Maximale Untergruppe

In der Mathematik wird der Begriff maximale Untergruppe in verschiedenen Bereichen der Algebra mit leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet .

In der Gruppentheorie ist eine maximale Untergruppe H einer Gruppe G eine echte Untergruppe , die von keiner echten Untergruppe K strikt enthalten ist . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Anders ausgedrückt: H ist ein maximales Element der partiell geordneten Menge der Untergruppen von G , die nicht gleich G sind . Maximale Untergruppen sind aufgrund ihrer direkten Verbindung zu primitiven Permutationsdarstellungen von G von Interesse . Sie werden auch im Rahmen der Theorie endlicher Gruppen intensiv untersucht : siehe beispielsweise die Frattini-Untergruppe , den Schnitt der maximalen Untergruppen.

In der Halbgruppentheorie ist eine maximale Untergruppe einer Halbgruppe S eine Untergruppe (d. h. eine Unterhalbgruppe, die unter der Halbgruppenoperation eine Gruppe bildet) von S , die nicht in einer anderen Untergruppe von S enthalten ist . Hierbei ist zu beachten, dass eine maximale Untergruppe nicht zwingend echt sein muss. Ist S also tatsächlich eine Gruppe, so ist ihre einzige maximale Untergruppe (als Halbgruppe) S selbst. Die Betrachtung von Untergruppen, insbesondere von maximalen Untergruppen, von Halbgruppen ermöglicht es häufig, gruppentheoretische Techniken in der Halbgruppentheorie anzuwenden. Es besteht eine Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen idempotenten Elementen einer Halbgruppe und maximalen Untergruppen der Halbgruppe: Jedes idempotente Element ist das neutrale Element einer eindeutigen maximalen Untergruppe.

Jede echte Untergruppe einer endlichen Gruppe ist in einer maximalen Untergruppe enthalten, da die echten Untergruppen bezüglich der Inklusion eine endliche partiell geordnete Menge bilden . Es gibt jedoch unendliche abelsche Gruppen , die keine maximalen Untergruppen enthalten, beispielsweise die Prüfergruppe .

Analog dazu heißt ein Normalteiler N von G ein maximaler Normalteiler (oder maximaler echter Normalteiler) von G, wenn N < G und es keinen Normalteiler K von G gibt , sodass N < K < G gilt. Daraus ergibt sich folgender Satz:

Satz : Ein Normalteiler N einer Gruppe G ist genau dann ein maximaler Normalteiler, wenn der Quotient G / N einfach ist .

Diese Hasse-Diagramme zeigen die Verbände von Untergruppen der symmetrischen Gruppe _S₄ , der Diedergruppe D₄ und C₂³ , der dritten ^direkten Potenz der zyklischen Gruppe C₂ _{. Die} maximalen Untergruppen sind über eine Kante des Hasse-Diagramms mit der Gruppe selbst (oben im Diagramm) verbunden _.