das Patentamt zunächst nicht an seine Funktionsfähigkeit glaubte.“ ^{[ 9 ]}

Anhand des Modells zweier unilateraler Blöcke lassen sich auf einfache Weise mehrere Konsequenzen der Rückkopplung ableiten.

Im Folgenden wird die Spannungsverstärkung des Verstärkers mit Rückkopplung, die Verstärkung im geschlossenen Regelkreis A _{_FB} , aus der Verstärkung des Verstärkers ohne Rückkopplung, der Verstärkung im offenen Regelkreis A _{_OL} , und dem Rückkopplungsfaktor β hergeleitet. Dieser Faktor bestimmt, wie viel des Ausgangssignals dem Eingang zugeführt wird (siehe Abbildung 1). Die Verstärkung im offenen Regelkreis A _{_OL} kann im Allgemeinen sowohl von der Frequenz als auch von der Spannung abhängen; der Rückkopplungsparameter β wird durch das um den Verstärker geschaltete Rückkopplungsnetzwerk bestimmt. Bei einem Operationsverstärker können zwei Widerstände, die einen Spannungsteiler bilden, für das Rückkopplungsnetzwerk verwendet werden, um β zwischen 0 und 1 einzustellen. Dieses Netzwerk kann mithilfe reaktiver Elemente wie Kondensatoren oder Induktivitäten modifiziert werden , um (a) eine frequenzabhängige Verstärkung im geschlossenen Regelkreis, wie in Entzerrungs-/Klangregelungsschaltungen, zu erzielen oder (b) Oszillatoren zu realisieren. Die Verstärkung des Verstärkers mit Rückkopplung wird im Folgenden am Beispiel eines Spannungsverstärkers mit Spannungsrückkopplung hergeleitet.

_{Ohne Rückkopplung wird} die Eingangsspannung V′in direkt an den Verstärkereingang angelegt. Die entsprechende Ausgangsspannung ist

${\displaystyle V_{\text{out}}=A_{\text{OL}}\cdot V'_{\text{in}}.}$

Angenommen, eine dämpfende Rückkopplungsschleife legt einen Teil des Ausgangssignals an einen der Subtrahierereingänge an, sodass dieser von der Eingangsspannung V _{_in} des anderen Subtrahierereingangs subtrahiert wird. Das Ergebnis der Subtraktion am Verstärkereingang ist ${\displaystyle \beta \cdot V_{\text{out}}}$

${\displaystyle V'_{\text{in}}=V_{\text{in}}-\beta \cdot V_{\text{out}}.}$

Ersetzen von V′ _in der ersten Gleichung,

${\displaystyle V_{\text{out}}=A_{\text{OL}}(V_{\text{in}}-\beta \cdot V_{\text{out}}).}$

Neuordnung:

${\displaystyle V_{\text{out}}(1+\beta \cdot A_{\text{OL}})=V_{\text{in}}\cdot A_{\text{OL}}.}$

Die Verstärkung des Verstärkers mit Rückkopplung, die sogenannte Verstärkung im geschlossenen Regelkreis, A_{_FB} , ergibt sich dann aus

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}}.}$

Wenn A _{_OL} ≫ 1, dann ist A _{_FB} ≈ 1/β, und die effektive Verstärkung (oder die Verstärkung im geschlossenen Regelkreis) A _{_FB} wird durch die Rückkopplungskonstante β und somit durch das Rückkopplungsnetzwerk bestimmt, üblicherweise ein einfaches, reproduzierbares Netzwerk. Dadurch lassen sich die Verstärkungseigenschaften unkompliziert linearisieren und stabilisieren. Unter Bedingungen, für die βA _{_OL} = −1 gilt, weist der Verstärker eine unendliche Verstärkung auf – er verhält sich wie ein Oszillator, und das System ist instabil. Die Stabilitätseigenschaften des Verstärkungs-Rückkopplungsprodukts βA _OL werden häufig in einem Nyquist-Diagramm (einer Polardarstellung der Verstärkung/Phasenverschiebung als parametrische Funktion der Frequenz) dargestellt und untersucht. Eine einfachere, aber weniger allgemeine Methode verwendet Bode-Diagramme .

The combination L = −β A_OL appears commonly in feedback analysis and is called the loop gain. The combination (1 + β A_OL) also appears commonly and is variously named as the desensitivity factor, return difference, or improvement factor.^[10]

• Open-loop gain = ${\displaystyle A_{\text{OL}}}$^{[11][12][13][14]}
• Closed-loop gain = ${\displaystyle {\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}}}$
• Feedback factor = ${\displaystyle \beta }$
• Noise gain = ${\displaystyle 1/\beta }$
• Loop gain = ${\displaystyle -\beta \cdot A_{\text{OL}}}$
• Desensitivity factor = ${\displaystyle 1+\beta \cdot A_{\text{OL}}}$

Feedback can be used to extend the bandwidth of an amplifier at the cost of lowering the amplifier gain.^[15] Figure 2 shows such a comparison. The figure is understood as follows. Without feedback the so-called open-loop gain in this example has a single-time-constant frequency response given by

${\displaystyle A_{\text{OL}}(f)={\frac {A_{0}}{1+jf/f_{\text{C}}}},}$

where f_C is the cutoff or corner frequency of the amplifier: in this example f_C = 10⁴ Hz, and the gain at zero frequency A₀ = 10⁵ V/V. The figure shows that the gain is flat out to the corner frequency and then drops. When feedback is present, the so-called closed-loop gain, as shown in the formula of the previous section, becomes

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{FB}}(f)&={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}}\\&={\frac {A_{0}/(1+jf/f_{\text{C}})}{1+\beta A_{0}/(1+jf/f_{\text{C}})}}\\&={\frac {A_{0}}{1+jf/f_{\text{C}}+\beta A_{0}}}\\&={\frac {A_{0}}{(1+\beta A_{0})\left(1+j{\frac {f}{(1+\beta A_{0})f_{\text{C}}}}\right)}}.\end{aligned}}}$

The last expression shows that the feedback amplifier still has a single-time-constant behavior, but the corner frequency is now increased by the improvement factor (1 + β A₀), and the gain at zero frequency has dropped by exactly the same factor. This behavior is called the gain–bandwidth tradeoff. In Figure 2, (1 + β A₀) = 10³, so A_FB(0) = 10⁵ / 10³ = 100 V/V, and f_C increases to 10⁴ × 10³ = 10⁷ Hz.

Besitzt die Verstärkung im geschlossenen Regelkreis mehrere Pole anstelle des einen Pols aus dem obigen Beispiel, kann die Rückkopplung zu komplexen Polen (Real- und Imaginärteil) führen. Im Fall von zwei Polen resultiert dies in einer Resonanzspitze im Frequenzgang des Rückkopplungsverstärkers nahe seiner Eckfrequenz sowie in Überschwingen und Nachschwingen im Sprungantwortverhalten . Bei mehr als zwei Polen kann der Rückkopplungsverstärker instabil werden und schwingen. Siehe dazu die Erläuterungen zu Verstärkungsreserve und Phasenreserve . Eine ausführliche Erläuterung findet sich bei Sansen ^{[ 16 ] .}

Eine grundlegende Idealisierung, die der Einleitung zugrunde liegt , ist die Aufteilung des Netzwerks in zwei autonome Blöcke (d. h. mit jeweils eigenen Übertragungsfunktionen). Dies ist ein einfaches Beispiel für die sogenannte „Schaltungspartitionierung“ ^{[ 17 ]} , die hier die Aufteilung in einen Vorwärtsverstärkungsblock und einen Rückkopplungsblock bezeichnet. In realen Verstärkern ist der Informationsfluss jedoch nicht unidirektional, wie hier gezeigt ^{[ 18 ]} . Häufig werden diese Blöcke als Zweitornetzwerke betrachtet , um eine bidirektionale Informationsübertragung zu ermöglichen ^{[ 19 ] [ 20 ]} . Die Abbildung eines Verstärkers in dieser Form ist jedoch keine triviale Aufgabe, insbesondere wenn die Rückkopplung nicht global (direkt vom Ausgang zum Eingang), sondern lokal (innerhalb des Netzwerks, mit Knoten, die nicht mit den Eingangs- und/oder Ausgangsanschlüssen übereinstimmen) erfolgt ^{[ 21 ] [ 22 ] .}

In diesen allgemeineren Fällen wird der Verstärker direkter analysiert, ohne ihn wie im Diagramm in Blöcke zu unterteilen. Stattdessen werden Analysemethoden verwendet, die auf der Signalflussanalyse basieren , wie beispielsweise die Rückflussverhältnismethode oder das asymptotische Verstärkungsmodell . ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} Choma kommentiert den Signalflussansatz wie folgt: ^{[ 27 ]}

Im Gegensatz zu Blockdiagramm- und Zweitor-Ansätzen zur Analyse von Rückkopplungsnetzwerken benötigen Signalflussverfahren keine Annahmen über die unilateralen oder bilateralen Eigenschaften der offenen Regelschleife und der Rückkopplungs-Teilschaltungen. Sie setzen auch keine voneinander unabhängigen Übertragungsfunktionen für die offene Regelschleife und die Rückkopplungs-Teilschaltungen voraus und erfordern keine globale Implementierung der Rückkopplung. Signalflussverfahren benötigen nicht einmal die explizite Identifizierung der offenen Regelschleife und der Rückkopplungs-Teilschaltungen. Dadurch beseitigen Signalflussverfahren nicht nur die Nachteile herkömmlicher Rückkopplungsnetzwerkanalysen, sondern erweisen sich auch als recheneffizient.

In Anlehnung an diesen Vorschlag ist in der Abbildung ein Signalflussdiagramm für einen Verstärker mit negativer Rückkopplung dargestellt, das dem von D'Amico et al. [ ^{23 ] nachempfunden} ist . In Anlehnung an diese Autoren gilt folgende Notation:

Die Variablen x _{_S} und x_{_O} repräsentieren die Eingangs- und Ausgangssignale. Zusätzlich werden zwei weitere generische Variablen, x _{_i} und x_{_j}, die über den Steuerparameter P miteinander verknüpft sind , explizit dargestellt. Die Parameter a _{_ij} sind die Gewichtungszweige. Die Variablen x _i und x_{_j} sowie der Steuerparameter P modellieren einen geregelten Generator bzw. die Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke an zwei Knoten des Schaltkreises.

Der Term a ₁₁ ist die Übertragungsfunktion zwischen Eingang und Ausgang, nachdem der Regelparameter P auf Null gesetzt wurde; der Term a ₁₂ ist die Übertragungsfunktion zwischen Ausgang und Regelgröße x _j, nachdem die Eingangsgröße x _S auf Null gesetzt wurde; der Term a ₂₁ stellt die Übertragungsfunktion zwischen der Quellgröße und der inneren Größe x _i dar, wenn die Regelgröße x _j auf Null gesetzt wird (d. h. wenn der Regelparameter P auf Null gesetzt wird); der Term a ₂₂ gibt die Beziehung zwischen der unabhängigen und der geregelten inneren Größe an, wenn der Regelparameter P und die Eingangsgröße x _S auf Null gesetzt werden.

Anhand dieses Graphen leiten die Autoren den verallgemeinerten Verstärkungsausdruck in Abhängigkeit vom Kontrollparameter P ab , der die Beziehung der gesteuerten Quelle x _j = Px _i definiert :

${\displaystyle x_{\text{O}}=a_{11}x_{\text{S}}+a_{12}x_{j},}$

${\displaystyle x_{i}=a_{21}x_{\text{S}}+a_{22}x_{j},}$

${\displaystyle x_{j}=Px_{i}.}$

Durch Kombination dieser Ergebnisse ergibt sich der Gewinn wie folgt:

${\displaystyle {\frac {x_{\text{O}}}{x_{\text{S}}}}=a_{11}+{\frac {a_{12}a_{21}P}{1-Pa_{22}}}.}$

Um diese Formel anzuwenden, muss eine kritische gesteuerte Quelle für die jeweilige Verstärkerschaltung identifiziert werden. Beispielsweise könnte P der Steuerparameter einer der gesteuerten Quellen in einem Zweitornetzwerk sein , wie in D'Amico et al. ^{[ 23 ]} für einen speziellen Fall gezeigt. Setzen wir beispielsweise a _₁₂ = a _₂₁ = 1, P = A , a _₂₂ = –β (negative Rückkopplung) und a _₁₁ = 0 (keine Vorsteuerung), so erhalten wir das einfache Ergebnis mit zwei unidirektionalen Blöcken zurück.

Obwohl, wie im Abschnitt „Signalflussanalyse“ erwähnt , eine Form der Signalflussanalyse die allgemeinste Methode zur Behandlung des Gegenkopplungsverstärkers darstellt, wird in Lehrbüchern am häufigsten die Darstellung als zwei Zweitore verwendet, die auch hier vorgestellt wird. Sie behält die Zweiteilung des Verstärkers in zwei Blöcke bei, erlaubt aber, dass die Blöcke bilateral sind. Einige Nachteile dieser Methode werden am Ende beschrieben .

Elektronische Verstärker nutzen Strom oder Spannung als Ein- und Ausgang, daher sind vier Verstärkertypen möglich (jeweils zwei mögliche Eingänge und zwei mögliche Ausgänge). Siehe Verstärkerklassifizierung . Der Zweck eines Rückkopplungsverstärkers kann jeder dieser vier Verstärkertypen sein und muss nicht mit dem des Verstärkers im offenen Regelkreis übereinstimmen, der selbst jeder dieser Typen sein kann. So kann beispielsweise ein Operationsverstärker (Spannungsverstärker) auch als Stromverstärker fungieren.

Negative Rückkopplungsverstärker jeglicher Art lassen sich durch Kombinationen von Zweitornetzwerken realisieren. Es gibt vier Arten von Zweitornetzwerken, und die Wahl der Zweitore sowie einer der vier im Diagramm dargestellten Anschlusstopologien hängt vom gewünschten Verstärkertyp ab. Diese Anschlüsse werden üblicherweise als Reihen- oder Parallelschaltungen bezeichnet. ^{[ 29 ] [ 30 ]} Im Diagramm zeigt die linke Spalte Paralleleingänge, die rechte Spalte Reiheneingänge. Die oberste Zeile zeigt Reihenausgänge, die unterste Zeile Parallelausgänge. Die verschiedenen Kombinationen von Anschlüssen und Zweitoren sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Bei einem Stromrückkopplungsverstärker wird beispielsweise der Ausgangsstrom abgetastet und mit dem Eingangsstrom kombiniert. Idealerweise erfolgt die Rückkopplung daher mittels einer (Ausgangs-)stromgesteuerten Stromquelle (CCCS). Auch die nicht perfekte Realisierung mit einem Zweitornetzwerk erfordert eine CCCS; daher ist ein g-Parameter-Zweitor die geeignete Wahl für das Rückkopplungsnetzwerk. Im Folgenden wird die in den meisten Lehrbüchern verwendete Zweitormethode ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} anhand der im Artikel über das asymptotische Verstärkungsmodell behandelten Schaltung vorgestellt .

Abbildung 3 zeigt einen Zweitransistorverstärker mit einem Rückkopplungswiderstand R_{_f} . Ziel ist es, diese Schaltung zu analysieren, um drei Größen zu ermitteln: die Verstärkung, die Ausgangsimpedanz (vom Verbraucher aus gesehen) und die Eingangsimpedanz (vom Verbraucher aus gesehen).

Der erste Schritt besteht darin, das Rückkopplungsnetzwerk durch einen Zweitor zu ersetzen . Welche Komponenten genau gehören in den Zweitor?

Auf der Eingangsseite des Zweitors befindet sich der Widerstand R_{_f} . Ändert sich die Spannung am rechten Ende von R_{_f} , ändert sich der Strom in R_{_f} , der vom Basisstrom des Eingangstransistors abgezogen wird. Das heißt, die Eingangsseite des Zweitors ist eine spannungsabhängige Stromquelle, die durch die Spannung am oberen Ende des Widerstands R_₂ gesteuert wird .

Man könnte sagen, die zweite Verstärkerstufe ist lediglich ein Spannungsfolger , _der die Spannung am Kollektor des Eingangstransistors an den oberen Rand von R₂ weiterleitet . Das heißt, das überwachte Ausgangssignal ist tatsächlich die Spannung am Kollektor des Eingangstransistors. Diese Sichtweise ist zwar zulässig, jedoch wird die Spannungsfolgerstufe dadurch Teil des Rückkopplungsnetzwerks. Dies verkompliziert die Analyse der Rückkopplung.

_{Eine alternative Sichtweise ist ,} dass die Spannung am oberen Ende von R₂ durch den Emitterstrom des Ausgangstransistors bestimmt wird. Diese Sichtweise führt zu einem vollständig passiven Rückkopplungsnetzwerk bestehend aus R₂ und R_{_f} . Die die Rückkopplung steuernde Variable ist der Emitterstrom, daher handelt es sich bei der Rückkopplung um eine stromgesteuerte Stromquelle (CCCS). Wir untersuchen die vier verfügbaren Zweitornetzwerke und finden, dass das g-Parameter-Zweitornetzwerk aus Abbildung 4 das einzige mit einer CCCS ist. Die nächste Aufgabe besteht darin, die g-Parameter so zu wählen, dass das Zweitornetzwerk aus Abbildung 4 elektrisch äquivalent zum L-förmigen Abschnitt aus R₂ und R _{_f} ist . Diese Auswahl ist ein algebraisches Verfahren, das sich am einfachsten durch die Betrachtung zweier Einzelfälle durchführen lässt: den Fall mit V₁ = 0, wodurch die VCVS auf der rechten Seite des Zweitornetzwerks einen Kurzschluss darstellt, und den Fall mit I₂ = 0 _{, wodurch die CCCS auf der linken} Seite einen offenen Stromkreis darstellt. Die Algebra in diesen beiden Fällen ist einfach und wesentlich leichter als die Berechnung aller Variablen gleichzeitig. Die in der folgenden Tabelle aufgeführten g-Parameter sorgen dafür, dass sich der Zweitor und der L-förmige Abschnitt gleich verhalten.

g 11	g 12	g 21	g 22
${\displaystyle {\frac {1}{R_{\mathrm {f} }+R_{2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}}$	${\displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}}$	${\displaystyle R_{2}||R_{\mathrm {f} }\ }$

Im nächsten Schritt wird das Kleinsignal-Schaltbild des Verstärkers mit dem Zweitor unter Verwendung des Hybrid-Pi-Modells für die Transistoren gezeichnet. Abbildung 5 zeigt das Schaltbild mit der _Notation R₃ = RC₂ _|| RL und R₁₁ = ₁ / _g₁₁ , _R₂₂ = _{g₂₂ .}

Abbildung 3 zeigt den Ausgangsknoten, jedoch nicht die gewählte Ausgangsgröße. Eine sinnvolle Wahl ist der Kurzschlussstrom des Verstärkers (der zur Kurzschlussstromverstärkung führt). Da diese Größe direkt zu jeder anderen Wahl führt (z. B. Lastspannung oder Laststrom), wird die Kurzschlussstromverstärkung weiter unten ermittelt.

Zunächst wird die Leerlaufverstärkung unter Last ermittelt. Die Rückkopplung wird durch Setzen _{von g₁₂} = g₂₁ = 0 abgeschaltet. _Ziel ist es, die Änderung der Verstärkerverstärkung durch die Widerstände im Rückkopplungsnetzwerk bei abgeschalteter Rückkopplung zu bestimmen. Diese Berechnung ist recht einfach, da R₁₁ , R_{_B} und r _{_π₁} parallel geschaltet sind und v₁ = v_{_π} gilt. Es gilt R₁ = R₁₁ || R_{_B} || r_{_π₁} . Zusätzlich gilt _i₂ = −(β+1) i_{_B} . Die Leerlaufstromverstärkung A _{_OL} ergibt sich zu:

${\displaystyle A_{\mathrm {OL} }={\frac {\beta i_{\mathrm {B} }}{i_{\mathrm {S} }}}=g_{m}R_{\mathrm {C} }\left({\frac {\beta }{\beta +1}}\right)\left({\frac {R_{1}}{R_{22}+{\frac {r_{\pi 2}+R_{\mathrm {C} }}{\beta +1}}}}\right)\ .}$

Im klassischen Ansatz zur Rückkopplung wird die durch den VCVS (d. h. g ₂₁ v ₁ ) dargestellte Vorwärtskopplung vernachlässigt. ^{[ 35 ]} Dadurch ähnelt die Schaltung in Abbildung 5 dem Blockdiagramm in Abbildung 1, und die Verstärkung mit Rückkopplung ergibt sich dann zu:

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A_{\mathrm {OL} }}}}$

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+{\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {f} }}}A_{\mathrm {OL} }}}\ ,}$

wobei der Rückkopplungsfaktor β _FB = −g ₁₂ . Die Notation β _FB wird für den Rückkopplungsfaktor eingeführt, um ihn vom Transistor β zu unterscheiden.

Rückkopplung dient der besseren Anpassung von Signalquellen an ihre Lasten. Beispielsweise kann eine direkte Verbindung einer Spannungsquelle mit einer ohmschen Last aufgrund der Spannungsteilung zu Signalverlusten führen . Durch den Einsatz eines Verstärkers mit negativer Rückkopplung lässt sich jedoch die von der Quelle gesehene scheinbare Last erhöhen und die von der Last gesehene scheinbare Treiberimpedanz reduzieren. Dadurch wird die Signaldämpfung durch Spannungsteilung vermieden. Dieser Vorteil beschränkt sich nicht auf Spannungsverstärker; analoge Verbesserungen der Anpassung lassen sich auch für Stromverstärker, Transkonduktanzverstärker und Transresistanzverstärker erzielen.

Um diese Auswirkungen der Rückkopplung auf die Impedanzen zu erklären, zunächst ein Exkurs zur Vorgehensweise der Zweitortheorie bei der Widerstandsbestimmung und anschließend deren Anwendung auf den vorliegenden Verstärker.

Abbildung 6 zeigt ein Ersatzschaltbild zur Bestimmung des Eingangswiderstands eines Spannungsverstärkers mit Rückkopplung (links) und eines Stromverstärkers mit Rückkopplung (rechts). Diese Anordnungen sind typische Anwendungen des Miller-Theorems .

Beim Spannungsverstärker wird die Ausgangsspannung βV des _{Rückkopplungsnetzwerks} in Reihe und mit entgegengesetzter Polarität zur Eingangsspannung Vx angelegt , die über die Schleife fließt (gegenüber Masse sind die Polaritäten jedoch gleich). Dadurch sinken die effektive Spannung am Eingangswiderstand R _{_in} und der Strom durch diesen, sodass der Eingangswiderstand des Schaltkreises steigt (man könnte sagen, R_{_in} steigt scheinbar). Sein neuer Wert lässt sich mithilfe des Miller-Theorems (für Spannungen) oder der grundlegenden Schaltungsgesetze berechnen. Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz besagt:

${\displaystyle V_{x}=I_{x}R_{\mathrm {in} }+\beta v_{\mathrm {out} }\ ,}$

wobei v _{_out} = A _{_v} v_{_in} = A_{_v} I _× R _{_in} . Setzt man dieses Ergebnis in die obige Gleichung ein und löst nach dem Eingangswiderstand des Rückkopplungsverstärkers auf, erhält man:

${\displaystyle R_{\mathrm {in} }(fb)={\frac {V_{x}}{I_{x}}}=\left(1+\beta A_{v}\right)R_{\mathrm {in} }\ .}$

Die allgemeine Schlussfolgerung aus diesem Beispiel und einem ähnlichen Beispiel für den Fall des Ausgangswiderstands lautet: Eine serielle Rückkopplungsschaltung am Eingang (Ausgang) erhöht den Eingangswiderstand (Ausgangswiderstand) um den Faktor ( 1 + β A _OL ) , wobei A _OL = Leerlaufverstärkung.

Andererseits wird beim Stromverstärker der Ausgangsstrom βI des _{Rückkopplungsnetzwerks} parallel und entgegengesetzt zum Eingangsstrom Ix angelegt . Dadurch erhöht sich der Gesamtstrom am Schaltungseingang (nicht nur durch den Eingangswiderstand R_{_in )} , und die Spannung an diesem sinkt, sodass der Eingangswiderstand ( R_{_in) abnimmt. Sein neuer Wert lässt sich mithilfe des} dualen Miller-Theorems (für Ströme) oder der Kirchhoffschen Gesetze berechnen .

${\displaystyle I_{x}={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R_{\mathrm {in} }}}+\beta i_{\mathrm {out} }\ .}$

wobei i _{_out} = A _{_i} i _{_in} = A_{_i} V_{_x} / R _{_in} . Setzt man dieses Ergebnis in die obige Gleichung ein und löst nach dem Eingangswiderstand des Rückkopplungsverstärkers auf, erhält man:

${\displaystyle R_{\mathrm {in} }(fb)={\frac {V_{x}}{I_{x}}}={\frac {R_{\mathrm {in} }}{\left(1+\beta A_{i}\right)}}\ .}$

Die allgemeine Schlussfolgerung aus diesem Beispiel und einem ähnlichen Beispiel für den Fall des Ausgangswiderstands lautet: Eine parallele Rückkopplungsschaltung am Eingang (Ausgang) verringert den Eingangswiderstand (Ausgangswiderstand) um den Faktor ( 1 + β A _OL ) , wobei A _OL = Leerlaufverstärkung.

Diese Schlussfolgerungen lassen sich verallgemeinern und auf Fälle mit beliebigen Norton- oder Thévenin -Antrieben, beliebigen Lasten und allgemeinen Zweitor-Rückkopplungsnetzwerken anwenden . Die Ergebnisse setzen jedoch voraus, dass der Hauptverstärker als Zweitor dargestellt werden kann – das heißt, dass an den Eingängen der gleiche Strom fließt und umgekehrt.

Eine weitergehende Schlussfolgerung, unabhängig von den quantitativen Details, ist, dass Rückkopplung genutzt werden kann, um die Eingangs- und Ausgangsimpedanz zu erhöhen oder zu verringern.

Diese Widerstandswerte werden nun auf den Verstärker in Abbildung 3 und Abbildung 5 angewendet. Der _{Verstärkungsfaktor (1 + βFB/AOL} ) , der die Verstärkung reduziert, _bestimmt direkt den Einfluss der Rückkopplung auf die Ein- und Ausgangswiderstände des Verstärkers. Bei Parallelschaltung wird die Eingangsimpedanz um diesen Faktor reduziert, bei Reihenschaltung hingegen erhöht. Die durch die Rückkopplung veränderte Impedanz entspricht jedoch der Impedanz des Verstärkers in Abbildung 5 ohne Rückkopplung und berücksichtigt die durch die Widerstände des Rückkopplungsnetzwerks verursachten Impedanzänderungen.

Daher beträgt die Eingangsimpedanz, die von der Quelle bei ausgeschalteter Rückkopplung gesehen wird, R _in = R ₁ = R ₁₁ || R _B || r _π1 , und bei eingeschalteter Rückkopplung (aber ohne Vorsteuerung)

${\displaystyle R_{\mathrm {in} }={\frac {R_{1}}{1+{\beta }_{\mathrm {FB} }A_{\mathrm {OL} }}}\ ,}$

Die Teilung wird hier verwendet, da der Eingang parallel geschaltet ist : Der Rückkopplungs-Zweitor ist parallel zur Signalquelle am Eingang des Verstärkers geschaltet. Zur Erinnerung: A _{_OL} ist die oben ermittelte Leerlaufverstärkung unter Last , modifiziert durch die Widerstände des Rückkopplungsnetzwerks.

Die vom Verbraucher gesehene Impedanz bedarf weiterer Erläuterung. Der Verbraucher in Abbildung 5 ist mit dem Kollektor des Ausgangstransistors verbunden und somit durch die unendlich hohe Impedanz der Ausgangsstromquelle vom Verstärkergehäuse getrennt. Daher hat die Rückkopplung keinen Einfluss auf die Ausgangsimpedanz, die, wie sie vom Lastwiderstand RL in Abbildung 3 gesehen wird _{, einfach} RC2 beträgt _. ^{[ 36 ] [ 37 ]}

Wollte man stattdessen die Impedanz am Emitter des Ausgangstransistors (anstatt am Kollektor) ermitteln , der in Reihe mit dem Rückkopplungsnetzwerk geschaltet ist, würde die Rückkopplung diesen Widerstand um den Verbesserungsfaktor ( 1 + β _FB A _OL ) erhöhen. ^{[ 38 ]}

Die oben hergeleitete Verstärkung ist die Stromverstärkung am Kollektor des Ausgangstransistors. Um diese Verstärkung mit der Verstärkung bei Ausgangsspannung des Verstärkers in Beziehung zu setzen, beachte man, dass die Ausgangsspannung an der Last R_{_L gemäß dem} Ohmschen Gesetz mit dem Kollektorstrom über v _{_L} = i_{_C} ( R _{_C2} || R_{_L} ) zusammenhängt . Folglich ergibt sich die Transresistanzverstärkung v _{_L} / i_{_S} durch Multiplikation der Stromverstärkung mit R _{_C2} || R_{_L} .

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {L} }}{i_{\mathrm {S} }}}=A_{\mathrm {FB} }(R_{\mathrm {C2} }\parallel R_{\mathrm {L} })\ .}$

Analog dazu bestimmt die Stromteilung im Lastwiderstand R _L , wenn der Ausgang des Verstärkers als der Strom im Lastwiderstand angenommen wird , den Laststrom, und die Verstärkung ist dann:

${\displaystyle {\frac {i_{\mathrm {L} }}{i_{\mathrm {S} }}}=A_{\mathrm {FB} }{\frac {R_{\mathrm {C2} }}{R_{\mathrm {C2} }+R_{\mathrm {L} }}}\ .}$

Im Folgenden werden einige Nachteile des Zwei-Port-Ansatzes erläutert, die sich an den aufmerksamen Leser richten.

Abbildung 7 zeigt das Kleinsignalschaltbild mit dem Hauptverstärker und dem rückgekoppelten Zweitor in schattierten Kästchen. Das rückgekoppelte Zweitor erfüllt die Portbedingungen : Am Eingang fließt der Strom I _{_in} ein und aus dem Port, und analog dazu fließt am Ausgang der Strom I _{_out} ein und aus dem Port.

Ist der Hauptverstärkerblock ebenfalls ein Zweitor? Der Hauptverstärker ist im oberen schattierten Kasten dargestellt. Die Masseanschlüsse sind beschriftet. Abbildung 7 zeigt, dass der Hauptverstärker die Portbedingungen an Ein- und Ausgang nur dann erfüllt, wenn die Masseanschlüsse entsprechend gewählt werden. Beispielsweise fließt auf der Eingangsseite des Hauptverstärkers der Strom I _{_S} . Dieser Strom teilt sich auf drei Bereiche auf: zum Rückkopplungsnetzwerk, zum Vorspannungswiderstand R_{_B} und zum Basiswiderstand r_{_π des Eingangstransistors. Um die Portbedingung für den Hauptverstärker zu erfüllen, müssen alle drei Komponenten auf die Eingangsseite des Hauptverstärkers zurückgeführt werden. Dies bedeutet, dass alle mit} G _₁ gekennzeichneten Masseanschlüsse sowie der Emitteranschluss G _{_E1} verbunden sein müssen . Ebenso müssen auf der Ausgangsseite alle Masseanschlüsse G_₂ sowie der Masseanschluss G _{_E2} verbunden sein . Anschließend wird unten im Schaltplan, unterhalb des Zweitors der Rückkopplung und außerhalb der Verstärkerblöcke, G _{₁ mit} G_₂ verbunden . Dadurch wird die geplante Aufteilung der Masseströme zwischen Eingangs- und Ausgangsseite erzwungen. Beachten Sie, dass diese Anschlussanordnung den Emitter des Eingangstransistors in eine Basisseite und eine Kollektorseite aufteilt – was physikalisch unmöglich ist, aber elektrisch betrachtet der Schaltkreis alle Masseanschlüsse als einen Knoten, daher ist diese Fiktion zulässig.

Die Art der Masseanschlüsse ist für den Verstärker selbst natürlich irrelevant (sie bilden alle einen Knoten), beeinflusst aber die Portbedingungen. Diese künstliche Anordnung ist eine Schwäche des Ansatzes: Die Portbedingungen sind zwar notwendig, um die Methode zu rechtfertigen, der Schaltkreis selbst wird jedoch nicht davon beeinflusst, wie die Ströme zwischen den Masseanschlüssen verteilt werden.

Wenn jedoch keine der möglichen Anordnungen der Massebedingungen zu den gewünschten Portbedingungen führt, verhält sich die Schaltung möglicherweise nicht wie erwartet. ^{[ 39 ]} Die Verbesserungsfaktoren (1 + β _FB A _OL ) zur Bestimmung der Eingangs- und Ausgangsimpedanz sind dann unter Umständen nicht anwendbar. ^{[ 40 ]} Diese Situation ist problematisch, da das Fehlschlagen der Realisierung eines Zwei-Ports entweder auf ein tatsächliches Problem (die Realisierung ist schlichtweg nicht möglich) oder auf mangelnde Vorstellungskraft (beispielsweise wurde die Aufteilung des Emitterknotens in zwei Anschlüsse nicht bedacht) hinweisen kann. Daher bieten sich bei unklaren Portbedingungen mindestens zwei Ansätze an, um die Genauigkeit der Verbesserungsfaktoren zu überprüfen: Entweder man simuliert ein Beispiel mit Spice und vergleicht die Ergebnisse mit denen unter Verwendung eines Verbesserungsfaktors, oder man berechnet die Impedanz mithilfe einer Testquelle und vergleicht die Ergebnisse.

Eine praktikablere Wahl besteht darin, den Zwei-Tor-Ansatz ganz aufzugeben und verschiedene Alternativen auf Basis der Signalflussgraphentheorie zu verwenden , darunter die Rosenstark-Methode , die Choma-Methode und die Anwendung des Blackman-Theorems . ^{[ 41 ]} Diese Wahl kann ratsam sein, wenn Kleinsignal-Bauelementmodelle komplex oder nicht verfügbar sind (beispielsweise wenn die Bauelemente nur numerisch bekannt sind, etwa aus Messungen oder SPICE- Simulationen).

Die Zweitoranalyse der Rückkopplung ergibt folgende Formeltabelle. ^{[ 34 ]}

Rückkopplungsverstärker	Quellsignal	Ausgangssignal	Übertragungsfunktion	Eingangswiderstand	Ausgangswiderstand
Serien-Shunt (Spannungsverstärker)	Stromspannung	Stromspannung	${\displaystyle A_{vf}={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {A_{v}}{1+\beta _{v}A_{v}}}}$	${\displaystyle R_{i}(1+\beta _{v}A_{v})}$	${\displaystyle {\frac {R_{o}}{1+\beta _{v}A_{v}}}}$
Shunt-Serie (Stromverstärker)	Aktuell	Aktuell	${\displaystyle A_{if}={\frac {I_{o}}{I_{i}}}={\frac {A_{i}}{1+\beta _{i}A_{i}}}}$	${\displaystyle {\frac {R_{i}}{1+\beta _{i}A_{i}}}}$	${\displaystyle R_{o}(1+\beta _{i}A_{i})}$
Serien-Serien-Verstärker ( Transkonduktanzverstärker )	Stromspannung	Aktuell	${\displaystyle A_{gf}={\frac {I_{o}}{V_{i}}}={\frac {A_{g}}{1+\beta _{z}A_{g}}}}$	${\displaystyle R_{i}(1+\beta _{z}A_{g})}$	${\displaystyle R_{o}(1+\beta _{z}A_{g})}$
Shunt-Shunt ( Transresistanzverstärker )	Aktuell	Stromspannung	${\displaystyle A_{zf}={\frac {V_{o}}{I_{i}}}={\frac {A_{z}}{1+\beta _{g}A_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {R_{i}}{1+\beta _{g}A_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {R_{o}}{1+\beta _{g}A_{z}}}}$

Die Variablen und ihre Bedeutungen sind

${\displaystyle A}$- Verstärkung, - Stromstärke, - Spannung, - Rückkopplungsverstärkung und - Widerstand. ${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle R}$

Die Indizes und ihre Bedeutungen sind

${\displaystyle f}$- Rückkopplungsverstärker, - Spannung, - Steilheit, - Transresistivität, - Ausgang und - Strom für Verstärkung und Rückkopplung sowie - Eingang für Widerstände. ${\displaystyle v}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle o}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

Beispielsweise bedeutet dies die Verstärkung des Spannungsrückkopplungsverstärkers. ^{[ 34 ]}${\displaystyle A_{vf}}$

Einfache Verstärker wie die Emitterschaltung weisen hauptsächlich Verzerrungen niedriger Ordnung auf, beispielsweise die zweite und dritte Harmonische. In Audiosystemen sind diese kaum hörbar, da Musiksignale typischerweise bereits eine Obertonreihe darstellen und die Verzerrungsprodukte niedriger Ordnung durch den Maskierungseffekt des menschlichen Gehörs überdeckt werden . ^{[ 42 ] [ 43 ]}

Durch die Anwendung einer moderaten Gegenkopplung (10–15 dB) werden die niederfrequenten Harmonischen reduziert, gleichzeitig entstehen jedoch höherfrequente. ^{[ 44 ]} Da diese nicht so gut maskiert werden, verschlechtert sich die Verzerrung hörbar, obwohl der Gesamt -THD-Wert sinken kann. ^{[ 44 ]} Dies hat zu dem hartnäckigen Mythos geführt, dass Gegenkopplung bei Audioverstärkern schädlich sei, ^{[ 45 ]} was Hersteller von Audiogeräten dazu veranlasst hat , ihre Verstärker als „gegenkopplungsfrei“ zu vermarkten (selbst wenn sie lokale Gegenkopplung zur Linearisierung jeder Stufe verwenden). ^{[ 46 ] [ 47 ]}

Wird die negative Rückkopplung jedoch weiter erhöht, werden alle Obertöne reduziert, wodurch die Verzerrung wieder unhörbar wird und sich sogar gegenüber dem ursprünglichen Zustand ohne Rückkopplung verbessert (vorausgesetzt, das System ist streng stabil). ^{[ 48 ] [ 45 ] [ 49 ]} Das Problem liegt also nicht in der negativen Rückkopplung an sich, sondern in deren unzureichender Menge.

• Asymptotisches Verstärkungsmodell
• Satz von Blackman
• Bode-Diagramm
• Der Pufferverstärker betrachtet die grundlegende Operationsverstärkerstufe mit negativer Rückkopplung.
• Die Emitterfolger-Schaltung ist für die grundlegende Transistorverstärkerstufe mit negativer Rückkopplung vorgesehen.
• Satz über zusätzliche Elemente
• Frequenzkompensation
• Das Miller-Theorem ist ein leistungsstarkes Werkzeug zur Bestimmung der Eingangs-/Ausgangsimpedanzen von Schaltungen mit negativer Rückkopplung.
• Operationsverstärker werden in die grundlegenden Op-Amp-Typen, nicht-invertierende Verstärker und invertierende Verstärker unterteilt.
• Anwendungen von Operationsverstärkern zeigen die typischsten Operationsverstärkerschaltungen mit negativer Rückkopplung.
• Phasenrand
• Mastspaltung
• Renditeverhältnis
• Schrittantwort