Äquivalenzklasse

In der Mathematik kann man eine Menge , deren Elemente eine Äquivalenzbeziehung aufweisen (formalisiert als Äquivalenzrelation ) , auf natürliche Weise in Äquivalenzklassen unterteilen . Diese Äquivalenzklassen werden so konstruiert, dass Elemente a und b genau dann zur selben Äquivalenzklasse gehören , wenn sie äquivalent sind. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Formal ausgedrückt: Gegeben eine Menge und eine Äquivalenzrelation auf , wird die Äquivalenzklasse eines Elements in mit bezeichnet oder, äquivalent dazu, um die Äquivalenzrelation zu betonen , mit . ist definiert als die Menge aller Elemente in , zu denen eine -Relation besteht . Die Definition von Äquivalenzrelationen impliziert, dass die Äquivalenzklassen eine Bedeutungszerlegung bilden , d . h., dass jedes Element der Menge genau einer Äquivalenzklasse angehört. Die Menge der Äquivalenzklassen wird manchmal Quotientenmenge oder Quotientenraum von durch genannt und mit bezeichnet.${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a]_{\sim }}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim ,}$${\displaystyle S/{\sim }.}$

Besitzt die Menge eine bestimmte Struktur (wie etwa eine Gruppenoperation oder eine Topologie ) und ist die Äquivalenzrelation mit dieser Struktur kompatibel, so erbt die Quotientenmenge häufig eine ähnliche Struktur von ihrer Ausgangsmenge. Beispiele hierfür sind Quotientenräume in der linearen Algebra , Quotientenräume in der Topologie , Quotientengruppen , homogene Räume , Quotientenringe , Quotientenmonoide und Quotientenkategorien . ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sim }$

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine binäre Relation , die die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$für alle ( Reflexivität ),${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$impliziert für alle ( Symmetrie ),${\displaystyle b\sim a}$${\displaystyle a,b\in X}$
• Wenn und dann für alle ( Transitivität ).${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle b\sim c}$${\displaystyle a\sim c}$${\displaystyle a,b,c\in X}$

Die Äquivalenzklasse eines Elements ist definiert als ^{[ 2 ]}${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

Der Begriff „Klasse“ im Ausdruck „Äquivalenzklasse“ kann im Allgemeinen als Synonym für „ Menge “ betrachtet werden, obwohl einige Äquivalenzklassen keine Mengen, sondern echte Klassen sind . Beispielsweise ist „ isomorph sein “ eine Äquivalenzrelation auf Gruppen , und die Äquivalenzklassen, die Isomorphieklassen genannt werden , sind keine Mengen.

Die Menge aller Äquivalenzklassen in Bezug auf eine Äquivalenzrelation wird mit bezeichnet und heißt modulo (oder ).${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X/R,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$Quotientenmenge vondurch). ^{[ 3 ]} Diesurjektive Abbildungvonauf, die jedes Element auf seine Äquivalenzklasse abbildet, wird als die${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\mapsto [x]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/R,}$kanonische Surjektion oderkanonische Projektion.

Jedes Element einer Äquivalenzklasse charakterisiert die Klasse und kann zu ihrer Repräsentation verwendet werden . Ein solches Element wird als Repräsentant der Klasse bezeichnet. Die Wahl eines Repräsentanten in jeder Klasse definiert eine Injektion von X nach X. Da ihre Komposition mit der kanonischen Surjektion das Einselement ergibt, wird eine solche Injektion , in der Terminologie der Kategorientheorie, als Schnitt bezeichnet . ${\displaystyle X/R}$${\displaystyle X/R,}$

Manchmal gibt es einen Abschnitt, der „natürlicher“ ist als die anderen. In diesem Fall werden die Repräsentanten kanonische Repräsentanten genannt. In der modularen Arithmetik beispielsweise ist für jede ganze Zahl m größer als 1 die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen, für die zwei ganze Zahlen a und b äquivalent sind – in diesem Fall sagt man kongruent . Wenn m ein Teiler von a ist, wird dies mit ∑_ ( m-b)^( m-b ) bezeichnet . Jede Klasse enthält genau eine nichtnegative ganze Zahl kleiner als a, und diese ganzen Zahlen sind die kanonischen Repräsentanten. ${\displaystyle ab;}$${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$${\displaystyle m,}$

Die Verwendung von Repräsentanten zur Darstellung von Klassen ermöglicht es, Klassen nicht explizit als Mengen zu betrachten. In diesem Fall wird die kanonische Surjektion, die ein Element auf seine Klasse abbildet, durch die Funktion ersetzt, die ein Element auf den Repräsentanten seiner Klasse abbildet. Im vorherigen Beispiel wird diese Funktion mit bezeichnet und liefert den Rest der euklidischen Division von a durch m . ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

Für eine Menge mit einer Äquivalenzrelation ist jedes Element von aufgrund der Reflexivität Element der Äquivalenzklasse . Je zwei Äquivalenzklassen und sind entweder gleich, falls , oder disjunkt andernfalls. Daher bildet die Menge aller Äquivalenzklassen von eine Partition von : Jedes Element von gehört genau einer Äquivalenzklasse an. ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle a\sim a}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Umgekehrt gilt für eine Menge , dass jede Partition auf diese Weise aus einer Äquivalenzrelation entsteht, und verschiedene Relationen liefern verschiedene Partitionen. Somit gilt genau dann , wenn und zur selben Menge der Partition gehören. ^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Aus den Eigenschaften im vorherigen Abschnitt folgt, dass, wenn es sich um eine Äquivalenzrelation auf einer Menge handelt und und zwei Elemente sind, die folgenden Aussagen äquivalent sind: ${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$,
• ${\displaystyle [x]=[y]}$, Und
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• Sei die Menge aller Rechtecke in einer Ebene und die Äquivalenzrelation "hat die gleiche Fläche wie", dann gibt es für jede positive reelle Zahl eine Äquivalenzklasse aller Rechtecke mit der Fläche ^{[ 6 ].}${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$
  • Beispielsweise haben die Rechtecke mit den Seitenlängen 2 mal 4 und 1 mal 8 beide die Fläche 8. Obwohl sie sich in ihrer Form unterscheiden, sind sie gemäß der Relation „hat die gleiche Fläche“ äquivalent und gehören daher zur selben Äquivalenzklasse.
• Betrachten wir die Modulo- 2-Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Zahlen , sodass genau dann gilt, wenn ihre Differenz eine gerade Zahl ist . Diese Relation führt zu genau zwei Äquivalenzklassen: eine Klasse, die alle geraden Zahlen umfasst, und eine Klasse, die alle ungeraden Zahlen umfasst. Setzt man ein Element der Klasse in eckige Klammern, um eine Äquivalenzklasse bezüglich dieser Relation zu bezeichnen, so repräsentieren alle dasselbe Element von ^{[ 2 ].}${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle [7],[9],}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
  • Die Kongruenz modulo 3 auf der Menge der ganzen Zahlen kann untersucht werden, um dies zu demonstrieren. Unter dieser Äquivalenzrelation gilt:

[0] = {..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...}

[1] = {..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...}

[2] = {..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...}

Jeder Wert in gehört genau einer der Klassen an, wobei die Elemente 0, 1 und 2 die kanonischen Repräsentanten ihrer Klassen sind. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Sei die Menge der geordneten Paare ganzer Zahlen mit von Null verschiedenem . Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf , sodass genau dann gilt, wenn . Dann kann die Äquivalenzklasse des Paares mit der rationalen Zahl identifiziert werden , und diese Äquivalenzrelation sowie ihre Äquivalenzklassen können zur formalen Definition der Menge der rationalen Zahlen verwendet werden. ^{[ 7 ]} Dieselbe Konstruktion lässt sich auf den Körper der Brüche eines beliebigen Integritätsbereichs verallgemeinern . ${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$${\displaystyle ad=bc,}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a/b,}$
  • Die geordneten Paare und dienen als Beispiel dafür. Diese Paare gehören zur selben Äquivalenzklasse, da jedes Paar die rationale Zahl darstellt .${\displaystyle (1,2),(2,4)}$${\displaystyle (3,6)}$${\displaystyle (a,b)}$1/2.​
• Besteht die Menge aller Geraden in der euklidischen Ebene und bedeutet , dass und parallele Geraden sind , dann bildet die Menge der zueinander parallelen Geraden eine Äquivalenzklasse, sofern eine Gerade als parallel zu sich selbst betrachtet wird . In diesem Fall definiert jede Äquivalenzklasse einen Punkt im Unendlichen . ${\displaystyle X}$${\displaystyle L\sim M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$
  • In der kartesischen Ebene haben die Geraden und die gleiche Steigung – und sind parallel – daher gehören sie zur gleichen Äquivalenzklasse.${\displaystyle y=2x-3}$${\displaystyle y=2x+1}$
• Für jede Menge ist die Relation eine Äquivalenzrelation, bei der jede Äquivalenzklasse eine Menge ist, die aus einem einzigen Element besteht. ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y\iff x=y}$
  • Wenn = , dann sind die Äquivalenzklassen und , da keine zwei verschiedenen Elemente unter der Gleichheitsrelation als äquivalent betrachtet werden.${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle [1],[2],}$${\displaystyle [3]}$

Jeder symmetrischen Relation auf einer Menge kann ein ungerichteter Graph zugeordnet werden, wobei die Knoten die Elemente von sind und zwei Knoten genau dann verbunden sind , wenn . Zu diesen Graphen gehören die Graphen von Äquivalenzrelationen. Diese Graphen, sogenannte Clustergraphen , sind dadurch charakterisiert, dass die Zusammenhangskomponenten Cliquen sind . ^{[ 2 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s\sim t.}$

Wenn eine Äquivalenzrelation auf ist und eine Eigenschaft von Elementen von ist, sodass immer dann, wenn wahr ist, dann heißt die Eigenschaft eine Invariante von oder wohldefiniert unter der Relation${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle \,\sim .}$

Ein häufiger Spezialfall tritt auf, wenn eine Funktion von einer Menge in eine andere ist ; wenn immer dann, dann heißt klasseninvariant unter oder einfach invariant unter . Dies kommt beispielsweise in der Charaktertheorie endlicher Gruppen vor. Manche Autoren verwenden „kompatibel mit “ oder einfach „beachtet “ anstelle von „invariant unter “. ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle \,\sim .}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$

Jede Funktion ist klasseninvariant unter , nach der genau dann gilt, wenn . Die Äquivalenzklasse von ist die Menge aller Elemente in , die auf abgebildet werden , d. h. die Klasse ist das Urbild von . Diese Äquivalenzrelation wird als Kern von bezeichnet.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f.}$

Allgemeiner kann eine Funktion äquivalente Argumente (unter einer Äquivalenzrelation auf ) auf äquivalente Werte (unter einer Äquivalenzrelation auf ) abbilden. Eine solche Funktion ist ein Morphismus von Mengen, der mit einer Äquivalenzrelation versehen ist. ${\displaystyle \sim _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim _{Y}}$${\displaystyle Y}$

In der Topologie ist ein Quotientenraum ein topologischer Raum , der auf der Menge der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf einem topologischen Raum gebildet wird, wobei die Topologie des ursprünglichen Raums verwendet wird, um die Topologie auf der Menge der Äquivalenzklassen zu erzeugen.

In der abstrakten Algebra ermöglichen Kongruenzrelationen auf der zugrundeliegenden Menge einer Algebra die Induktion einer Algebra auf den Äquivalenzklassen der Relation, der sogenannten Quotientenalgebra . In der linearen Algebra ist ein Quotientenraum ein Vektorraum, der durch die Bildung einer Quotientengruppe entsteht , wobei der Quotientenhomomorphismus eine lineare Abbildung ist . Analog dazu kann der Begriff Quotientenraum in der abstrakten Algebra für Quotientenmoduln , Quotientenringe , Quotientengruppen oder beliebige Quotientenalgebren verwendet werden. Die Verwendung des Begriffs für die allgemeineren Fälle erfolgt jedoch oft analog zu den Bahnen einer Gruppenwirkung.

Die Bahnen einer Gruppenwirkung auf einer Menge können als Quotientenraum der Wirkung auf die Menge bezeichnet werden, insbesondere wenn die Bahnen der Gruppenwirkung die Rechtsnebenklassen einer Untergruppe einer Gruppe sind , die aus der Wirkung der Untergruppe auf die Gruppe durch Linksverschiebungen entstehen, bzw. die Linksnebenklassen als Bahnen unter Rechtsverschiebung.

Eine normale Untergruppe einer topologischen Gruppe, die auf der Gruppe durch Translationsoperation wirkt, ist ein Quotientenraum im Sinne der Topologie, der abstrakten Algebra und der Gruppenoperationen zugleich.

Obwohl der Begriff für jede Menge von Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation verwendet werden kann, gegebenenfalls mit weiterer Struktur, besteht die allgemeine Verwendung darin, diese Art von Äquivalenzrelation auf einer Menge mit einer Äquivalenzrelation zu vergleichen, die eine Struktur auf der Menge der Äquivalenzklassen aus einer Struktur derselben Art auf der Menge induziert, oder mit den Bahnen einer Gruppenwirkung. Sowohl das Verständnis einer durch eine Äquivalenzrelation erhaltenen Struktur als auch die Untersuchung von Invarianten unter Gruppenwirkungen führen zu der oben gegebenen Definition von Invarianten von Äquivalenzrelationen. ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$

• Äquivalenzpartitionierung , eine Methode zur Erstellung von Softwaretestsätzen basierend auf der Programmabdeckung möglicher Eingaben
• Homogener Raum , der Quotientenraum der Lie-Gruppen
• Partielle Äquivalenzrelation  – Mathematisches Konzept zum Vergleichen von Objekten
• Quotient mittels einer Äquivalenzrelation  – Verallgemeinerung von Äquivalenzklassen auf die Schematheorie
• Setoid  – Mathematische Konstruktion einer Menge mit einer Äquivalenzrelation
• Transversale Menge (Kombinatorik)  – Menge, die jede Menge einer Familie von Mengen schneidet.

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