Deutsches Panzerproblem

In der statistischen Schätztheorie besteht das deutsche Panzerproblem darin , das Maximum einer diskreten Gleichverteilung durch Stichprobenziehung ohne Zurücklegen zu schätzen . Vereinfacht ausgedrückt: Angenommen, es gibt eine unbekannte Anzahl von Objekten, die fortlaufend von 1 bis N nummeriert sind . Es wird eine Zufallsstichprobe dieser Objekte gezogen und deren fortlaufende Nummern werden notiert; die Aufgabe besteht darin, N anhand dieser notierten Nummern zu schätzen.

Das Problem lässt sich entweder mit frequentistischer oder mit Bayes'scher Inferenz angehen , was zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Die Schätzung des Populationsmaximums anhand einer einzelnen Stichprobe liefert divergierende Resultate, wohingegen die Schätzung anhand mehrerer Stichproben eine praktische Fragestellung darstellt, deren Antwort zwar einfach (insbesondere im frequentistischen Ansatz), aber nicht offensichtlich (insbesondere im Bayes'schen Ansatz) ist.

Das Problem ist nach seiner historischen Anwendung durch die Alliierten im Zweiten Weltkrieg benannt , mit der sie anhand sehr begrenzter Daten die monatliche Produktionsrate deutscher Panzer schätzten. Dabei nutzten sie die gängige Praxis, Panzerkomponenten (Fahrgestell, Getriebe, Motor, Räder) mit aufsteigenden Seriennummern zu versehen, wobei einige Panzer schließlich von den Alliierten im Kampf erbeutet wurden.

Es wird angenommen, dass der Gegner eine Reihe von Panzern hergestellt hat, die mit fortlaufenden ganzen Zahlen gekennzeichnet sind, beginnend mit der Seriennummer 1. Ungeachtet des Herstellungsdatums, der Einsatzgeschichte oder der Seriennummer eines Panzers ist die Verteilung der Seriennummern, die der Analyse zugänglich gemacht werden, bis zum Zeitpunkt der Durchführung der Analyse einheitlich.

Angenommen, Panzer erhalten fortlaufende Seriennummern, beginnend mit 1, und vier Panzer werden erbeutet, die die Seriennummern 19, 40, 42 und 60 tragen.

Ein frequentistischer Ansatz (unter Verwendung des erwartungstreuen Schätzers mit minimaler Varianz ) sagt voraus, dass die Gesamtzahl der produzierten Panzer wie folgt lauten wird:

${\displaystyle N\approx 74}$

Ein Bayes'scher Ansatz (unter Verwendung einer uniformen Priorverteilung über die ganzen Zahlen in für jedes hinreichend große ) sagt voraus, dass die mittlere Anzahl der produzierten Panzer der frequentistischen Vorhersage sehr ähnlich sein wird: ${\displaystyle [4,\Omega ]}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle N_{med}\approx 73.9}$

Der Bayes'sche Mittelwert sagt hingegen voraus, dass die Anzahl der produzierten Panzer folgende wäre:

${\displaystyle N_{av}\ca. 89}$

Sei N die Gesamtzahl der voraussichtlich produzierten Panzer, m die höchste beobachtete Seriennummer und k die Anzahl der erbeuteten Panzer.

Die frequentistische Vorhersage berechnet sich wie folgt:

${\displaystyle N\approx m+{\frac {m}{k}}-1=74}$

Der Bayes'sche Median wird wie folgt berechnet:

${\displaystyle N_{med}\approx m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}}=73.9}$

Der Bayes'sche Mittelwert wird wie folgt berechnet:

${\displaystyle N_{av}\approx (m-1){\frac {k-1}{k-2}}=89}$

Diese Bayes'schen Größen werden aus der Bayes'schen A-posteriori-Verteilung abgeleitet:

${\displaystyle \Pr(N=n)={\begin{cases}0&{\text{falls }}n<m,\\{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{falls }}n\geq m.\end{cases}}}$

Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion weist eine positive Schiefe auf , die damit zusammenhängt, dass mindestens 60 Panzer vorhanden sind. Aufgrund dieser Schiefe ist der Mittelwert möglicherweise nicht die aussagekräftigste Schätzung. Der Median beträgt in diesem Beispiel 74,5 und stimmt gut mit der frequentistischen Formel überein. Mithilfe der Stirling-Approximation kann die A-posteriori-Verteilung durch eine exponentiell abklingende Funktion von n angenähert werden .

${\displaystyle \Pr(N=n)\approx {\begin{cases}0&{\text{falls }}n<m\\(k-1)m^{k-1}n^{-k}&{\text{falls }}n\geq m,\end{cases}}}$

woraus sich folgende Näherung für den Median ergibt:

${\displaystyle N_{med}\approx m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}}}$

und die folgenden Näherungswerte für den Mittelwert und die Standardabweichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}N&\approx \mu \pm \sigma =89\pm 50,\\[5pt]\mu &=(m-1){\frac {k-1}{k-2}},\\[5pt]\sigma &={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Im Verlauf des Zweiten Weltkriegs unternahmen die Westalliierten kontinuierliche Anstrengungen, das Ausmaß der deutschen Panzerproduktion zu ermitteln. Dabei verfolgten sie im Wesentlichen zwei Ansätze: konventionelle Aufklärung und statistische Schätzung. In vielen Fällen lieferte die statistische Analyse deutlich bessere Ergebnisse als die konventionelle Aufklärung. Teilweise wurden konventionelle Aufklärungsmethoden in Kombination mit statistischen Verfahren eingesetzt, wie beispielsweise bei der Schätzung der Panther-Panzerproduktion kurz vor dem D-Day .

Die alliierte Befehlskette ging davon aus, dass die in Italien gesichteten Panzer V (Panther) mit ihren hochpräzisen, langläufigen 75-mm-Kanonen (L70) ungewöhnlich schwere Panzer seien und man sie – ähnlich wie den Tiger I in Tunesien – nur in geringer Zahl in Nordfrankreich erwarten würde. Die US-Armee war zuversichtlich, dass der Sherman-Panzer weiterhin gute Leistungen erbringen würde, wie bereits gegen die Panzer III und IV in Nordafrika und Sizilien. ^{[ a ]} Kurz vor dem D-Day kursierten Gerüchte über den Einsatz einer großen Anzahl von Panzer V.

Um festzustellen, ob dies zutraf, versuchten die Alliierten, die Anzahl der produzierten Panzer zu schätzen. Dazu nutzten sie die Seriennummern erbeuteter oder zerstörter Panzer. Die wichtigsten Nummern waren die Getriebenummern, da diese in zwei ununterbrochenen Sequenzen vorkamen. Fahrgestell- und Motornummern wurden ebenfalls verwendet, ihre Verwendung gestaltete sich jedoch komplizierter. Verschiedene andere Komponenten wurden zur Überprüfung der Analyse herangezogen. Ähnliche Analysen wurden an den Rädern durchgeführt, die fortlaufend nummeriert waren (d. h. 1, 2, 3, ...,  N ). ^{[ 2 ] [ b ] [ 3 ] [ 4 ]}

Die Analyse der Panzerräder ermöglichte eine Schätzung der Anzahl der verwendeten Radformen. Ein Gespräch mit britischen Herstellern von Laufrollen ergab anschließend die Anzahl der mit diesen Formen herstellbaren Räder, woraus sich die monatliche Produktionszahl der Panzer ableiten ließ. Die Analyse der Räder zweier Panzer (je 32 Laufrollen, insgesamt 64) ergab eine Schätzung von 270 im Februar 1944 produzierten Panzern – deutlich mehr als bisher angenommen. ^{[ 5 ]}

Deutsche Aufzeichnungen nach dem Krieg wiesen für den Monat Februar 1944 eine Produktion von 276 aus. ^{[ 6 ] [ c ]} Der statistische Ansatz erwies sich als weitaus genauer als herkömmliche nachrichtendienstliche Methoden, und der Ausdruck „deutsches Panzerproblem“ wurde als Bezeichnung für diese Art der statistischen Analyse akzeptiert.

Die Produktionsschätzung war nicht der einzige Nutzen dieser Seriennummernanalyse. Sie diente auch dazu, die deutsche Produktion im Allgemeinen besser zu verstehen, einschließlich der Anzahl der Fabriken, der relativen Bedeutung der Fabriken, der Länge der Lieferkette (basierend auf der Verzögerung zwischen Produktion und Verbrauch), der Produktionsveränderungen und des Ressourcenverbrauchs, beispielsweise von Kautschuk.

Nach gängigen Schätzungen des alliierten Geheimdienstes produzierten die Deutschen zwischen Juni 1940 und September 1942 monatlich etwa 1400 Panzer. Anhand der Seriennummern erbeuteter Panzer und der untenstehenden Formel wurde die Zahl auf 246 pro Monat berechnet. Nach dem Krieg ergaben erbeutete deutsche Produktionszahlen aus dem Ministerium von Albert Speer jedoch eine tatsächliche Zahl von 245. ^{[ 3 ]}

Schätzungen für einige spezifische Monate lauten wie folgt: ^{[ 7 ]}

Eine ähnliche Seriennummernanalyse wurde während des Zweiten Weltkriegs auch für andere militärische Ausrüstung eingesetzt, am erfolgreichsten für die V-2- Rakete. ^{[ 8 ]}

Die Werksmarkierungen auf sowjetischer Militärausrüstung wurden während des Koreakriegs und vom deutschen Geheimdienst während des Zweiten Weltkriegs analysiert. ^{[ 9 ]}

In den 1980er Jahren erhielten einige Amerikaner Zugang zur Produktionslinie der israelischen Merkava- Panzer. Die Produktionszahlen waren geheim, aber die Panzer hatten Seriennummern, die eine Schätzung der Produktion ermöglichten. ^{[ 10 ]}

Die Formel wurde auch in nichtmilitärischen Kontexten verwendet, beispielsweise zur Schätzung der Anzahl der gebauten Commodore 64 -Computer, wobei das Ergebnis (12,5 Millionen) mit den unteren Schätzungen übereinstimmt. ^{[ 11 ]}

Um die Analyse von Seriennummern zu erschweren, können Seriennummern weggelassen oder verwendbare Zusatzinformationen reduziert werden. Alternativ können kryptanalytisch sichere Seriennummern verwendet werden, am effektivsten durch zufälliges Ziehen von Zahlen ohne Zurücklegen aus einer Liste, die deutlich größer ist als die Anzahl der produzierten Objekte, oder durch Generierung von Zufallszahlen und deren Abgleich mit der Liste bereits vergebener Nummern. Kollisionen treten wahrscheinlich auf, es sei denn, die Anzahl der möglichen Ziffern ist mehr als doppelt so groß wie die Anzahl der Ziffern in der Anzahl der produzierten Objekte. Dies gilt für Seriennummern in jeder beliebigen Basis . ^{[ d ]} Hierfür kann ein kryptografisch sicherer Pseudozufallszahlengenerator verwendet werden. Alle diese Methoden erfordern eine Nachschlagetabelle (oder das Knacken der Verschlüsselung), um von der Seriennummer zur Produktionsreihenfolge zurückzufinden, was die Verwendung von Seriennummern erschwert: Beispielsweise kann ein Bereich von Seriennummern nicht abgerufen werden, sondern jede muss einzeln nachgeschlagen oder eine Liste generiert werden.

Alternativ lassen sich fortlaufende Seriennummern mit einer einfachen Substitutionschiffre verschlüsseln , die zwar eine einfache Entschlüsselung ermöglicht, aber auch durch Häufigkeitsanalyse leicht zu knacken ist : Selbst wenn man von einem beliebigen Punkt ausgeht, weist der Klartext ein Muster auf (nämlich, dass die Zahlen fortlaufend sind). Ein Beispiel dafür findet sich in Ken Folletts Roman „Code to Zero “ , wo die Verschlüsselung der Seriennummern der Jupiter-C- Rakete wie folgt beschrieben wird:

Das Codewort lautet hier Huntsville (wiederholte Buchstaben werden weggelassen), um einen 10-stelligen Schlüssel zu erhalten. ^{[ 12 ]} Die Rakete Nummer 13 war daher „HN“ und die Rakete Nummer 24 war „UT“.

Für die Punktschätzung (Schätzung eines einzelnen Wertes für das Ganze ) ist der erwartungstreue Schätzer mit minimaler Varianz (MVUE- oder UMVU-Schätzer) gegeben durch: ^{[ e ]}${\displaystyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=m(1+k^{-1})-1,}$

Dabei ist m die größte beobachtete Seriennummer ( Stichprobenmaximum ) und k die Anzahl der beobachteten Tanks ( Stichprobenumfang ). ^{[ 10 ] [ 13 ]} Zu beachten ist, dass eine einmal beobachtete Seriennummer nicht mehr im Pool enthalten ist und nicht erneut beobachtet wird.

Dies hat eine Varianz ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\widehat {N}}\right)={\frac {1}{k}}{\frac {(Nk)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ für kleine Stichproben }}k\ll N,}$

Die Standardabweichung beträgt also ungefähr N / k , die erwartete Größe der Lücke zwischen sortierten Beobachtungen in der Stichprobe.

Die Formel lässt sich intuitiv als das Stichprobenmaximum plus die durchschnittliche Differenz zwischen den Beobachtungen in der Stichprobe verstehen. Das Stichprobenmaximum wird als initialer Schätzer gewählt, da es der Maximum-Likelihood-Schätzer ist [ ^{f ].} Die Differenz wird hinzugefügt , um die negative Verzerrung des Stichprobenmaximums als Schätzer für das Populationsmaximum auszugleichen ^{[ g ] .}

${\displaystyle {\widehat {N}}=m+{\frac {m-k}{k}}=m+mk^{-1}-1=m(1+k^{-1})-1.}$

Dies lässt sich veranschaulichen, indem man sich vorstellt, dass die Beobachtungen in der Stichprobe gleichmäßig über den gesamten Bereich verteilt sind, mit zusätzlichen Beobachtungen knapp außerhalb des Bereichs bei 0 und N  + 1. Beginnt man mit einem anfänglichen Abstand zwischen 0 und der niedrigsten Beobachtung in der Stichprobe (dem Stichprobenminimum), so beträgt der mittlere Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Beobachtungen in der Stichprobe , wobei die Beobachtungen selbst bei der Berechnung des Abstands zwischen Beobachtungen nicht berücksichtigt werden. ^{[ h ]} Eine Herleitung des Erwartungswerts und der Varianz des Stichprobenmaximums findet sich auf der Seite zur diskreten Gleichverteilung . ${\displaystyle (m-k)/k}$${\displaystyle -k}$

Diese Philosophie wird in der Methode der maximalen Abstandsschätzung formalisiert und verallgemeinert ; eine ähnliche Heuristik wird für die Darstellung der Position in einem Q–Q-Plot verwendet , wobei die Stichprobenpunkte bei k / ( n + 1) dargestellt werden , was gleichmäßig auf der Gleichverteilung liegt, mit einer Lücke am Ende.

Anstelle oder zusätzlich zur Punktschätzung kann eine Intervallschätzung durchgeführt werden , beispielsweise Konfidenzintervalle . Diese lassen sich leicht berechnen, basierend auf der Beobachtung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass k Beobachtungen in der Stichprobe in ein Intervall fallen, das p des Bereichs (0 ≤  p  ≤ 1) abdeckt, p ^k beträgt (in diesem Abschnitt wird angenommen, dass die Ziehungen mit Zurücklegen erfolgen, um die Berechnungen zu vereinfachen; wenn die Ziehungen ohne Zurücklegen erfolgen, wird die Wahrscheinlichkeit überschätzt, und die Intervalle werden zu konservativ sein).

Die Stichprobenverteilung des Quantils des Stichprobenmaximums ist somit der Graph x ^{1/ k} von 0 bis 1: Das p -te bis q -te Quantil des Stichprobenmaximums m bilden das Intervall [ p ^{1/ k} N ,  q ^{1/ k} N ]. Durch Invertierung erhält man das entsprechende Konfidenzintervall für das Populationsmaximum von [ m / q ^{1/ k} ,  m / p ^{1/ k} ].

Beispielsweise ergibt das symmetrische 95%-Intervall mit p = 2,5 % und q = 97,5 % für k = 5 die Werte 0,025 ^1/5 ≈ 0,48 und 0,975 ^1/5 ≈ 0,995. Das Konfidenzintervall liegt somit ungefähr bei [1,005 m , 2,08 m ]. Da die untere Grenze sehr nahe an m liegt , ist das asymmetrische Konfidenzintervall von p = 5 % bis 100 % aussagekräftiger. Für k = 5 ergibt sich hieraus 0,05 ^1/5 ≈ 0,55 und das Intervall [ m , 1,82 m ].

Allgemeiner ist das (nach unten verzerrte) 95%-Konfidenzintervall [ m , m /0,05 ^{1/ k} ] = [ m , m ·20 ^1/k ]. Für einen Bereich von k- Werten ergibt sich, unter Verwendung des UMVU-Punktschätzers (plus 1 zur besseren Lesbarkeit) als Referenz:

Erste Beobachtungen sind:

• Bei kleinen Stichprobenumfängen ist das Konfidenzintervall sehr breit, was auf eine große Unsicherheit bei der Schätzung hinweist.
• Die Spanne schrumpft rapide, was die exponentiell abnehmende Wahrscheinlichkeit widerspiegelt, dass alle Messwerte in der Stichprobe deutlich unter dem Maximalwert liegen.
• Das Konfidenzintervall weist eine positive Schiefe auf, da N niemals unterhalb des Stichprobenmaximums liegen kann, aber potenziell beliebig hoch darüber liegen kann.

Beachten Sie, dass m / k nicht naiv (oder besser ( m  +  m / k  − 1)/ k ) als Schätzung des Standardfehlers SE verwendet werden kann , da der Standardfehler eines Schätzers auf dem Populationsmaximum (einem Parameter) basiert und die Verwendung einer Schätzung zur Schätzung des Fehlers in eben dieser Schätzung ein Zirkelschluss ist .

Der Bayes'sche Ansatz für das deutsche Panzerproblem ^{[ 14 ]} besteht darin , die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit zu betrachten , dass die Anzahl der feindlichen Panzer beträgt , wenn die Anzahl der beobachteten Panzer und die maximale beobachtete Seriennummer ist . Es ist zu beachten, dass dabei die in den Stichproben enthaltenen relevanten Informationen nicht verworfen werden, da, wie wir sehen werden, die Likelihood-Funktion allein anhand der Anzahl der Stichproben und des maximalen beobachteten Wertes konstruiert werden kann. ${\displaystyle (N=n\mid M=m,K=k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$

Die Antwort auf dieses Problem hängt von der Wahl der A-priori-Verteilung ab . Man kann eine geeignete A-priori-Verteilung über den positiven ganzen Zahlen verwenden, z. B. die Poisson- oder die negative Binomialverteilung, für die sich eine geschlossene Formel für den A-posteriori-Mittelwert und die A-posteriori-Varianz herleiten lässt. ^{[ 15 ]} Im Folgenden verwenden wir stattdessen eine beschränkte uniforme A-priori-Verteilung. ${\displaystyle N}$

Aus Gründen der Kürze wird im Folgenden geschrieben : . ${\displaystyle (N=n\mid M=m,K=k)}$${\displaystyle (n\mid m,k)}$

Die Regel für bedingte Wahrscheinlichkeit gibt

${\displaystyle (n\mid m,k)(m\mid k)=(m\mid n,k)(n\mid k)=(m,n\mid k)}$

Der Ausdruck

${\displaystyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)}$

ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die maximal beobachtete Seriennummer, , gleich ist , wenn die Anzahl der feindlichen Panzer, , bekanntermaßen gleich ist und die Anzahl der beobachteten feindlichen Panzer, , bekanntermaßen gleich ist . ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$

Es ist

${\displaystyle (m\mid n,k)={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}[k\leq m][m\leq n]}$

wobei ein Binomialkoeffizient und eine Iverson-Klammer ist . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$${\displaystyle [k\leq n]}$

Der Ausdruck lässt sich wie folgt ableiten: Er beantwortet die Frage: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Seriennummer die höchste in einer Stichprobe von Tanks beobachtete Nummer ist, vorausgesetzt, es gibt insgesamt Tanks?“ ${\displaystyle (m\mid n,k)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Man kann sich die Stichprobengröße als Ergebnis einzelner Ziehungen ohne Zurücklegen vorstellen. Angenommen, bei Ziehung Nummer wird beobachtet . Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt: ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle \underbrace {{\frac {m-1}{n}}\cdot {\frac {m-2}{n-1}}\cdot {\frac {m-3}{n-2}}\cdots {\frac {m-d+1}{n-d+2}}} _{d-1{\text{ times}}}\cdot \underbrace {\frac {1}{n-d+1}} _{{\text{draw no. }}d}\cdot \underbrace {{\frac {m-d}{n-d}}\cdot {\frac {m-d-1}{n-d-1}}\cdots {\frac {m-d-(k-d-1)}{n-d-(k-d-1)}}} _{k-d{\text{ times}}}={\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}.}$$

Wie man auf der rechten Seite sieht, ist dieser Ausdruck unabhängig von und daher für jedes gleich . Wie man bei verschiedenen Ziehungen erkennen kann , ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Wert der größte beobachtete ist, das -fache der obigen Wahrscheinlichkeit: ${\displaystyle d}$${\displaystyle d\leq k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle (m\mid n,k)=k\cdot {\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}.}$$

Anders betrachtet: Nach dem Ziehen ohne Zurücklegen wurde einmal für das Objekt und einmal für Objekte im Bereich von bis gezogen  ; dies lässt sich auf verschiedene Weisen erreichen. Ebenso gibt es Möglichkeiten, Objekte aus einer Menge von Objekten ohne Zurücklegen zu ziehen . ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m-1}$${\displaystyle {\binom {m-1}{k-1}}}$${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Der Ausdruck gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die maximale Seriennummer gleich ist, sobald die Panzer beobachtet wurden, aber bevor die Seriennummern tatsächlich beobachtet wurden. ${\displaystyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

Der Ausdruck kann durch Marginalisierung über alle möglichen Größen in Bezug auf die anderen Größen umgeschrieben werden . ${\displaystyle (m\mid k)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(m\mid k)&=\sum _{n=0}^{\infty }(m,n\mid k)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k)(n\mid k)\end{aligned}}}$

Wir nehmen an, dass im Voraus festgelegt ist, sodass wir keine Verteilung über berücksichtigen müssen . Daher kann unsere Priorverteilung von abhängen . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Der Ausdruck

${\displaystyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)}$

Die Glaubwürdigkeit, dass die Gesamtzahl der Panzer, , gleich ist, wenn die Anzahl der beobachteten Panzer bekannt ist , aber bevor die Seriennummern erfasst wurden, wird angenommen. Es wird angenommen, dass es sich um eine diskrete Gleichverteilung handelt.${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle (n\mid k)=(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]}$

Die obere Grenze muss endlich sein, da die Funktion ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]=0}$

ist keine Massenverteilungsfunktion. Unser nachfolgendes Ergebnis hängt nicht von ab . ${\displaystyle \Omega }$

Vorausgesetzt , dass die A-priori-Verteilung mit den beobachteten Daten übereinstimmt: ${\displaystyle \Omega >m}$

${\displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n][n<\Omega ]}$

Da k gegen unendlich strebt (was endlich ist, falls k  ≥ 2), gilt für hinreichend große k:${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle (n\mid m,k)\approx (m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n]}$

Für k  ≥ 1 ist der Modalwert der Verteilung der Anzahl feindlicher Panzer m .

Für k  ≥ 2 beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der feindlichen Panzer gleich ist , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (N=n\mid m,k)=(k-1){\binom {m-1}{k-1}}k^{-1}{\binom {n}{k}}^{-1}[m\leq n]}$

Die Glaubwürdigkeit, dass die Anzahl der feindlichen Panzer, N , größer als n ist,

${\displaystyle (N>n\mid m,k)={\begin{cases}1&{\text{if }}n<m\\{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}$

Für k  ≥ 3 hat N einen endlichen Mittelwert :

${\displaystyle (m-1)(k-1)(k-2)^{-1}}$

Für k  ≥ 4 hat N eine endliche Standardabweichung :

${\displaystyle (k-1)^{1/2}(k-2)^{-1}(k-3)^{-1/2}(m-1)^{1/2}(m+1-k)^{1/2}}$

Diese Formeln werden im Folgenden hergeleitet.

Die folgende Binomialkoeffizientenidentität wird im Folgenden zur Vereinfachung von Reihen im Zusammenhang mit dem deutschen Panzerproblem verwendet .

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}={\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}}$

Diese Summenformel ist in gewisser Weise analog zur Integralformel.

${\displaystyle \int _{n=m}^{\infty }{\frac {dn}{n^{k}}}={\frac {1}{k-1}}{\frac {1}{m^{k-1}}}}$

Diese Formeln gelten für k  > 1.

Die zufällige Auswahl eines Tanks aus einer Grundgesamtheit von n Tanks liefert die Seriennummer m mit Wahrscheinlichkeit 1/ n für m  ≤  n und mit Wahrscheinlichkeit null für m  >  n . In der Iverson- Klammerschreibweise schreibt man:

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=1)=(m\mid n)={\frac {[m\leq n]}{n}}}$

Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsmassenverteilungsfunktion von . ${\displaystyle m}$

Als Funktion von n bei festem m handelt es sich um eine Likelihood-Funktion.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)={\frac {[n\geq m]}{n}}}$

Die Maximum-Likelihood -Schätzung für die Gesamtzahl der Panzer ist N ₀  =  m , was eindeutig eine verzerrte Schätzung ist, da die tatsächliche Zahl größer sein kann, möglicherweise sogar viel größer, aber nicht kleiner.

Die marginale Wahrscheinlichkeit (d. h. marginalisiert über alle Modelle) ist unendlich , da sie ein Ausläufer der harmonischen Reihe ist .

${\displaystyle \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

Aber

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)[n<\Omega ]&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{n}}\\[5pt]&=H_{\Omega -1}-H_{m-1}\end{aligned}}}$

wo ist die Harmonische ? ${\displaystyle H_{n}}$

Die Glaubwürdigkeitsmassenverteilungsfunktion hängt von der vorherigen Grenze ab : ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=1)\\[5pt]={}&(n\mid m)={\frac {[m\leq n]}{n}}{\frac {[n<\Omega ]}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\end{aligned}}}$

Der Mittelwert von ist ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}n\cdot (n\mid m)&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&={\frac {\Omega -m}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&\approx {\frac {\Omega -m}{\log \left({\frac {\Omega -1}{m-1}}\right)}}\end{aligned}}}$

Werden zwei statt nur eines Tanks beobachtet, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die größere der beiden beobachteten Seriennummern gleich m ist ,

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=2)=(m\mid n)=[m\leq n]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

Als Funktion von n bei festem m betrachtet, handelt es sich um eine Likelihood-Funktion.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}\cdot {\frac {2}{2-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{2-1}}}\\[4pt]&=2\end{aligned}}}$

und die Glaubwürdigkeitsmassenverteilungsfunktion ist

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=2)\\[4pt]={}&(n\mid m)\\[4pt]={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\[4pt]={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n(n-1)}}\end{aligned}}}$

Der Median erfüllt ${\displaystyle {\tilde {N}}}$

${\displaystyle \sum _{n}[n\geq {\tilde {N}}](n\mid m)={\frac {1}{2}}}$

Also

${\displaystyle {\frac {m-1}{{\tilde {N}}-1}}={\frac {1}{2}}}$

und somit ist der Median

${\displaystyle {\tilde {N}}=2m-1}$

aber der Mittelwert von ist unendlich ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mu =\sum _{n}n\cdot (n\mid m)={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}=\infty }$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die größte von k aus den Seriennummern {1,..., n } entnommenen Beobachtungen gleich m ist ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&(M=m\mid N=n,K=k\geq 2)\\={}&(m\mid n,k)\\={}&[m\leq n]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\end{aligned}}}$

Die Likelihood-Funktion von n ist derselbe Ausdruck

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}}$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist für k ≥ 2 endlich:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{1 \over {\binom {n}{k}}}\\&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}\\&={\frac {k}{k-1}}\end{aligned}}}$

Die Glaubwürdigkeitsmassenverteilungsfunktion ist

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=k\geq 2)=(n\mid m,k)\\={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\={}&[n\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\end{aligned}}}$

Die komplementäre kumulative Verteilungsfunktion ist die Glaubwürdigkeit, dass N > x

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N>x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&{\begin{cases}1&{\text{if }}x<m\\\sum _{n=x+1}^{\infty }(n\mid m,k)&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {N}{k}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {x}{k-1}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\end{aligned}}}$

Die kumulative Verteilungsfunktion ist die Wahrscheinlichkeit, dass N ≤ x

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N\leq x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&1-(N>x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&[x\geq m]\left(1-{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\right)\end{aligned}}}$

Die Größenordnung der Anzahl feindlicher Panzer ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{n}n\cdot (N=n\mid M=m,K=k)\\[4pt]&=\sum _{n}n[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-1}{k-1}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\cdot {\frac {k-1}{k-2}}{\frac {1}{\binom {m-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\end{aligned}}}$

Die statistische Unsicherheit ist die Standardabweichung , die der Gleichung genügt ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ^{2}+\mu ^{2}=\sum _{n}n^{2}\cdot (N=n\mid M=m,K=k)}$

Also

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\mu &=\sum _{n}n(n-1)\cdot (N=n\mid M=m,K=k)\\[4pt]&=\sum _{n=m}^{\infty }n(n-1){\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\cdot {\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}{\frac {k-2}{k-3}}{\frac {1}{\binom {m-3}{k-3}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}\end{aligned}}}$

Und

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}+\mu -\mu ^{2}}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}\end{aligned}}}$

Das Verhältnis von Varianz zu Mittelwert ist einfach

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}={\frac {m-k+1}{(k-3)(k-2)}}}$

• Markierung und Wiederfang , eine weitere Methode zur Schätzung der Populationsgröße
• Schätzung des maximalen Abstands , welche die Intuition von „angenommener Gleichverteilung“ verallgemeinert
• Kopernikanisches Prinzip und Lindy-Effekt , analoge Vorhersagen der Lebensdauer unter der Annahme, dass nur eine Beobachtung in der Stichprobe vorliegt (aktuelles Alter).
  • Das Weltuntergangsargument , Anwendung zur Abschätzung der zu erwartenden Überlebenszeit der Menschheit.
• Verallgemeinerte Extremwertverteilung , mögliche Grenzverteilungen des Stichprobenmaximums (Gegenfrage).
• Maximum-Likelihood
• Verzerrung eines Schätzers
• Likelihood-Funktion

• Goodman, L. A. (1954). „Einige praktische Techniken zur Seriennummernanalyse“. Journal of the American Statistical Association . 49 (265). American Statistical Association: 97–112 . doi : 10.2307/2281038 . JSTOR  2281038 .

• Grime, James (31. Juli 2024). „Die clevere Art, Panzer zu zählen – Numberphile“ (Video) . YouTube . Brady Haran . Abgerufen am 18. Oktober 2024 .