Vorbestellung

transitive  binäre Relationen v T e
Symmetrisch Antisymmetrisch Verbunden Gut begründet Hat sich angeschlossen Hat trifft Reflexiv Irreflexiv Asymmetrisch Total, Semiconnex Antireflexiv​ Äquivalenzrelation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Vorbestellung (Quasibestellung) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Teilordnung ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Gesamtvorbestellung ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Gesamtbestellung ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Vorbestellung ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Wohl-Quasi-Ordnung ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Gut bestellt ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Gitter ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Verbindungshalbgitter ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Treff-Halbgitter ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strenge Teilordnung ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strenge schwache Ordnung ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strikte Gesamtbestellung ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetrisch Antisymmetrisch Verbunden Gut begründet Hat sich angeschlossen Hat trifft Reflexiv Irreflexiv Asymmetrisch Definitionen, für alle und${\displaystyle a,b}$${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ und }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ oder }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existiert}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
YEin Sternchen (*) bedeutet, dass die Eigenschaft der Spalte für den Eintrag der Zeile (ganz links) immer gilt, während ein Kreuz (✗) anzeigt, dass die Eigenschaft im Allgemeinen nicht garantiert ist (sie kann gelten oder auch nicht). Beispielsweise wird in der Spalte „Symmetrisch“ durch ein Sternchen (*) und in der Spalte „Antisymmetrisch“ durch ein Kreuz (✗) angezeigt , dass jede Äquivalenzrelation symmetrisch, aber nicht notwendigerweise antisymmetrisch ist.Y Alle Definitionen fordern stillschweigend, dass die homogene Relation transitiv ist : für alle wenn und dann. Die Definition eines Begriffs kann zusätzliche Eigenschaften erfordern, die in dieser Tabelle nicht aufgeführt sind. ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

In der Mathematik , insbesondere in der Ordnungstheorie , ist eine Präordnung oder Quasiordnung eine binäre Relation , die reflexiv und transitiv ist . Der Name Präordnung soll andeuten, dass Präordnungen beinahe partielle Ordnungen sind , aber nicht ganz, da sie nicht notwendigerweise antisymmetrisch sind .

Ein natürliches Beispiel für eine Präordnung ist die Teilungsrelation „x teilt y“ zwischen ganzen Zahlen . Diese Relation ist reflexiv, da jede ganze Zahl sich selbst teilt. Sie ist auch transitiv. Sie ist jedoch nicht antisymmetrisch, da beispielsweise x² und y² teilen , aber nicht gleich y² ist . Auf diese Präordnung bezieht sich das Wort „kleinstes“ im Ausdruck „ kleinstes gemeinsames Vielfaches “ (im Gegensatz dazu haben bei Verwendung der natürlichen Ordnung für ganze Zahlen beispielsweise 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 16 ...6, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16 , 16 , 16 , 16 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -12}$${\displaystyle -24}$

Präordnungen stehen in engem Zusammenhang mit Äquivalenzrelationen und (nicht-strikten) partiellen Ordnungen. Beide sind Spezialfälle einer Präordnung: Eine antisymmetrische Präordnung ist eine partielle Ordnung, und eine symmetrische Präordnung ist eine Äquivalenzrelation. Darüber hinaus lässt sich eine Präordnung auf einer Menge äquivalent als Äquivalenzrelation auf dieser Menge definieren , zusammen mit einer partiellen Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklasse (siehe Abbildung). Wie partielle Ordnungen und Äquivalenzrelationen sind auch Präordnungen (auf einer nichtleeren Menge) niemals asymmetrisch . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Eine Präordnung lässt sich als gerichteter Graph visualisieren , wobei die Elemente der Menge den Knoten entsprechen und die Ordnungsrelation zwischen Paaren von Elementen den gerichteten Kanten zwischen den Knoten. Die Umkehrung gilt nicht: Die meisten gerichteten Graphen sind weder reflexiv noch transitiv. Eine antisymmetrische Präordnung enthält keine Zyklen mehr; sie ist eine partielle Ordnung und entspricht einem gerichteten azyklischen Graphen . Eine symmetrische Präordnung ist eine Äquivalenzrelation; man kann sie sich so vorstellen, als hätte sie die Richtungsmarkierungen auf den Kanten des Graphen verloren. Im Allgemeinen kann der zu einer Präordnung gehörige gerichtete Graph viele unzusammenhängende Komponenten enthalten.

Eine Vorbestellung wird oft mit oder gekennzeichnet . ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\leq \,}$

Eine binäre Relation auf einer Menge heißt Präordnung oder Quasiordnung , wenn sie reflexiv und transitiv ist ; das heißt, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle X}$

1. Reflexivität : für alle und${\displaystyle a\lesssim a}$${\displaystyle a\in X,}$
2. Transitivität : wenn für alle${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and }}b\lesssim c{\text{ then }}a\lesssim c}$${\displaystyle a,b,c\in X.}$

Eine Menge, die mit einer Vorordnung versehen ist, wird als vorgeordnete Menge (oder Promenge ) bezeichnet. ^{[ 1 ]}

Gegeben eine Präordnung auf , kann man eine Äquivalenzrelation auf definieren durch . Die resultierende Relation ist reflexiv, da die Präordnung reflexiv ist; transitiv, da die Transitivität von zweimal angewendet wird; und symmetrisch nach Definition. ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle a\sim b\quad {\text{ if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;b\lesssim a.}$$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$

Unter Verwendung dieser Relation ist es möglich, eine partielle Ordnung auf der Quotientenmenge der Äquivalenz zu konstruieren, indem man definiert, dass dies wohldefiniert ist , d. h. nicht von der konkreten Wahl der Repräsentanten und abhängt, folgt aus der Definition von . ${\displaystyle X/\sim }$${\displaystyle [x]\leq [y]}$${\displaystyle x\lesssim y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \,\sim \,}$

Umgekehrt lässt sich aus jeder partiellen Ordnung einer Partition einer Menge eine Präordnung auf sich selbst konstruieren . Es besteht eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Präordnungen und Paaren (Partition, partielle Ordnung). ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

Beispiel : Sei die Menge aller (gültigen oder ungültigen) Sätze in einem Teilgebiet der Mathematik, wie etwa der Geometrie . Definiere , wenn eine logische Konsequenz von ist . Dann ist eine Präordnung auf : Jeder Satz kann aus sich selbst bewiesen werden (Reflexivität), und wenn aus und aus bewiesen werden kann , dann kann auch aus bewiesen werden (Transitivität). Die zugehörige Äquivalenzrelation wird üblicherweise mit bezeichnet und als und definiert ; in diesem Fall werden und als „ logisch äquivalent “ bezeichnet . Die Äquivalenzklasse eines Satzes ist die Menge aller Sätze , die logisch äquivalent zu sind ; formal: . Die prägeordnete Menge ist eine gerichtete Menge : Gegeben zwei Sätze , ist ihre logische Konjunktion , ausgesprochen „sowohl als auch “, eine gemeinsame obere Schranke von ihnen, da eine Konsequenz von ist und somit auch . Die partiell geordnete Menge ist daher ebenfalls eine gerichtete Menge. Siehe Lindenbaum-Tarski-Algebra für ein verwandtes Beispiel. ${\displaystyle X}$${\displaystyle p\Leftarrow q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \Leftarrow }$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$${\displaystyle p\Leftarrow q}$${\displaystyle q\Leftarrow p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [p]=\{q\mid p\Leftrightarrow q\}}$${\displaystyle (X,\Leftarrow )}$${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle p\wedge q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\wedge q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \left(X/\Leftrightarrow ,\Leftarrow \right)}$

Ersetzt man Reflexivität durch Irreflexivität (bei gleichbleibender Transitivität), so erhält man die Definition einer strikten partiellen Ordnung auf . Daher wird manchmal auch der Begriff strikte Präordnung für eine strikte partielle Ordnung verwendet. Das heißt, es handelt sich um eine binäre Relation auf , die Folgendes erfüllt: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle X}$

1. Irreflexivität oder Antireflexivität: nicht für alles , das heißt, ist für alle falsch .${\displaystyle a<a}$${\displaystyle a\in X;}$${\displaystyle \,a<a}$${\displaystyle a\in X,}$
2. Transitivität : wenn für alle${\displaystyle a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c}$${\displaystyle a,b,c\in X.}$

Jede Präordnung führt zu einer strikten partiellen Ordnung, die durch definiert ist, genau dann, wenn und nicht . Unter Verwendung der oben eingeführten Äquivalenzrelation gilt : genau dann, wenn und somit gilt Folgendes: Die Relation ist eine strikte partielle Ordnung , und jede strikte partielle Ordnung kann auf diese Weise konstruiert werden. Ist die Präordnung antisymmetrisch (und somit eine partielle Ordnung), so ist die Äquivalenz Gleichheit (d. h. genau dann, wenn ). In diesem Fall kann die Definition von wie folgt umformuliert werden: Wichtig ist jedoch, dass diese neue Bedingung nicht als allgemeine Definition der Relation verwendet wird (und auch nicht äquivalent dazu ist) (d. h. ist nicht definiert als: genau dann, wenn ), da die resultierende Relation nicht transitiv wäre, wenn die Präordnung nicht antisymmetrisch ist (siehe die Beziehung zwischen äquivalenten, ungleichen Elementen). Aus diesem Grund wird das Symbol " " anstelle des Symbols "kleiner oder gleich" verwendet , da dies bei einer nicht antisymmetrischen Präordnung zu Verwirrung führen könnte, da es fälschlicherweise suggerieren könnte, dass impliziert.${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and not }}a\sim b;}$$${\displaystyle a\lesssim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a<b\;{\text{ or }}\;a\sim b.}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \,<\,}$$${\displaystyle a<b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;a\neq b\quad \quad ({\text{assuming }}\lesssim {\text{ is antisymmetric}}).}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and }}a\neq b}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \lesssim }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a<b{\text{ or }}a=b.}$

Mit der obigen Konstruktion können mehrere nicht-strikte Präordnungen dieselbe strikte Präordnung erzeugen. Ohne weitere Informationen über die Konstruktion (z. B. Kenntnis der Äquivalenzrelation ) ist es daher möglicherweise nicht möglich, die ursprüngliche nicht-strikte Präordnung zu rekonstruieren. Mögliche (nicht-strikte) Präordnungen, die die gegebene strikte Präordnung induzieren, sind beispielsweise die folgenden: ${\displaystyle \,<,\,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,<.\,}$${\displaystyle \,<\,}$

• Definiere als (d. h. bilde den reflexiven Abschluss der Relation). Dies liefert die partielle Ordnung, die mit der strikten partiellen Ordnung "" durch reflexiven Abschluss assoziiert ist; in diesem Fall ist die Äquivalenz Gleichheit, sodass die Symbole und nicht benötigt werden.${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a<b{\text{ or }}a=b}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \,=,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$
• Definiere als " " (d. h. bilde das inverse Komplement der Relation), was der Definition als "weder " entspricht; diese Relationen und sind im Allgemeinen nicht transitiv; sind sie jedoch transitiv, so ist eine Äquivalenz; in diesem Fall ist "" eine strikte schwache Ordnung . Die resultierende Präordnung ist zusammenhängend (früher total genannt); das heißt, eine totale Präordnung .${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle {\text{ not }}b<a}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a<b{\text{ nor }}b<a}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle <}$

Wenn dann gilt die Umkehrung (d. h. ) genau dann, wenn immer dann oder${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a\lesssim b.}$${\displaystyle \,\lesssim \;\;=\;\;\leq \,}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<a.}$

• Die Erreichbarkeitsrelation in einem gerichteten Graphen (der möglicherweise Zyklen enthält) definiert eine Präordnung. Eine Präordnung ist genau dann definiert, wenn es einen Pfad von x nach y im gerichteten Graphen gibt. Umgekehrt ist jede Präordnung die Erreichbarkeitsrelation eines gerichteten Graphen (beispielsweise der Graph, der für jedes Paar ( x , y ) mit x ≠ y eine Kante von x nach y besitzt ). Viele verschiedene Graphen können jedoch dieselbe Erreichbarkeitspräordnung besitzen. Analog dazu definiert die Erreichbarkeit gerichteter azyklischer Graphen (gerichtete Graphen ohne Zyklen) partiell geordnete Mengen (Präordnungen, die eine zusätzliche Antisymmetrieeigenschaft erfüllen).${\displaystyle x\lesssim y}$${\displaystyle x\lesssim y}$
• Die Graph-Minor- Relation ist ebenfalls eine Präordnung.

In der Informatik findet man Beispiele für folgende Vorbestellungen.

• Die asymptotische Ordnung bewirkt eine Vorordnung über Funktionen . Die entsprechende Äquivalenzrelation wird als asymptotische Äquivalenz bezeichnet .${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$
• Polynomialzeit- , Many-One- (Abbildungs-) und Turing-Reduktionen sind Präordnungen auf Komplexitätsklassen.
• Subtypisierungsrelationen sind üblicherweise Präordnungen. ^{[ 2 ]}
• Simulations-Vorbestellungen sind Vorbestellungen (daher der Name).
• Reduktionsrelationen in abstrakten Umschreibungssystemen .
• Die Präordnung der Umfassung auf der Menge der Terme , definiert durch , wenn ein Unterterm von t eine Substitutionsinstanz von s ist .${\displaystyle s\lesssim t}$
• Theta-Subsumtion , ^{[ 3 ]} die auftritt, wenn die Literale in einer disjunktiven Formel erster Stufe in einer anderen Formel enthalten sind, nachdem eine Substitution auf die erstere angewendet wurde.

• Eine Kategorie mit höchstens einem Morphismus von einem beliebigen Objekt x zu einem beliebigen anderen Objekt y ist eine Präordnung. Solche Kategorien werden als dünn bezeichnet . Hier entsprechen die Objekte den Elementen der Kategorie, und es gibt genau einen Morphismus für zusammengehörige Objekte, ansonsten keinen. In diesem Sinne „verallgemeinern“ Kategorien Präordnungen, indem sie mehr als eine Relation zwischen Objekten zulassen: Jeder Morphismus ist eine eindeutige (benannte) Präordnungsrelation.${\displaystyle X,}$
• Alternativ kann eine vorgeordnete Menge als eine angereicherte Kategorie verstanden werden , angereichert über die Kategorie${\displaystyle 2=(0\to 1).}$

Weitere Beispiele:

• Jeder endliche topologische Raum induziert eine Präordnung auf seinen Punkten, indem er x genau dann definiert, wenn x zu jeder Umgebung von y gehört . Jede endliche Präordnung kann auf diese Weise als Spezialisierungspräordnung eines topologischen Raums gebildet werden. Das heißt, es besteht eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen endlichen Topologien und endlichen Präordnungen. Die Beziehung zwischen unendlichen topologischen Räumen und ihren Spezialisierungspräordnungen ist jedoch nicht eins-zu-Eins.${\displaystyle x\lesssim y}$

• Ein Netz ist eine gerichtete Präordnung, d. h. jedes Elementpaar besitzt eine obere Schranke . Die Definition der Konvergenz mittels Netzen ist in der Topologie von Bedeutung , da Präordnungen dort nicht durch partiell geordnete Mengen ersetzt werden können , ohne wichtige Eigenschaften zu verlieren.

• Die Relation ist definiert durch wenn, wobei f eine Funktion in eine Präordnung ist.${\displaystyle x\lesssim y}$${\displaystyle f(x)\lesssim f(y),}$
• Die Relation ist definiert durch die Existenz einer Injektion von x nach y . Die Injektion kann durch eine Surjektion oder eine beliebige strukturerhaltende Funktion, wie beispielsweise einen Ringhomomorphismus oder eine Permutation , ersetzt werden .${\displaystyle x\lesssim y}$
• Die Einbettungsrelation für abzählbare totale Ordnungen .

Beispiel für eine vollständige Vorbestellung :

• Präferenz gemäß gängigen Modellen. ^{[ 4 ]}

Jede binäre Relation auf einer Menge kann durch Bildung des transitiven und reflexiven Abschlusses zu einer Präordnung erweitert werden . Der transitive Abschluss gibt genau dann einen Pfadzusammenhang in der Menge an, wenn es einen -Pfad von nach gibt.${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{+=}.}$${\displaystyle R:xR^{+}y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

Linke Restvorordnung, induziert durch eine binäre Relation

Bei gegebener binärer Relation bildet die komplementierte Komposition eine Präordnung, die als linker Rest bezeichnet wird , ^{[ 5 ]} wobei die Umkehrrelation von und die Komplementrelation von bezeichnet, während die Komposition der Relation bezeichnet . ${\displaystyle R,}$${\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}}$${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle \circ }$

Wenn eine Präordnung auch antisymmetrisch ist , das heißt, und impliziert, dann ist sie eine partielle Ordnung . ${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle a=b,}$

Ist die Beziehung hingegen symmetrisch , d. h. wenn aus folgt , dann handelt es sich um eine Äquivalenzrelation . ${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a,}$

Eine Vorbestellung ist vollständig, wenn oder für alle${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle a,b\in X.}$

Eine vorbestellte Klasse ist eine Klasse, die mit einer Vorbestellung ausgestattet ist. Jedes Set ist eine Klasse und somit ist jedes vorbestellte Set eine vorbestellte Klasse.

Vorbestellungen spielen in verschiedenen Situationen eine entscheidende Rolle:

• Jeder Präordnung kann eine Topologie zugeordnet werden, die Alexandrov-Topologie ; und tatsächlich steht jede Präordnung auf einer Menge in einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit einer Alexandrov-Topologie auf dieser Menge.
• Präordnungen können verwendet werden, um innere Algebren zu definieren .
• Präorder liefern die Kripke-Semantik für bestimmte Arten von Modallogik .
• Präordnungen werden in der Mengenlehre beim Forcing verwendet, um Konsistenz- und Unabhängigkeitsresultate zu beweisen . ^{[ 6 ]}

Beachten Sie, dass S ( n , k ) sich auf Stirling-Zahlen zweiter Art bezieht .

Wie oben erläutert, besteht eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen Präordnungen und Paaren (Partition, Partialordnung). Die Anzahl der Präordnungen entspricht somit der Summe der Anzahl der Partialordnungen auf jeder Partition. Zum Beispiel:

Das Intervall ist die Menge der Punkte x, die die Bedingung erfüllen , und wird auch als geschrieben. Es enthält mindestens die Punkte a und b . Man kann die Definition auf alle Paare erweitern . Die zusätzlichen Intervalle sind alle leer. ${\displaystyle a\lesssim b,}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\lesssim x}$${\displaystyle x\lesssim b,}$${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$${\displaystyle (a,b)}$

Unter Verwendung der entsprechenden strikten Relation " " kann man das Intervall auch als die Menge der Punkte x definieren, die die Bedingung erfüllen , und man kann es auch so schreiben: Ein offenes Intervall kann leer sein, selbst wenn${\displaystyle <}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a<x}$${\displaystyle x<b,}$${\displaystyle a<x<b.}$${\displaystyle a<b.}$

Auch und können auf ähnliche Weise definiert werden. ${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle (a,b]}$

• Partielle Ordnung – Vorordnung, die antisymmetrisch ist
• Äquivalenzrelation – Präordnung, die symmetrisch ist
• Gesamtvorbestellung – Vorbestellung, die insgesamt
• Gesamtorder – Vororder, die antisymmetrisch und total ist
• Regiearbeit
• Kategorie der vorbestellten Sets
• Vorbestellung
• Wohl-Quasi-Ordnung

• Schmidt, Gunther, „Relationale Mathematik“, Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen, Band 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
• Schröder, Bernd SW (2002), Geordnete Mengen: Eine Einführung , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9