Abrollkipper

Der Roll-off beschreibt die Steilheit einer Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Frequenz , insbesondere in der Analyse elektrischer Netzwerke und ganz besonders bei Filterschaltungen im Übergangsbereich zwischen Durchlass- und Sperrbereich . Er wird typischerweise auf die Einfügungsdämpfung des Netzwerks angewendet, kann aber prinzipiell auf jede relevante Frequenzfunktion und jede Technologie, nicht nur auf die Elektronik, angewendet werden. Üblicherweise wird der Roll-off als Funktion der logarithmischen Frequenz gemessen; daher sind die Einheiten des Roll-offs entweder Dezibel pro Dekade (dB/Dekade), wobei eine Dekade einer Verzehnfachung der Frequenz entspricht, oder Dezibel pro Oktave (dB/Oktave), wobei eine Oktave einer Verdopplung der Frequenz entspricht.

Das Konzept des Roll-offs beruht darauf, dass in vielen Netzwerken der Roll-off bei Frequenzen weit entfernt von der Grenzfrequenz der Frequenzkurve einem konstanten Gradienten entgegenwirkt . Der Roll-off ermöglicht es, die Grenzfrequenzeigenschaften eines solchen Filternetzwerks auf eine einzige Zahl zu reduzieren. Es ist zu beachten, dass der Roll-off sowohl bei fallenden als auch bei steigenden Frequenzen auftreten kann, abhängig von der Bandbreite des betrachteten Filters: Beispielsweise fällt ein Tiefpassfilter mit steigender Frequenz ab, während ein Hochpassfilter oder die untere Sperrgrenze eines Bandpassfilters mit fallender Frequenz abfällt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit beschreibt dieser Artikel nur Tiefpassfilter. Dies ist analog zu Prototypfiltern zu verstehen ; dieselben Prinzipien lassen sich auch auf Hochpassfilter anwenden, indem Formulierungen wie „oberhalb der Grenzfrequenz“ und „unterhalb der Grenzfrequenz“ entsprechend angepasst werden.

Ein einfaches Netzwerk erster Ordnung , wie beispielsweise ein RC-Schaltkreis, weist eine Flankensteilheit von 20 dB/Dekade auf. Dies entspricht etwas mehr als 6 dB/Oktave und ist die übliche Beschreibung für diese Flankensteilheit. Dies lässt sich anhand der Spannungsübertragungsfunktion A des RC -Netzwerks zeigen: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

Durch Frequenzskalierung auf ω _c  = 1/ RC  = 1 und Bildung des Leistungsverhältnisses ergibt sich:

${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$

In Dezibel ausgedrückt entspricht dies:

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

oder als Verlust ausgedrückt,

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

Bei Frequenzen deutlich oberhalb von ω = 1 vereinfacht sich dies zu:

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

Der Roll-off-Wert wird wie folgt angegeben:

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \over \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/interval_{2,1}} }$

Seit einem Jahrzehnt ist dies der Fall;

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/decade} }$

und für eine Oktave,

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 6.0206\ \mathrm {dB/8ve} }$

Ein Netzwerk höherer Ordnung lässt sich durch Kaskadierung von Abschnitten erster Ordnung aufbauen. Wird zwischen jedem Abschnitt ein Pufferverstärker mit Einheitsverstärkung platziert (oder eine andere aktive Topologie verwendet), findet keine Wechselwirkung zwischen den Stufen statt. In diesem Fall ergibt sich für n identische, kaskadierte Abschnitte erster Ordnung die Spannungsübertragungsfunktion des gesamten Netzwerks wie folgt: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

Folglich ergibt sich der Gesamtroll-off wie folgt:

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=20n{\text{ dB/Dekade}}\approx 6n{\text{ dB/Oktave}}}$

Ein ähnlicher Effekt lässt sich im digitalen Bereich erzielen , indem man denselben Filteralgorithmus wiederholt auf das Signal anwendet. ^{[ 2 ]}

Die Berechnung der Übertragungsfunktion wird etwas komplizierter, wenn die Filterabschnitte nicht identisch sind oder die gängige Leiterstruktur zur Realisierung des Filters verwendet wird. In einem Leiterfilter beeinflusst jeder Abschnitt seine direkten Nachbarn und einen geringeren Einfluss auf weiter entfernte Abschnitte. Daher ist die Übertragungsfunktion selbst bei identischen Abschnitten keine einfache A ^_n -Funktion. Bei einigen Filterklassen, wie dem Butterworth-Filter , steigt die Einfügungsdämpfung weiterhin monoton mit der Frequenz an und konvergiert asymptotisch schnell gegen einen Abfall von 20 n  dB/Dekade. Bei anderen Filterklassen, wie dem Chebyshev- oder elliptischen Filter, ist der Abfall nahe der Grenzfrequenz deutlich steiler, und die Übertragungsfunktion ist ansonsten alles andere als monoton. Theoretisch konvergieren jedoch alle Filterklassen schließlich bei einer beliebig hohen Frequenz gegen einen Abfall von 20 n  dB/Dekade. In vielen Anwendungen tritt dies jedoch in einem für die Anwendung irrelevanten Frequenzband auf, und parasitäre Effekte können schon lange vorher dominieren. ^{[ 3 ]}

Filter mit steilem Abfall wurden ursprünglich entwickelt, um Übersprechen zwischen benachbarten Kanälen in FDM- Telefonsystemen zu verhindern. ^{[ 4 ]} Auch bei Frequenzweichen für Lautsprecher ist der Abfall wichtig : Hier kommt es weniger auf einen steilen Abfall an, sondern vielmehr darauf, dass die Abfallkurven der Hoch- und Tieftonbereiche symmetrisch und komplementär sind. Ein ungewöhnlicher Bedarf an steilem Abfall besteht bei EEG- Geräten. Hier begnügen sich die Filter meist mit einem Standardabfall von 20 dB/Dekade; einige Geräte bieten jedoch einen zuschaltbaren 35-Hz-Filter im Hochtonbereich mit steilerem Abfall, um durch Muskelaktivität erzeugte Störungen herauszufiltern. ^{[ 5 ]}

• Bode-Diagramm

• J. William Helton, Orlando Merino, Klassische Regelungstechnik mit H∞-Methoden: Eine Einführung in den Entwurf , S. 23–25, Society for Industrial and Applied Mathematics 1998 ISBN 0-89871-424-9Die
• Todd C. Handy, Ereigniskorrelierte Potenziale: Ein Methodenhandbuch , S. 89–92, 107–109, MIT Press 2004 ISBN 0-262-08333-7