Primitive Permutationsgruppe

In der Mathematik heißt eine Permutationsgruppe G, die auf einer nichtleeren endlichen Menge X operiert, primitiv, wenn G transitiv auf X operiert und die einzigen Partitionen, die die G -Operation erhält, die trivialen Partitionen in eine einzelne Menge oder in | X | einelementige Mengen sind . Andernfalls, wenn G transitiv ist und eine nichttriviale Partition erhält , heißt G imprimitiv .

Primitive Permutationsgruppen sind zwar transitiv, aber nicht alle transitiven Permutationsgruppen sind primitiv. Das einfachste Beispiel ist die Kleinsche Vierergruppe , die auf den Eckpunkten eines Quadrats operiert und die Diagonalpartition erhält. Erhält eine Permutationsgruppe hingegen nur triviale Partitionen, ist sie transitiv, außer im Fall der trivialen Gruppe, die auf einer zweielementigen Menge operiert. Denn bei einer nicht-transitiven Operation bilden entweder die Bahnen von G eine nicht-triviale Partition, die von G erhalten wird , oder die Gruppenoperation ist trivial. In letzterem Fall werden alle nicht-trivialen Partitionen von X (die für | X | ≥ 3 existieren ) von G erhalten .

Diese Terminologie wurde von Évariste Galois in seinem letzten Brief eingeführt, in dem er den französischen Begriff équation primitive für eine Gleichung verwendete, deren Galoisgruppe primitiv ist. ^{[ 1 ]}

In demselben Brief, in dem er den Begriff „primitiv“ einführte, formulierte Galois folgenden Satz: ^{[ 2 ]}

Ist G eine primitive auflösbare Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert , so ist die Ordnung von X eine Potenz einer Primzahl p . Weiterhin kann X mit einem affinen Raum über dem endlichen Körper mit p Elementen identifiziert werden , und G operiert auf X als Untergruppe der affinen Gruppe .

Ist die Menge X, auf der G wirkt, endlich, so nennt man ihre Kardinalität den Grad von G.

Eine Folgerung aus diesem Ergebnis von Galois ist, dass, wenn p eine ungerade Primzahl ist, die Ordnung einer auflösbaren transitiven Gruppe vom Grad p ein Teiler von ist . Tatsächlich ist jede transitive Gruppe vom Primgrad primitiv (da die Anzahl der Elemente einer durch G fixierten Partition ein Teiler von p sein muss ) und ist die Kardinalität der affinen Gruppe eines affinen Raums mit p Elementen. ${\displaystyle p(p-1).}$${\displaystyle p(p-1)}$

Daraus folgt, dass, wenn p eine Primzahl größer als 3 ist, die symmetrische Gruppe und die alternierende Gruppe vom Grad p nicht auflösbar sind, da ihre Ordnung größer als 3 ist. Der Satz von Abel-Ruffini ergibt sich aus dieser Tatsache und der Tatsache, dass es Polynome mit einer symmetrischen Galoisgruppe gibt. ${\displaystyle p(p-1).}$

Eine äquivalente Definition der Primitivität beruht darauf, dass jede transitive Operation einer Gruppe G isomorph zu einer Operation ist, die aus der kanonischen Operation von G auf der Menge G / H der Nebenklassen einer Untergruppe H von G entsteht . Eine Gruppenoperation heißt primitiv, wenn sie isomorph zu G / H bezüglich einer maximalen Untergruppe H von G ist, und andernfalls imprimitiv (d. h., wenn es eine echte Untergruppe K von G gibt, zu der H eine echte Untergruppe ist). Diese imprimitiven Operationen sind Beispiele für induzierte Darstellungen .

Die Anzahl primitiver Gruppen niedrigen Grades wurde 1937 von Robert Carmichael angegeben:

Es gibt eine große Anzahl primitiver Gruppen vom Grad 16. Wie Carmichael bemerkt, sind alle diese Gruppen, mit Ausnahme der symmetrischen und alternierenden Gruppe, Untergruppen der affinen Gruppe auf dem 4-dimensionalen Raum über dem 2-elementigen endlichen Körper .

• Betrachten Sie die symmetrische Gruppe, die auf der Menge wirkt , und die Permutation${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

Sowohl als auch die von erzeugte Gruppe sind primitiv. ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \eta }$

• Betrachten wir nun die symmetrische Gruppe, die auf der Menge wirkt , und die Permutation${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

Die von erzeugte Gruppe ist nicht primitiv, da die Partition, bei der und unter erhalten bleibt , d.h. und . ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• Jede transitive Gruppe vom Primgrad ist primitiv
• Die symmetrische Gruppe, die auf der Menge wirkt, ist für jedes n primitiv , und die alternierende Gruppe, die auf der Menge wirkt, ist für jedes  n  > 2 primitiv.${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

• Block (Permutationsgruppentheorie)
• Satz von Jordan (symmetrische Gruppe)
• Satz von O’Nan-Scott , eine Klassifizierung endlicher primitiver Gruppen in verschiedene Typen

• Roney-Dougal, Colva M. Die primitiven Permutationsgruppen vom Grad kleiner als 2500 , Journal of Algebra 292 (2005), Nr. 1, 154–183.
• Die GAP -Datenbibliothek „Primitive Permutationsgruppen“ .
• Carmichael, Robert D., Einführung in die Theorie der Gruppen endlicher Ordnung. Ginn, Boston, 1937. Nachdruck durch Dover Publications, New York, 1956.
• Todd Rowland. „Primitive Gruppenaktion“ . MathWorld .