Butterworth-Filter

Der Butterworth-Filter ist ein Signalverarbeitungsfilter, der so konstruiert ist, dass sein Frequenzgang im Durchlassbereich möglichst flach verläuft. Er wird auch als maximal flacher Amplitudenfilter bezeichnet . Erstmals beschrieben wurde er 1930 von dem britischen Ingenieur und Physiker Stephen Butterworth in seiner Arbeit „On the Theory of Filter Amplifiers“. ^{[ 1 ]}

Butterworth war bekannt dafür, äußerst komplexe mathematische Probleme zu lösen, die als „unlösbar“ galten. Damals erforderte die Filterentwicklung aufgrund der Beschränkungen der gängigen Theorie ein hohes Maß an Erfahrung seitens der Entwickler . Der Filter fand erst über 30 Jahre nach seiner Veröffentlichung weite Verbreitung. Butterworth erklärte dazu:

„Ein idealer elektrischer Filter sollte nicht nur die unerwünschten Frequenzen vollständig ausblenden, sondern auch eine gleichmäßige Empfindlichkeit für die gewünschten Frequenzen aufweisen.“

Ein solch idealer Filter ist nicht realisierbar, doch Butterworth zeigte, dass sich mit zunehmender Anzahl von Filterelementen mit den richtigen Werten immer genauere Annäherungen erzielen lassen. Damals erzeugten Filter eine erhebliche Welligkeit im Durchlassbereich, und die Wahl der Bauteilwerte war stark interaktiv. Butterworth zeigte, dass ein Tiefpassfilter entworfen werden kann, dessen Verstärkung als Funktion der Frequenz (d. h. die Amplitude seines Frequenzgangs ) wie folgt lautet:

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

Dabei ist ω die Kreisfrequenz in Radiant pro Sekunde und N die Polzahl des Filters – gleich der Anzahl der reaktiven Elemente in einem passiven Filter. Die Grenzfrequenz (der Halbwertspunkt von etwa −3 dB bzw. eine Spannungsverstärkung von 1/ √2 ≈ 0,7071  ) ist auf ω = 1 Radiant pro Sekunde normiert. Butterworth behandelte in seiner Arbeit nur Filter mit gerader Polzahl, obwohl sich Filter ungerader Ordnung durch Hinzufügen eines einpoligen Filters am Ausgang des Filters gerader Ordnung realisieren lassen. Seine Filter höherer Ordnung baute er aus zweipoligen Filtern auf, die durch Röhrenverstärker getrennt waren. Die Frequenzgänge von 2-, 4-, 6-, 8- und 10-poligen Filtern sind in seiner Originalgrafik als A, B, C, D und E dargestellt. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$

Butterworth löste die Gleichungen für Zwei- und Vierpolfilter und zeigte, wie sich letztere durch Röhrenverstärker kaskadieren ließen . Dies ermöglichte den Bau von Filtern höherer Ordnung trotz Induktivitätsverlusten . 1930 waren verlustarme Kernmaterialien wie Molypermalloy noch nicht entdeckt, und luftgefüllte Audio-Induktivitäten wiesen relativ hohe Verluste auf. Butterworth entdeckte, dass sich die Bauteilwerte des Filters anpassen ließen, um den Wicklungswiderstand der Induktivitäten zu kompensieren.

Er verwendete Spulenkörper mit einem Durchmesser von 32 mm (1,25 Zoll) und einer Länge von 76 mm (3 Zoll) mit Steckanschlüssen. Die zugehörigen Kondensatoren und Widerstände waren im Inneren der Spule untergebracht. Die Spule bildete einen Teil des Anodenwiderstands. Pro Vakuumröhre wurden zwei Pole verwendet, und die Röhre war über eine RC-Kopplung mit dem Gitter der nachfolgenden Röhre verbunden.

Butterworth zeigte auch, dass der grundlegende Tiefpassfilter so modifiziert werden kann, dass er Tiefpass- , Hochpass- , Bandpass- und Bandsperrfunktionalität bietet .

Der Frequenzgang des Butterworth-Filters ist im Durchlassbereich maximal flach (d. h. ohne Welligkeit ) und fällt im Sperrbereich gegen null ab . ^{[ 2 ]} In einem logarithmischen Bode-Diagramm zeigt sich ein linearer Abfall gegen minus unendlich. Der Frequenzgang eines Filters erster Ordnung fällt mit −6 dB pro Oktave (−20 dB pro Dekade ) ab (alle Tiefpassfilter erster Ordnung haben denselben normierten Frequenzgang). Ein Filter zweiter Ordnung fällt mit −12 dB pro Oktave ab, ein Filter dritter Ordnung mit −18 dB usw. Butterworth-Filter weisen im Gegensatz zu anderen Filtertypen, die im Durchlass- oder Sperrbereich nicht-monotone Welligkeit zeigen, eine monoton veränderliche Amplitudenfunktion auf. ${\displaystyle \omega }$

Im Vergleich zu einem Chebyshev -Filter vom Typ I/II oder einem elliptischen Filter weist der Butterworth-Filter einen flacheren Abfall auf und benötigt daher eine höhere Ordnung, um eine bestimmte Sperrbereichsspezifikation zu erfüllen . Allerdings weisen Butterworth-Filter im Durchlassbereich eine linearere Phasenantwort auf als Chebyshev-Filter vom Typ I/II und elliptische Filter.

Die Übertragungsfunktion eines Butterworth-Tiefpassfilters dritter Ordnung, wie in der Abbildung rechts dargestellt, sieht folgendermaßen aus:

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

Ein einfaches Beispiel für einen Butterworth-Filter ist der in der Abbildung rechts dargestellte Tiefpassfilter dritter Ordnung mit  = 4/3 F,  = 1 Ω,  = 3/2 H und  = 1/2 H. ^{[ 3 ]} Setzt man die Impedanz der Kondensatoren mit und die Impedanz der Induktivitäten mit , wobei die komplexe Frequenz ist, so ergibt sich aus den Schaltungsgleichungen die Übertragungsfunktion für dieses Bauelement: ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle R_{4}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1/(Cs)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Ls}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

Die Größe des Frequenzgangs (Verstärkung) ist gegeben durch ${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

erhalten von

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

und die Phase ist gegeben durch

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

Die Gruppenlaufzeit ist definiert als die negative Ableitung der Phasenverschiebung nach der Kreisfrequenz und ein Maß für die Signalverzerrung, die durch Phasenunterschiede bei verschiedenen Frequenzen hervorgerufen wird. Die Verstärkung und die Laufzeit dieses Filters sind im Diagramm links dargestellt. Die Verstärkungskurve weist weder im Durchlass- noch im Sperrbereich Welligkeiten auf.

Im zweiten Diagramm rechts ist der Logarithmus des Betrags der Übertragungsfunktion im komplexen Frequenzbereich dargestellt. Die Funktion wird durch die drei Pole in der linken Hälfte der komplexen Frequenzebene definiert.${\displaystyle H(s)}$

Diese sind auf einem Kreis mit Radius 1 angeordnet , der symmetrisch zur reellen Achse liegt. Die Verstärkungsfunktion besitzt drei weitere Pole in der rechten Halbebene, um den Kreis zu vervollständigen. ${\displaystyle s}$

Durch Ersetzen jeder Induktivität durch einen Kondensator und jedes Kondensators durch eine Induktivität erhält man einen Butterworth-Hochpassfilter.

Ein Butterworth-Bandpassfilter entsteht durch das Hinzufügen eines Kondensators in Reihe zu jeder Spule und einer Spule parallel zu jedem Kondensator, wodurch Resonanzkreise gebildet werden. Die Werte der einzelnen Bauteile müssen so gewählt werden, dass sie mit den vorhandenen Bauteilen bei der gewünschten Frequenz in Resonanz treten.

Ein Butterworth-Bandsperrfilter entsteht durch das Parallelschalten eines Kondensators zu jeder Spule und das Induktivitäts-Serienschaltbild zu jedem Kondensator, wodurch Resonanzkreise gebildet werden. Die Werte der einzelnen Bauteile müssen so gewählt werden, dass sie mit den vorhandenen Bauteilen bei der zu sperrenden Frequenz in Resonanz treten.

Wie bei allen Filtern ist der typische Prototyp der Tiefpassfilter, der zu einem Hochpassfilter modifiziert oder mit anderen in Reihe geschaltet werden kann, um Bandpass- und Bandsperrfilter sowie höherwertige Versionen davon zu bilden.

Die Verstärkung eines Butterworth-Tiefpassfilters n-ter Ordnung wird durch die Übertragungsfunktion wie folgt ausgedrückt:${\displaystyle G(\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

Hierbei ist die Ordnung des Filters, die Grenzfrequenz (ungefähr die −3 dB Frequenz) und die Gleichstromverstärkung (Verstärkung bei der Frequenz Null). ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$

Man erkennt, dass die Verstärkung mit zunehmendem Wert von einer Rechteckfunktion wird und Frequenzen unterhalb von mit Verstärkung durchgelassen werden , während Frequenzen oberhalb von unterdrückt werden. Für kleinere Werte von ist die Grenzfrequenz weniger scharf. ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle n}$

Wir möchten die Übertragungsfunktion bestimmen, wobei (aus der Laplace-Transformation ). Da und, als allgemeine Eigenschaft der Laplace-Transformationen an den Stellen , , gilt: Wenn wir so wählen, dass: ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$${\displaystyle s=j\omega }$${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

Dann erhalten wir mit den Frequenzgang des Butterworth-Filters. ${\displaystyle s=j\omega }$

Die Pole dieses Ausdrucks liegen auf einem Kreis mit Radius r in äquidistanten Punkten und sind symmetrisch zur negativen reellen Achse. Aus Stabilitätsgründen wird die Übertragungsfunktion so gewählt, dass sie nur die Pole in der negativen reellen Halbebene von enthält . Der -te Pol ist gegeben durch ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

und somit

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

Die Übertragungsfunktion (oder Systemfunktion) kann mithilfe dieser Pole wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$Die

wobei es sich um das Produkt eines Folgenoperators handelt . Der Nenner ist ein Butterworth-Polynom in . ${\displaystyle \textstyle {\prod }}$${\displaystyle s}$

Die Butterworth-Polynome können wie oben in komplexer Form geschrieben werden, werden aber üblicherweise mit reellen Koeffizienten geschrieben, indem man Polpaare multipliziert, die komplex konjugiert sind, wie z. B. und . Die Polynome werden durch die Normierung normalisiert . Die normalisierten Butterworth-Polynome haben dann die allgemeine Produktform . ${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

Die Faktoren der Butterworth-Polynome der Ordnung 1 bis 10 sind in der folgenden Tabelle (auf sechs Dezimalstellen gerundet) angegeben.

N Faktoren von Butterworth-Polynomen${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+1.414214s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+0.765367s+1)(s^{2}+1.847759s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.618034s+1)(s^{2}+1.618034s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+0.517638s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.931852s+1)}$ 7 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.445042s+1)(s^{2}+1.246980s+1)(s^{2}+1.801938s+1)}$ 8 ${\displaystyle (s^{2}+0.390181s+1)(s^{2}+1.111140s+1)(s^{2}+1.662939s+1)(s^{2}+1.961571s+1)}$ 9 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.347296s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.532089s+1)(s^{2}+1.879385s+1)}$ 10 ${\displaystyle (s^{2}+0.312869s+1)(s^{2}+0.907981s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.782013s+1)(s^{2}+1.975377s+1)}$

Die Faktoren der Butterworth-Polynome der Ordnung 1 bis 6 sind in der folgenden Tabelle aufgeführt (exakt).

N Faktoren von Butterworth-Polynomen${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+\varphi ^{-1}s+1)(s^{2}+\varphi s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1)}$

wobei der griechische Buchstabe Phi ( oder ) den Goldenen Schnitt darstellt . Es handelt sich um eine irrationale Zahl , die eine Lösung der quadratischen Gleichung mit dem Wert ^{[ 4 ] [ 5 ] ist.}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$( OEIS :  A001622 )

Das n -te Butterworth-Polynom kann auch als Summe geschrieben werden

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

mit seinen Koeffizienten, die durch die Rekursionsformel ^{[ 6 ] [ 7 ] gegeben sind}${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

und nach der Produktformel

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

Wo

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

Weiterhin sind die gerundeten Koeffizienten der ersten 10 Butterworth-Polynome :${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle B_{n}(s)}$

Butterworth-Koeffizienten auf vier Dezimalstellen gerundet ${\displaystyle a_{k}}$

N	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle a_{5}}$	${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle a_{7}}$	${\displaystyle a_{8}}$	${\displaystyle a_{9}}$	${\displaystyle a_{10}}$
1	1	1
2	1	1,4142	1
3	1	2	2	1
4	1	2,6131	3,4142	2,6131	1
5	1	3,2361	5,2361	5,2361	3,2361	1
6	1	3,8637	7,4641	9.1416	7,4641	3,8637	1
7	1	4,4940	10,0978	14,5918	14,5918	10,0978	4,4940	1
8	1	5,1258	13.1371	21,8462	25,6884	21,8462	13.1371	5,1258	1
9	1	5,7588	16,5817	31.1634	41,9864	41,9864	31.1634	16,5817	5,7588	1
10	1	6,3925	20,4317	42,8021	64,8824	74,2334	64,8824	42,8021	20,4317	6,3925	1

Die normierten Butterworth-Polynome können verwendet werden, um die Übertragungsfunktion für jede Grenzfrequenz eines Tiefpassfilters zu bestimmen , wie folgt: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$, Wo${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

Eine Transformation in andere Bandformen ist ebenfalls möglich, siehe Prototypfilter .

Unter den Annahmen und lässt sich die Ableitung der Verstärkung nach der Frequenz wie folgt darstellen: ${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

Da die Verstärkung stets positiv ist, nimmt sie für alle Werte monoton ab . Die Verstärkungsfunktion des Butterworth-Filters weist daher keine Welligkeit auf. Die Reihenentwicklung der Verstärkung lautet: ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

Anders ausgedrückt: Alle Ableitungen der Verstärkung bis einschließlich der zweiten Ableitung sind an der Stelle null , was zu „maximaler Flachheit“ führt. Beschränkt sich die Monotonieanforderung auf den Durchlassbereich und sind Welligkeiten im Sperrbereich zulässig, so lässt sich ein Filter gleicher Ordnung, wie beispielsweise der inverse Tschebyscheff-Filter , entwerfen, der im Durchlassbereich flacher ist als der „maximal flache“ Butterworth-Filter. ${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega =0}$

Unter der Annahme , dass , ist die Steigung des Logarithmus des Gewinns für große Werte von${\displaystyle \omega _{c}=1}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n.}$

In Dezibel ausgedrückt beträgt der Hochfrequenzabfall daher 20  dB/Dekade bzw. 6  dB/Oktave (der Faktor 20 wird verwendet, da die Leistung proportional zum Quadrat der Spannungsverstärkung ist; siehe 20-Log-Regel ). ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Um einen Butterworth-Filter mit der minimal erforderlichen Anzahl an Elementen zu entwerfen, kann die minimale Ordnung des Butterworth-Filters wie folgt berechnet werden. ^{[ 8 ]}

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {\log {{\bigr (}{\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}{\bigr )}}{2\log {(\omega _{s}/\omega _{p})}}}\right\rceil }$

Wo:

${\displaystyle \omega _{p}}$und sind die Durchlassbereichsfrequenz und die Dämpfung bei dieser Frequenz in dB.${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$und sind die Sperrbandfrequenz und die Dämpfung bei dieser Frequenz in dB.${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$ist die minimale Polzahl, die Ordnung des Filters.

${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$bezeichnet die Aufrundungsfunktion .

Die Grenzfrequenzdämpfung von Butterworth-Filtern ist üblicherweise auf −3,01 dB festgelegt. Soll eine andere Dämpfung an der Grenzfrequenz verwendet werden, kann der folgende Faktor auf jeden Pol angewendet werden. Die Pole liegen dann weiterhin auf einem Kreis, der Radius beträgt jedoch nicht mehr eins. ^{[ 8 ]} Die Gleichung für die Grenzfrequenzdämpfung lässt sich durch algebraische Umformung der oben angegebenen Butterworth-Gleichung herleiten. ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}\times (10^{\alpha /10}-1)^{{-1}/{2n}}&\qquad {\text{For 0}}\leq \alpha <\infty \end{aligned}}}$$

Wo:

${\displaystyle p_{A}}$Der versetzte Mast wird so positioniert, dass die gewünschte Grenzdämpfung erreicht wird.

${\displaystyle p_{1}}$ist ein −3,01 dB Grenzfrequenzpol, der auf dem Einheitskreis liegt.

${\displaystyle \alpha }$ist die gewünschte Dämpfung bei der Grenzfrequenz in dB (1 dB, 10 dB usw.).

${\displaystyle n}$ist die Anzahl der Pole, die Ordnung des Filters.

Für die Realisierung eines linearen Analogfilters stehen verschiedene Filtertopologien zur Verfügung . Die am häufigsten verwendete Topologie für eine passive Realisierung ist die Cauer-Topologie, während für eine aktive Realisierung die Sallen-Key-Topologie am häufigsten zum Einsatz kommt.

Die Cauer-Topologie verwendet passive Bauelemente (Parallelkondensatoren und Serieninduktivitäten) zur Realisierung eines linearen Analogfilters. Ein Butterworth-Filter mit gegebener Übertragungsfunktion kann mithilfe einer Cauer-1-Form realisiert werden. Das k -te Element ist gegeben durch ^{[ 10 ].}

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

Der Filter kann, falls gewünscht, mit einer Reiheninduktivität beginnen. In diesem Fall sind die L _{_k} ungerade und die C _k gerade . Diese Formeln lassen sich sinnvoll kombinieren, indem man sowohl L _{_k} als auch C_{_k} gleich g_{_k} setzt . Das heißt, g_{_k} ist die durch s geteilte Immittanz .

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

Diese Formeln gelten für ein doppelt abgeschlossenes Filter (d. h. Quell- und Lastimpedanz sind beide gleich eins) mit ω_{_c} = 1. Dieses Prototypfilter kann für andere Impedanz- und Frequenzwerte skaliert werden. Für ein einfach abgeschlossenes Filter (d. h. eines, das von einer idealen Spannungs- oder Stromquelle angesteuert wird ) ergeben sich die Elementwerte aus ^{[ 3 ].}

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

Wo

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

Und

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

Spannungsgesteuerte Filter benötigen ein Serienelement, stromgesteuerte Filter hingegen ein Parallelelement. Diese Bauformen sind nützlich für die Entwicklung von Diplexern und Multiplexern . ^{[ 3 ]}

Die Sallen-Key-Topologie verwendet aktive und passive Bauelemente (nichtinvertierende Puffer, üblicherweise Operationsverstärker , Widerstände und Kondensatoren) zur Realisierung eines linearen Analogfilters. Jede Sallen-Key-Stufe implementiert ein konjugiertes Polpaar; der Gesamtfilter wird durch die Reihenschaltung aller Stufen realisiert. Existiert ein reeller Pol (falls n ungerade ist), muss dieser separat, üblicherweise als RC-Schaltung , realisiert und mit den aktiven Stufen kaskadiert werden. ${\displaystyle n}$

Für die rechts abgebildete Sallen-Key-Schaltung zweiter Ordnung lautet die Übertragungsfunktion:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

Wir möchten, dass der Nenner einer der quadratischen Terme eines Butterworth-Polynoms ist. Unter der Annahme, dass , bedeutet dies, dass ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

Und

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

Damit bleiben zwei undefinierte Komponentenwerte übrig, die beliebig gewählt werden können.

Butterworth-Tiefpassfilter mit Sallen-Key-Topologie dritter und vierter Ordnung, die nur einen Operationsverstärker verwenden, werden von Huelsman ^{[ 11 ] [ 12 ]} beschrieben , und weitere Butterworth-Filter mit einem einzigen Verstärker, auch höherer Ordnung, werden von Jurišić et al. ^{[ 13 ]} angegeben.

Digitale Implementierungen von Butterworth- und anderen Filtern basieren häufig auf der bilinearen Transformation oder der angepassten Z-Transformation – zwei unterschiedlichen Methoden zur Diskretisierung eines analogen Filterdesigns. Bei Allpolfiltern wie dem Butterworth-Filter ist die angepasste Z-Transformation äquivalent zur Impulsinvarianzmethode . Digitale Filter höherer Ordnung reagieren empfindlich auf Quantisierungsfehler und werden daher oft als kaskadierte Biquad-Sektionen berechnet , zuzüglich einer Sektion erster oder dritter Ordnung für ungerade Ordnungen.

Eigenschaften des Butterworth-Filters sind:

• Monotone Amplitudenantwort sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich
• Steiler Abfall um die Grenzfrequenz, der sich mit zunehmender Ordnung verbessert.
• Erhebliches Überschwingen und Nachschwingen im Sprungantwortverhalten , was sich mit zunehmender Ordnung verschlimmert.
• Leicht nichtlineares Phasenverhalten
• Gruppenverzögerung weitgehend frequenzabhängig

Hier ist eine Abbildung, die die Verstärkung eines zeitdiskreten Butterworth-Filters neben anderen gängigen Filtertypen zeigt. Alle diese Filter sind fünfter Ordnung.

Der Butterworth-Filter hat im Vergleich zum Chebyshev-Filter oder dem elliptischen Filter einen langsameren Abfall um die Grenzfrequenz , jedoch ohne Welligkeit.

• Bessel-Filter
• Tschebyscheff-Filter
• Kammfilter
• Elliptischer Filter
• Filterdesign