Prais-Winsten-Schätzung

In der Ökonometrie ist die Prais-Winsten-Schätzung ein Verfahren zur Berücksichtigung der seriellen Korrelation vom Typ AR(1) in einem linearen Modell . Sie wurde 1954 von Sigbert Prais und Christopher Winsten entwickelt ^{[ 1 ]} und ist eine Modifikation der Cochrane-Orcutt-Schätzung , da sie die erste Beobachtung nicht auslässt. Dies führt zu einer höheren Effizienz und macht sie zu einem Spezialfall der zulässigen verallgemeinerten Kleinste-Quadrate- Schätzung . ^{[ 2 ]}

Betrachten Sie das Modell

${\displaystyle y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,}$

Dabei ist die interessierende Zeitreihe zum Zeitpunkt t , ein Koeffizientenvektor , eine Matrix der erklärenden Variablen und der Fehlerterm . Der Fehlerterm kann zeitlich seriell korreliert sein: und ist weißes Rauschen. Zusätzlich zur Cochrane-Orcutt-Transformation, die ${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1}$${\displaystyle e_{t}}$

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1})\beta +e_{t},\,}$

Für t = 2,3,..., T ergibt das Prais-Winsten-Verfahren eine sinnvolle Transformation für t = 1 in folgender Form:

${\displaystyle {\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,}$

Anschließend wird die übliche Kleinste-Quadrate -Schätzung durchgeführt.

Zunächst fällt auf, dass

${\displaystyle \mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t})=\rho ^{2}\mathrm {var} (\varepsilon _{t-1})+\mathrm {var} (e_{t})}$

Da die Varianz bei einem stationären Prozess über die Zeit konstant ist,

${\displaystyle (1-\rho ^{2})\mathrm {var} (\varepsilon _{t})=\mathrm {var} (e_{t})}$

und somit

${\displaystyle \mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\mathrm {var} (e_{t})}{(1-\rho ^{2})}}}$

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Varianz des weißen Rauschens 1 beträgt. Um die Schätzung kompakt durchzuführen, muss man die Autokovarianzfunktion des im folgenden Modell betrachteten Fehlerterms betrachten:

${\displaystyle \mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})=\rho ^{h}\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ für }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.}$

Man kann leicht erkennen, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix , , des Modells ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Wenn wir diese Information haben (oder eine Schätzung davon), sehen wir, dass ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\hat {\Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,}$

wobei es sich um eine Matrix von Beobachtungen der unabhängigen Variablen ( X _t , t  = 1, 2, ...,  T ) handelt, die einen Vektor von Einsen enthält, ein Vektor ist, der die Beobachtungen der abhängigen Variablen ( y _t , t  = 1, 2, ...,  T ) stapelt und die Modellparameter enthält. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$

Um zu verstehen, warum die von Prais und Winsten (1954) aufgestellte Annahme der anfänglichen Beobachtung plausibel ist, hilft es, die oben skizzierte Funktionsweise des verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzverfahrens zu betrachten. Die Inverse von lässt sich wie folgt zerlegen ^{[ 3 ].}${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{-1}=\mathbf {G} ^{\mathsf {T}}\mathbf {G} }$

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Eine Vormultiplikation des Modells in Matrixnotation mit dieser Matrix ergibt das transformierte Modell von Prais–Winsten.

Der Fehlerterm ist weiterhin auf den AR(1)-Typ beschränkt. Ist er unbekannt, kann ein rekursives Verfahren ( Cochrane-Orcutt-Schätzung ) oder eine Gittersuche ( Hildreth-Lu-Schätzung ) verwendet werden, um die Schätzung zu ermöglichen. Alternativ wurde von Beach und MacKinnon ein Maximum-Likelihood-Verfahren mit vollständiger Information vorgeschlagen, das alle Parameter gleichzeitig schätzt . ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle \rho }$

• Judge, George G.; Griffiths, William E.; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). Theorie und Praxis der Ökonometrie . New York: Wiley. S.  180–183 . ISBN 0-471-05938-2Die
• Kmenta, Jan (1986). Elemente der Ökonometrie (2. Aufl.). New York: Macmillan. S.  302–320 . ISBN 0-02-365070-2Die