Erneuerungstheorie

Die Erneuerungstheorie ist ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie , das den Poisson-Prozess für beliebige Haltezeiten verallgemeinert . Anstelle von exponentialverteilten Haltezeiten kann ein Erneuerungsprozess beliebige unabhängige und identisch verteilte (IID) Haltezeiten mit endlichem Erwartungswert aufweisen. Ein Erneuerungs-Belohnungsprozess beinhaltet zusätzlich eine zufällige Folge von Belohnungen, die bei jeder Haltezeit anfallen. Diese Belohnungen sind IID, müssen aber nicht unabhängig von den Haltezeiten sein.

Ein Erneuerungsprozess besitzt asymptotische Eigenschaften, die dem starken Gesetz der großen Zahlen und dem zentralen Grenzwertsatz analog sind . Die Erneuerungsfunktion (erwartete Anzahl der Ankünfte) und die Belohnungsfunktion (erwarteter Belohnungswert) sind von zentraler Bedeutung in der Erneuerungstheorie. Die Erneuerungsfunktion erfüllt eine rekursive Integralgleichung, die Erneuerungsgleichung. Diese zentrale Erneuerungsgleichung liefert den Grenzwert der Faltung der Erneuerungsfunktion mit einer geeigneten nichtnegativen Funktion. Die Superposition von Erneuerungsprozessen kann als Spezialfall von Markov-Erneuerungsprozessen untersucht werden . ${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle m'(t)}$

Anwendungsgebiete umfassen die Berechnung der optimalen Strategie für den Austausch verschlissener Maschinen in einer Fabrik, den Vergleich der langfristigen Vorteile verschiedener Versicherungspolicen und die Modellierung der Übertragung von Infektionskrankheiten, wobei „eines der am weitesten verbreiteten Mittel zur Bestimmung der Reproduktionszahl die Verwendung der Erneuerungsgleichung ist“ ^{[ 1 ]} . Das Inspektionsparadoxon bezieht sich auf die Tatsache, dass die Beobachtung eines Erneuerungsintervalls zum Zeitpunkt t ein Intervall mit einem Mittelwert ergibt, der größer ist als der eines durchschnittlichen Erneuerungsintervalls.

Der Erneuerungsprozess ist eine Verallgemeinerung des Poisson-Prozesses . Im Wesentlichen handelt es sich beim Poisson-Prozess um einen kontinuierlichen Markov-Prozess auf den positiven ganzen Zahlen (der üblicherweise bei Null beginnt), bei dem die Haltezeiten an jeder Zahl unabhängig und exponentialverteilt sind , bevor zum nächsten Wert übergegangen wird . Bei einem Erneuerungsprozess müssen die Haltezeiten nicht exponentialverteilt sein; sie können vielmehr jede beliebige Verteilung auf den positiven Zahlen aufweisen, solange sie unabhängig und identisch verteilt ( iid ) sind und einen endlichen Mittelwert besitzen. ${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$

Sei eine Folge positiver, unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert.${\displaystyle (S_{i})_{i\geq 1}}$

${\displaystyle 0<\operatorname {E} [S_{i}]<\infty .}$

Wir bezeichnen die Zufallsvariable als die " -te Haltezeit". ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$

Definiere für jedes n > 0:

${\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i},}$

Jeder dieser Zeitpunkte wird als „ -te Sprungzeit“ bezeichnet, und die Intervalle werden als „Erneuerungsintervalle“ bezeichnet. ${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [J_{n},J_{n+1}]}$

Dann wird es durch eine Zufallsvariable gegeben. ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}$

Wo befindet sich die Indikatorfunktion?${\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {I} } _{\{J_{n}\leq t\}}={\begin{cases}1,&{\text{falls }}J_{n}\leq t\\0,&{\text{sonst}}\end{cases}}}$

${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$stellt die Anzahl der Sprünge dar, die bis zum Zeitpunkt t stattgefunden haben , und wird als Erneuerungsprozess bezeichnet.

Betrachtet man Ereignisse, die zu zufälligen Zeitpunkten auftreten, kann man die Haltezeiten als die zufällige Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen interpretieren. Modelliert der Erneuerungsprozess beispielsweise die Anzahl der Ausfälle verschiedener Maschinen, so entspricht die Haltezeit der Zeitspanne zwischen dem Ausfall einer Maschine und dem Ausfall einer weiteren. ${\displaystyle \{S_{i}:i\geq 1\}}$

Der Poisson-Prozess ist der einzige Erneuerungsprozess mit der Markov-Eigenschaft ^{[ 2 ]} , da die Exponentialverteilung die einzige stetige Zufallsvariable mit der Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit ist.

Sei eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ( Rewards ), die folgende Bedingung erfüllen: ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} |W_{i}|<\infty .\,}$

Dann die Zufallsvariable

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}$

wird als Erneuerungs- und Belohnungsprozess bezeichnet . Beachten Sie, dass im Gegensatz zu den anderen Variablen jede Variable sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann. ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

Die Zufallsvariable hängt von zwei Folgen ab: den Haltezeiten und den Belohnungen. Diese beiden Folgen müssen nicht unabhängig sein. Insbesondere kann sie eine Funktion von sein . ${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$

Im Kontext der obigen Interpretation der Haltezeiten als die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Fehlfunktionen einer Maschine können die "Belohnungen" (die in diesem Fall zufällig negativ sind) als die aufeinanderfolgenden Reparaturkosten betrachtet werden, die aufgrund der aufeinanderfolgenden Fehlfunktionen entstehen. ${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$

Eine alternative Analogie wäre die einer magischen Gans, die in regelmäßigen Abständen (Haltezeiten) Eier legt, die wie folgt verteilt sind : Manchmal legt sie goldene Eier mit zufälligem Gewicht, manchmal giftige Eier (ebenfalls mit zufälligem Gewicht), die eine verantwortungsvolle (und kostspielige) Entsorgung erfordern. Die „Belohnungen“ sind die aufeinanderfolgenden (zufälligen) finanziellen Verluste/Gewinne, die sich aus den aufeinanderfolgenden Eiern ( i = 1, 2, 3, ...) ergeben, und die gesamte finanzielle „Belohnung“ zum Zeitpunkt t wird erfasst . ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle Y_{t}}$

Wir definieren die Erneuerungsfunktion als den Erwartungswert der Anzahl der bis zu einem bestimmten Zeitpunkt beobachteten Sprünge : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}].,}$

Die Erneuerungsfunktion erfüllt

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$

Nachweisen

Das starke Gesetz der großen Zahlen für Erneuerungsprozesse impliziert ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$ Zum Beweis des elementaren Erneuerungssatzes genügt es zu zeigen, dass gleichmäßig integrierbar ist. ${\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}}$ Dazu betrachten wir einen verkürzten Erneuerungsprozess, dessen Haltezeiten durch definiert sind, wobei ein Punkt ist, sodass gilt, was für alle nichtdeterministischen Erneuerungsprozesse existiert. Dieser neue Erneuerungsprozess ist eine obere Schranke für und seine Erneuerungen können nur auf dem Verband auftreten . Darüber hinaus ist die Anzahl der Erneuerungen zu jedem Zeitpunkt geometrisch mit dem Parameter . Somit gilt: ${\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\operatorname {\mathbb {I} } \{S_{n}>a\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0<F(a)=p<1}$${\displaystyle {\overline {X}}_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{[at]}\operatorname {Geometric} (p)\\\operatorname {E} \left[\,{\overline {X_{t}}}^{2}\,\right]&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {\operatorname {E} \left[X_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Wir definieren die Belohnungsfunktion :

${\displaystyle g(t)=\operatorname {E} [Y_{t}].,}$

Die Belohnungsfunktion erfüllt

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\operatorname {E} [W_{1}]}{\operatorname {E} [S_{1}]}}.}$

Die Erneuerungsfunktion erfüllt

${\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}$

wobei die kumulative Verteilungsfunktion von und die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist. ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle f_{S}}$

Beweis [ 3 ]

Wir können die Erwartung hinsichtlich der ersten Haltezeit wiederholen: ${\displaystyle m(t)=\operatorname {E} [X_{t}]=\operatorname {E} [\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1})].\,}$ Aus der Definition des Erneuerungsprozesses ergibt sich Folgendes: ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} [X_{t-s}]\right).\,}$ Also ${\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&=\operatorname {E} [X_{t}]\\[12pt]&=\operatorname {E} [\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1})]\\[12pt]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {\mathbb {I} } _{\{t\geq s\}}\left(1+\operatorname {E} [X_{t-s}]\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}$ wie erforderlich.

Sei X ein Erneuerungsprozess mit Erneuerungsfunktion und Zwischenerneuerungsmittelwert . Sei eine Funktion, die Folgendes erfüllt: ${\displaystyle m(t)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow [0,\infty )}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }g(t)\,dt<\infty }$
• g ist monoton und nicht steigend.

Der zentrale Erneuerungssatz besagt, dass, wie folgt : ^{[ 4 ]}${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{t}g(t-x)m'(x)\,dx\rightarrow {\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx}$

Betrachtet man für jedes , so ergibt sich als Spezialfall der Erneuerungssatz: ^{[ 5 ].}${\displaystyle g(x)=\mathbb {I} _{[0,h]}(x)}$${\displaystyle h>0}$

${\displaystyle m(t+h)-m(t)\rightarrow {\frac {h}{\mu }}}$als${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

Das Ergebnis lässt sich mithilfe von Integralgleichungen oder durch ein Kopplungsargument beweisen . ^{[ 6 ]} Obwohl es sich um einen Spezialfall des zentralen Erneuerungssatzes handelt, kann es zur Herleitung des vollständigen Satzes verwendet werden, indem man Stufenfunktionen und anschließend aufsteigende Folgen von Stufenfunktionen betrachtet. ^{[ 4 ]}

Erneuerungsprozesse und Erneuerungs-Belohnungsprozesse besitzen Eigenschaften, die dem starken Gesetz der großen Zahlen analog sind und sich aus demselben Theorem ableiten lassen. Wenn ein Erneuerungsprozess und ein Erneuerungs-Belohnungsprozess ist, dann gilt: ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$^{[ 7 ]}

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\operatorname {E} [W_{1}]}$

Mit ziemlicher Sicherheit.

Nachweisen

Betrachten wir zunächst Folgendes . Per Definition gilt: ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}$ für alle und so ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}$ für alle t ≥ 0. Da wir nun Folgendes haben: ${\displaystyle 0<\operatorname {E} [S_{i}]<\infty }$ ${\displaystyle X_{t}\to \infty }$ mit nahezu absoluter Sicherheit (mit Wahrscheinlichkeit 1). Daher: ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}={\frac {J_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S_{i}\to \operatorname {E} [S_{1}]}$ mit ziemlicher Sicherheit (unter Anwendung des starken Gesetzes der großen Zahlen); analog dazu: ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}={\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}+1}}{\frac {X_{t}+1}{X_{t}}}={\frac {J_{n+1}}{n+1}}{\frac {n+1}{n}}\to \operatorname {E} [S_{1}]\cdot 1}$ Mit ziemlicher Sicherheit. Daher (da es zwischen den beiden Termen eingeschlossen ist) ${\displaystyle t/X_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{t}}X_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}}$ Mit ziemlicher Sicherheit. [ 4 ] Als Nächstes betrachten wir Folgendes : Wir haben ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {X_{t}}{t}}{\frac {1}{X_{t}}}Y_{t}\to {\frac {1}{\operatorname {E} [S_{1}]}}\cdot \operatorname {E} [W_{1}]}$ fast sicher (unter Verwendung des ersten Ergebnisses und des Gesetzes der großen Zahlen auf ). ${\displaystyle Y_{t}}$

Erneuerungsprozesse besitzen darüber hinaus eine Eigenschaft, die dem zentralen Grenzwertsatz analog ist : ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\frac {X_{t}-t/\mu }{\sqrt {t\sigma ^{2}/\mu ^{3}}}}\to {\mathcal {N}}(0,1)}$

Eine interessante Eigenschaft von Erneuerungsprozessen ist, dass, wenn wir eine vorbestimmte Zeit t abwarten und dann beobachten, wie groß das Erneuerungsintervall ist, das t enthält , wir erwarten sollten, dass es typischerweise größer ist als ein Erneuerungsintervall durchschnittlicher Größe.

Mathematisch ausgedrückt besagt das Inspektionsparadoxon : Für jedes t > 0 ist das Erneuerungsintervall, das t enthält, stochastisch größer als das erste Erneuerungsintervall. Das heißt, für alle x > 0 und für alle t > 0:

${\displaystyle \operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \operatorname {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$

Dabei ist F _{_S} die kumulative Verteilungsfunktion der unabhängig und identisch verteilten Wartezeiten S_{_i} . Ein anschauliches Beispiel ist das Wartezeitparadoxon bei Bussen : Bei einer gegebenen Zufallsverteilung der Busankünfte beobachtet der durchschnittliche Fahrgast an einer Bushaltestelle mehr Verspätungen als der durchschnittliche Busfahrer.

Die Lösung des Paradoxons besteht darin, dass unsere Stichprobenverteilung zum Zeitpunkt t eine Größenverzerrung aufweist (siehe Stichprobenverzerrung ), da die Wahrscheinlichkeit, dass ein Intervall ausgewählt wird, proportional zu seiner Größe ist. Ein Erneuerungsintervall von durchschnittlicher Größe weist jedoch keine Größenverzerrung auf.

Nachweisen

Man beachte, dass der letzte Sprungzeitpunkt vor t ist ; und dass das Erneuerungsintervall, das t enthält, ist . Dann ${\displaystyle J_{X_{t}}}$${\displaystyle S_{X_{t}+1}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x)&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\mid J_{X_{t}}=s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x|S_{X_{t}+1}>t-s)f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>x\,,\,S_{X_{t}+1}>t-s)}{\operatorname {P} (S_{X_{t}+1}>t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-F(\max\{x,t-s\})}{1-F(t-s)}}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},{\frac {1-F(t-s)}{1-F(t-s)}}\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\min \left\{{\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}},1\right\}f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds\\[12pt]&{}\geq \int _{0}^{\infty }(1-F(x))f_{J_{X_{t}}}(s)\,ds=1-F(x)=\operatorname {P} (S_{1}>x),\\[12pt]\end{aligned}}}$ da sowohl als auch für alle Werte von s größer oder gleich sind . ${\displaystyle {\frac {1-F(x)}{1-F(t-s)}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1-F(x)}$

Sofern es sich bei dem Erneuerungsprozess nicht um einen Poisson-Prozess handelt, ist die Superposition (Summe) zweier unabhängiger Erneuerungsprozesse kein Erneuerungsprozess. ^{[ 8 ]} Solche Prozesse lassen sich jedoch in einer größeren Klasse von Prozessen, den sogenannten Markov-Erneuerungsprozessen , beschreiben . ^{[ 9 ]} Die kumulative Verteilungsfunktion der ersten Zwischenereigniszeit im Superpositionsprozess ist gegeben durch ^{[ 10 ].}

${\displaystyle R(t)=1-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{k}}{\sum _{l=1}^{K}\alpha _{l}}}(1-R_{k}(t))\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }(1-R_{j}(u))\,{\text{d}}u}$

wobei R _k ( t ) und α _k  > 0 die kumulative Verteilungsfunktion der Zwischenereigniszeiten bzw. die Ankunftsrate des Prozesses k sind . ^{[ 11 ]}

Der Unternehmer Eric besitzt n Maschinen, deren Betriebsdauer jeweils gleichmäßig zwischen null und zwei Jahren verteilt ist. Eric kann jede Maschine bis zum Ausfall betreiben lassen, wobei die Ersatzkosten 2600 € betragen; alternativ kann er eine Maschine jederzeit, solange sie noch funktionsfähig ist, für 200 € ersetzen.

Was ist seine optimale Ersatzstrategie?

Lösung

Die Lebensdauer der n Maschinen lässt sich als n unabhängige, parallele Erneuerungs- und Belohnungsprozesse modellieren , daher genügt es, den Fall n = 1 zu betrachten . Dieser Prozess wird mit bezeichnet . Die aufeinanderfolgenden Lebensdauern S der Ersatzmaschinen sind unabhängig und identisch verteilt, sodass die optimale Strategie für alle Ersatzmaschinen im Prozess dieselbe ist. ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$ Wenn Eric zu Beginn der Lebensdauer einer Maschine beschließt, diese zum Zeitpunkt 0 < t < 2 zu ersetzen , die Maschine aber vorher ausfällt, ist die Lebensdauer S der Maschine gleichverteilt auf [0,  t ] und hat somit den Erwartungswert 0,5t . Die erwartete Gesamtlebensdauer der Maschine beträgt daher: ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [S]&=\operatorname {E} [S\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{fails before }}t]+\operatorname {E} [S\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} [{\text{does not fail before }}t]\\[6pt]&=0.5t({\frac {t}{2}})+t({\frac {2-t}{2}})\end{aligned}}}$ und die erwarteten Kosten W pro Maschine betragen: ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W]&=\operatorname {E} [W\mid {\text{fails before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{fails before }}t)+\operatorname {E} [W\mid {\text{does not fail before }}t]\cdot \operatorname {P} ({\text{does not fail before }}t)\\[6pt]&=2600({\frac {t}{2}})+200({\frac {2-t}{2}})=1200t+200.\end{aligned}}}$ Nach dem starken Gesetz der großen Zahlen betragen seine langfristigen durchschnittlichen Kosten pro Zeiteinheit also: ${\displaystyle {\frac {1}{t}}Y_{t}\simeq {\frac {\operatorname {E} [W]}{\operatorname {E} [S]}}={\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}}$ dann Ableiten nach t : ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {4(1200t+200)}{t^{2}+4t-2t^{2}}}=4{\frac {(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)}{(t^{2}+4t-2t^{2})^{2}}},}$ Dies impliziert, dass die Wendepunkte folgende Bedingung erfüllen: ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(4t-t^{2})(1200)-(4-2t)(1200t+200)=4800t-1200t^{2}-4800t-800+2400t^{2}+400t\\[6pt]&=-800+400t+1200t^{2},\end{aligned}}}$ und somit ${\displaystyle 0=3t^{2}+t-2=(3t-2)(t+1).}$ Wir betrachten die einzige Lösung t im Intervall [0, 2]: t = 2/3. Dies ist tatsächlich ein Minimum (und kein Maximum), da die Kosten pro Zeiteinheit gegen unendlich streben, wenn t gegen null strebt. Das bedeutet, dass die Kosten mit zunehmendem t sinken , bis zu dem Punkt 2/3, an dem sie wieder ansteigen.

• Cox, David (1970). Erneuerungstheorie . London: Methuen & Co. S. 142. ISBN 0-412-20570-XDie
• Doob, JL (1948). „Erneuerungstheorie aus der Sicht der Wahrscheinlichkeitstheorie“ (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 63 (3): 422–438 . doi : 10.2307/1990567 . JSTOR  1990567 .
• Feller, William (1971). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen . Band 2 (zweite Auflage). Wiley.
• Grimmett, G. R .; Stirzaker, D. R. (1992). Wahrscheinlichkeitstheorie und Zufallsprozesse (2. Aufl.). Oxford University Press. ISBN 0-19-857222-0Die
• Smith, Walter L. (1958). „Erneuerungstheorie und ihre Auswirkungen“. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 20 ( 2): 243–302 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1958.tb00294.x . JSTOR  2983891 .
• Wanli Wang, Johannes HP Schulz, Weihua Deng und Eli Barkai (2018). „Erneuerungstheorie mit Verweilzeiten mit dicken Rändern: Typisch versus selten“. Phys. Rev. E 98 ( 4) 042139. arXiv : 1809.05856 . Bibcode : 2018PhRvE..98d2139W . doi : 10.1103/PhysRevE.98.042139 . S2CID  54727926 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)