Parallelogrammgesetz

In der Mathematik findet sich die einfachste Form des Parallelogrammgesetzes (auch Parallelogrammidentität genannt ) in der elementaren Geometrie . Es besagt, dass die Summe der Quadrate der Längen der vier Seiten eines Parallelogramms gleich der Summe der Quadrate der Längen der beiden Diagonalen ist. Wir verwenden folgende Bezeichnungen für die Seiten: AB , BC , CD , DA . Da in der euklidischen Geometrie ein Parallelogramm notwendigerweise gleich lange gegenüberliegende Seiten besitzt, also AB = CD und BC = DA , lässt sich das Gesetz auch wie folgt formulieren: $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

Wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist , sind die beiden Diagonalen gleich lang ( AC = BD) , und die Aussage reduziert sich auf den Satz des Pythagoras . Für das allgemeine Viereck (mit vier Seiten, die nicht notwendigerweise gleich lang sein müssen) besagt der Eulersche Viereckssatz, dass die Länge der Strecke zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen gilt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass dies für ein Parallelogramm gilt, und somit vereinfacht sich die allgemeine Formel zum Parallelogrammgesetz. $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$

Im Parallelogramm rechts sei AD = BC = a und AB = DC = b . Nach dem Kosinussatz im Dreieck erhalten wir: ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$${\displaystyle \triangle BAD,}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

In einem Parallelogramm sind benachbarte Winkel supplementär , daher ergibt die Anwendung des Kosinussatzes im Dreieck : ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$${\displaystyle \triangle ADC,}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

Durch Anwendung der trigonometrischen Identität auf das vorherige Ergebnis lässt sich beweisen: ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

Die Summe der Quadrate lässt sich nun wie folgt ausdrücken: ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$$${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

Vereinfacht ergibt sich folgender Ausdruck: $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

In einem normierten Raum ist die Aussage des Parallelogrammgesetzes eine Gleichung, die Normen in Beziehung setzt : $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\quad {\text{ für alle }}x,y.}$$

Das Parallelogrammgesetz ist äquivalent zu der scheinbar schwächeren Aussage: denn die umgekehrte Ungleichung lässt sich daraus ableiten, indem man für und für einsetzt und anschließend vereinfacht. Mit demselben Beweis ist das Parallelogrammgesetz auch äquivalent zu: $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\quad {\text{ für alle }}x,y}$$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$${\displaystyle x,}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(xy\right)}$${\displaystyle y,}$$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ für alle }}x,y.}$$

In einem inneren Produktraum wird die Norm mithilfe des inneren Produkts bestimmt : $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

Als Konsequenz dieser Definition ist das Parallelogrammgesetz in einem inneren Produktraum eine algebraische Identität, die sich leicht mithilfe der Eigenschaften des inneren Produkts herleiten lässt: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$$${\displaystyle \|xy\|^{2}=\langle xy,xy\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Diese beiden Ausdrücke werden wie erforderlich hinzugefügt. $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$

Wenn orthogonal zur Bedeutung ist , dann wird die obige Gleichung für die Norm einer Summe zu: was dem Satz des Pythagoras entspricht . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$

Die meisten reellen und komplexen normierten Vektorräume besitzen kein Skalarprodukt, aber alle normierten Vektorräume besitzen Normen (per Definition). Beispielsweise ist eine häufig verwendete Norm für einen Vektor im reellen Koordinatenraum die -Norm : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Bei gegebener Norm lassen sich beide Seiten des obigen Parallelogrammgesetzes auswerten. Bemerkenswert ist, dass, falls das Parallelogrammgesetz gilt, die Norm auf übliche Weise aus einem Skalarprodukt hergeleitet werden muss. Insbesondere gilt dies für die -Norm genau dann, wenn die sogenannte euklidische Norm oder Standardnorm gilt . ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2,}$

Für jede Norm, die dem Parallelogrammgesetz genügt (und die notwendigerweise eine Skalarproduktnorm ist), ist das Skalarprodukt, das die Norm erzeugt, aufgrund der Polarisationsidentität eindeutig . Im reellen Fall ist die Polarisationsidentität durch einen der folgenden Ausdrücke gegeben: $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Im komplexen Fall ergibt sich: $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2}{\bigr )}+{\tfrac {1}{4}}i{\bigl (}\|ix+y\|^{2}-\|ix-y\|^{2}{\bigr )}.}$$

Beispielsweise geht die Verwendung der -Norm mit reellen Vektoren und die Auswertung des Skalarprodukts wie folgt vor: Dies ist das Standard -Skalarprodukt zweier Vektoren. ${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}\\[8mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}{\Bigr )}\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}4\sum _{i}x_{i}y_{i}{\Bigr )}\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$

Eine weitere notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Skalarprodukts, das die gegebene Norm induziert, ist, dass die Norm die Ptolemäus-Ungleichung erfüllt : Für beliebige drei Vektoren ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , und ⁠ ⁠ , ^{[ 3 ]}${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|.}$$

• François Daviet  – Offizier der königlich-sardischen Armee und Mathematiker (1734–1798)
• Skalarproduktraum  – Vektorraum mit verallgemeinertem Skalarprodukt
• Minkowski-Distanz  – Vektordistanzfunktion
• Normierter Vektorraum  – Vektorraum, auf dem ein Abstand definiert ist
• Polarisierungsidentität  – Formel, die die Norm und das Skalarprodukt in einem Skalarproduktraum verknüpft
• Ptolemäus' Ungleichung  – Beziehung zwischen den Abständen von vier Punkten

• Weisstein, Eric W. „Parallelogrammgesetz“ . MathWorld .
• Das Parallelogrammgesetz einfach bewiesen – im Dreamshire-Blog
• Das Parallelogrammgesetz: Ein Beweis ohne Worte bei cut-the-knot