Peaucellier-Lipkin-Verbindung

Das 1864 erfundene Peaucellier-Lipkin-Gelenk (auch Peaucellier-Lipkin-Zelle oder Peaucellier-Lipkin-Inversor genannt ) war der erste wirklich ebene Geradlinmechanismus – das erste ebene Gelenk, das eine Drehbewegung in eine perfekte geradlinige Bewegung umwandeln konnte und umgekehrt. Es ist nach Charles-Nicolas Peaucellier (1832–1913), einem französischen Offizier, und Yom Tov Lipman Lipkin (1846–1876), einem litauischen Juden und Sohn des berühmten Rabbiners Israel Salanter , benannt . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Bis zu dieser Erfindung gab es kein ebenes Verfahren zur Umwandlung einer exakten geradlinigen Bewegung in eine Kreisbewegung ohne Führungsbahnen. Im Jahr 1864 stammte die gesamte Energie aus Dampfmaschinen , deren Kolben sich geradlinig in einem Zylinder auf und ab bewegte. Dieser Kolben musste eine dichte Verbindung zum Zylinder gewährleisten, um das Antriebsmedium im Zylinder zu halten und Energieverluste durch Leckagen zu vermeiden. Dies erreichte er, indem er senkrecht zur Zylinderachse blieb und so seine geradlinige Bewegung beibehielt. Die Umwandlung der geradlinigen Kolbenbewegung in eine Kreisbewegung war von entscheidender Bedeutung. Die meisten, wenn nicht alle Anwendungen dieser Dampfmaschinen waren Rotationsmaschinen.

Die Mathematik des Peaucellier-Lipkin-Gelenks steht in direktem Zusammenhang mit der Umkehrung eines Kreises.

Frühere Verbindung zu Sarrus

Es gibt einen älteren geradlinigen Mechanismus, dessen Geschichte wenig bekannt ist: das Sarrus-Gelenk . Dieses Gelenk ist elf Jahre älter als das Peaucellier-Lipkin-Gelenk und besteht aus mehreren gelenkig verbundenen rechteckigen Platten. Zwei dieser Platten bleiben parallel, lassen sich aber senkrecht zueinander bewegen. Im Gegensatz zum Peaucellier-Lipkin-Gelenk, das ein planarer Mechanismus ist, gehört das Sarrus-Gelenk zu den dreidimensionalen Mechanismen, die auch als Raumkurbeln bezeichnet werden .

Geometrie

Geometrisches Diagramm eines Peaucellier-Gelenks

Im geometrischen Diagramm des Versuchsaufbaus sind sechs Stäbe fester Länge zu sehen: $OA$ , $OC$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ und $DA$ . Die Länge von $OA$ entspricht der Länge von $OC$ , und die Längen von $AB$ , $BC$ , $CD$ und $DA$ sind alle gleich und bilden eine Raute . Der Punkt $O$ ist fixiert. Wird nun Punkt $B$ auf einem Kreis geführt (z. B. durch Anbringen eines Stabes, dessen Länge genau zwischen $O$ und $B$ liegt; rot dargestellt), der durch $O$ verläuft , so muss sich Punkt $D$ zwangsläufig auf einer Geraden bewegen (blau dargestellt). Bewegt sich Punkt $B hingegen auf einer Geraden (die nicht durch$ $O$ verläuft ), so muss sich Punkt $D$ zwangsläufig auf einem Kreis bewegen (der durch $O$ verläuft ).

Für dieses Gestänge sind viele verschiedene Gesamtproportionen möglich. Da die Punkte $O$ , $B$ und $D$ während der gesamten Bewegung des Gestänges kollinear sein müssen und unzählige Armlängenkombinationen realisierbar sind, ist eine Spiegelsymmetrie entlang $der OBD-Achse$ nicht erforderlich. Solange $die OBD-Achse$ kollinear bleibt, müssen für die gewünschte geradlinige Bewegung von $D$ lediglich $AB = AD$ , $BC = DC$ und die Kreisbahn von $B , die$ $O$ schneidet, erfüllt sein . Andernfalls besteht kein fester Zusammenhang zwischen den Seitenlängen der Figur $ABCD$ , dem Radius der Kreisbahn von $B$ und den Längen von $OA$ oder $OC$ .

Mathematischer Beweis des Konzepts

Kollinearität

Zunächst muss bewiesen werden, dass die Punkte $O$ , $B$ und $D$ auf einer Geraden liegen . Dies lässt sich leicht erkennen, da die Verbindung spiegelsymmetrisch zur Geraden $OD$ ist ; Punkt $B$ muss also auf dieser Geraden liegen.

Formaler ausgedrückt: Die Dreiecke $△ BAD$ und $△ BCD$ sind kongruent, da die Seite $BD$ $mit$ sich selbst, die Seite $BA$ mit der Seite $BC$ und die Seite $AD$ $mit der Seite$ $CD$ kongruent ist . Daher sind die Winkel $∠ABD$ und $∠CBD$ gleich groß.

Da die Seiten $OA$ und $OC$ , die Seite $OB$ und die Seiten $BA$ und $BC$ kongruent sind, sind die Dreiecke $△ OBA$ und $△ OBC$ kongruent . Daher sind die Winkel $∠$ $OBA$ und $∠$ $OBC$ gleich groß.

Da sie schließlich einen vollständigen Kreis bilden, haben wir

\angle OBA+\angle ABD+\angle DBC+\angle CBO=360^{\circ }

$Aufgrund der Kongruenzen gilt$ jedoch $∠OBA = ∠OBC$ und $∠DBA = ∠DBC$ , $somit$

{\begin{aligned}&2\times \angle OBA+2\times \angle DBA=360^{\circ }\\&\angle OBA+\angle DBA=180^{\circ }\end{aligned}}

Daher liegen die Punkte $O$ , $B$ und $D$ auf einer Geraden.

Inverse Punkte

Sei $P$ der Schnittpunkt der Geraden $AC$ und $BD$ . Da $ABCD$ eine Raute ist , ist $P der$ Mittelpunkt der Strecken $BD$ und $AC$ . Daher gilt: Länge $BP$ = Länge $PD$ .

Das Dreieck $△ BPA$ ist kongruent zum Dreieck $△ DPA$ , da die Seiten $BP$ $und$ $DP$ $,$ AP $und$ AB kongruent $sind$ . Daher ist $∠BPA$ gleich $∠DPA$ . Da $∠BPA$ $+$ $∠DPA$ $= 180°$ $,$ ist $2 \times$ $∠BPA$ $= 180°$ $,$ also $∠BPA$ $=$ $90$ $°$ und $∠DPA$ $= 90°$ .

Lassen:

{\begin{aligned}&x=\ell _{BP}=\ell _{PD}\\&y=\ell _{OB}\\&h=\ell _{AP}\end{aligned}}

Dann:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy

{\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}

(aufgrund des Satzes des Pythagoras )

{\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}

(derselbe Ausdruck erweitert)

{\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}

(Satz des Pythagoras)

{\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}

Da $OA$ und $AD$ beide feste Längen haben, ist das Produkt von $OB$ und $OD$ eine Konstante:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}

Da die Punkte $O$ , $B$ und $D$ auf einer Geraden liegen, ist $D$ die Inverse von $B$ bezüglich des Kreises $(O, k)$ mit Mittelpunkt $O$ und Radius $k$ .

Inversive Geometrie

Aufgrund der Eigenschaften der inversiven Geometrie ist die von Punkt $D$ beschriebene Figur die Umkehrfigur der von Punkt $B$ beschriebenen Figur . Beschreibt Punkt $B$ einen Kreis durch den Inversionsmittelpunkt $O$ , so beschreibt Punkt $D$ zwangsläufig eine Gerade. Beschreibt Punkt $B hingegen eine Gerade, die nicht durch$ $O$ verläuft , so beschreibt Punkt $D$ einen Kreisbogen durch $O.$ Q.E.D.

Ein typischer Fahrer

Peaucellier-Lipkin-Gestänge (PLLs) können verschiedene Inversionen aufweisen. Ein typisches Beispiel ist in der gegenüberliegenden Abbildung dargestellt, in der ein Kipp-Schieber-Viergelenk als Eingangstreiber dient. Genauer gesagt fungiert der Schieber als Eingang, der wiederum den rechten, geerdeten Zweig des PLL ansteuert und somit das gesamte PLL aktiviert.

Historische Anmerkungen

Sylvester ( Gesammelte Werke , Bd. 3, Abhandlung 2) schreibt, dass Kelvin , als er ihm ein Modell zeigte, dieses „wie sein eigenes Kind pflegte und auf die Bitte, es ihm wegzunehmen, antwortete: ‚Nein! Ich habe noch lange nicht genug davon – es ist das Schönste, was ich je in meinem Leben gesehen habe.‘“

Kulturelle Bezüge

Eine monumentale Skulptur, die die Verbindung zwischen beleuchteten Streben realisiert, ist in Eindhoven, Niederlande , dauerhaft ausgestellt . Das Kunstwerk misst 22 × 15 × 16 Meter, wiegt 6.600 Kilogramm und kann über ein öffentlich zugängliches Bedienfeld gesteuert werden. ^{[ 3 ]}

Siehe auch

Referenzen

^ „Mathematisches Tutorial zur Peaucellier-Lipkin-Kupplung“ . Kmoddl.library.cornell.edu . Abgerufen am 6. Dezember 2011 .
^ Taimina, Daina. „Wie man eine gerade Linie zeichnet von Daina Taimina“ . Kmoddl.library.cornell.edu . Abgerufen am 06.12.2011 .
„ Nur weil man eine Figur ist, heißt das nicht, dass man Charakter hat . “ Ivo Schoofs . Archiviert vom Original am 2. Dezember 2020. Abgerufen am 14. August 2017 .

Bibliographie

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Bryant, John; Sangwin, Chris (2008). Wie rund ist dein Kreis? : Wo sich Ingenieurwesen und Mathematik treffen . Princeton: Princeton University Press. S. 33–38 , 60–63 . ISBN 978-0-691-13118-4Die— Beweis und Diskussion des Peaucellier-Lipkin-Gelenks, mathematische und realweltliche mechanische Modelle
Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Washington : MAA . S. 108–111 . ISBN 978-0-88385-619-2Die(und die darin zitierten Quellen)
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Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. S. 120. ISBN 0-14-011813-6Die

Externe Links

Wie man eine gerade Linie zeichnet: Online-Videoclips mit Verknüpfungen und interaktiven Applets.
Wie man eine gerade Linie zeichnet – eine historische Betrachtung der Konstruktion von Gestängen
Interaktives Java-Applet mit Beweis.
Java-animierte Peaucellier-Lipkin-Verbindung
Artikel der Jewish Encyclopedia über Lippman Lipkin (archiviert am 05.03.2007 im Internet Archive) und seinen Vater Israel Salanter
Peaucellier Apparatus verfügt über ein interaktives Applet
Eine Simulation, archiviert am 25.07.2011 im Internetarchiv Wayback Machine, erstellt mit der Software Molecular Workbench.
Eine verwandte Verbindung wird als Hart-Inversor bezeichnet.
Modifizierte Roboterarmverbindung nach Peaucellier (Video von Vex Team 1508)

[1] „Mathematisches Tutorial zur Peaucellier-Lipkin-Kupplung“ . Kmoddl.library.cornell.edu . Abgerufen am 6. Dezember 2011 .

[2] Taimina, Daina. „Wie man eine gerade Linie zeichnet von Daina Taimina“ . Kmoddl.library.cornell.edu . Abgerufen am 06.12.2011 .

[Schoofs-3] „ Nur weil man eine Figur ist, heißt das nicht, dass man Charakter hat . “ Ivo Schoofs . Archiviert vom Original am 2. Dezember 2020. Abgerufen am 14. August 2017 .

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