Grobes Set

In der Informatik bezeichnet der Begriff „Rough Set“ , erstmals beschrieben vom polnischen Informatiker Zdzisław I. Pawlak , eine formale Approximation einer klassischen Menge (d. h. einer konventionellen Menge) durch ein Paar von Mengen, die die untere und die obere Approximation der ursprünglichen Menge darstellen. In der Standardversion der Rough-Set-Theorie nach Pawlak (1991) ^{[ 1 ]} sind die unteren und oberen Approximationsmengen klassische Mengen; in anderen Varianten können die approximierenden Mengen jedoch auch Fuzzy-Mengen sein .

Der folgende Abschnitt bietet einen Überblick über die Grundzüge der Theorie der rauen Mengen, wie sie ursprünglich von Zdzisław I. Pawlak vorgeschlagen wurde , sowie über einige ihrer wichtigsten Definitionen. Formalere Eigenschaften und Grenzen rauer Mengen finden sich in Pawlak (1991) und den dort zitierten Referenzen. Die ursprüngliche Theorie der rauen Mengen wird zur Abgrenzung von neueren Erweiterungen und Verallgemeinerungen auch als „Pawlak-Rough-Sets“ oder „klassische Rough Sets“ bezeichnet.

Sei ein Informationssystem ( Attribut-Wert-System ), wobei eine nichtleere, endliche Menge von Objekten (das Universum) und eine nichtleere, endliche Menge von Attributen ist, sodass für jedes die Menge der Werte ist, die dieses Attribut annehmen kann . Die Informationstabelle ordnet jedem Attribut und Objekt im Universum einen Wert aus zu . ${\displaystyle I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}}$${\displaystyle a\in \mathbb {A} }$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {U} }$

Zu jeder Zahl gibt es eine zugehörige Äquivalenzrelation : ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$

${\displaystyle \mathrm {IND} (P)=\left\{(x,y)\in \mathbb {U} ^{2}\mid \forall a\in P,a(x)=a(y)\right\}}$

Die Relation wird als -Ununterscheidbarkeitsrelation bezeichnet . Die Partition von ist eine Familie aller Äquivalenzklassen von und wird mit (oder ) bezeichnet. ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle \mathbb {U} /\mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

Wenn , dann sind und anhand von Attributen von nicht unterscheidbar . ${\displaystyle (x,y)\in \mathrm {IND} (P)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$

Die Äquivalenzklassen der -Ununterscheidbarkeitsrelation werden mit bezeichnet . ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$

Betrachten Sie beispielsweise die folgende Informationstabelle:

Beispielinformationssystem

Objekt	${\displaystyle P_{1}}$	${\displaystyle P_{2}}$	${\displaystyle P_{3}}$	${\displaystyle P_{4}}$	${\displaystyle P_{5}}$
${\displaystyle O_{1}}$	1	2	0	1	1
${\displaystyle O_{2}}$	1	2	0	1	1
${\displaystyle O_{3}}$	2	0	0	1	0
${\displaystyle O_{4}}$	0	0	1	2	1
${\displaystyle O_{5}}$	2	1	0	2	1
${\displaystyle O_{6}}$	0	0	1	2	2
${\displaystyle O_{7}}$	2	0	0	1	0
${\displaystyle O_{8}}$	0	1	2	2	1
${\displaystyle O_{9}}$	2	1	0	2	2
${\displaystyle O_{10}}$	2	0	0	1	0

Wenn wir alle Attribute berücksichtigen, sehen wir, dass wir die folgenden sieben Äquivalenzklassen haben: ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

Die beiden Objekte der ersten Äquivalenzklasse, , lassen sich daher anhand der verfügbaren Attribute nicht voneinander unterscheiden, ebenso wenig wie die drei Objekte der zweiten Äquivalenzklasse, . Die verbleibenden fünf Objekte sind jeweils von allen anderen Objekten unterscheidbar. ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$

Es ist offensichtlich, dass unterschiedliche Auswahlen von Attributteilmengen im Allgemeinen zu unterschiedlichen Ununterscheidbarkeitsklassen führen. Wählt man beispielsweise nur das Attribut aus, erhält man die folgende, wesentlich gröbere Äquivalenzklassenstruktur: ${\displaystyle P=\{P_{1}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{5},O_{7},O_{9},O_{10}\}\\\{O_{4},O_{6},O_{8}\}\end{cases}}}$

Sei eine Zielmenge, die wir mithilfe der Attributmenge darstellen möchten ; das heißt, uns wird mitgeteilt, dass eine beliebige Menge von Objekten eine einzige Klasse bildet, und wir möchten diese Klasse (d. h. diese Teilmenge) mithilfe der durch die Attributmenge induzierten Äquivalenzklassen ausdrücken . Im Allgemeinen kann nicht exakt ausgedrückt werden, da die Menge Objekte enthalten und ausschließen kann, die anhand der Attribute nicht unterscheidbar sind . ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

Betrachten wir beispielsweise die Zielmenge und die Attributteilmenge , die die Gesamtheit der verfügbaren Merkmale umfasst. Die Menge lässt sich nicht exakt darstellen, da Objekte in nicht unterscheidbar sind. Daher gibt es keine Möglichkeit, eine Menge zu repräsentieren, die Objekte und enthält , aber nicht ausschließt . ${\displaystyle X=\{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}}$${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x]_{P},}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{7}}$${\displaystyle O_{10}}$

Allerdings kann die Zielmenge nur unter Verwendung der darin enthaltenen Informationen angenähert werden , indem die -untere und -obere Näherung von konstruiert werden : ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\subseteq X\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\cap X\neq \emptyset \}}$

Die untere Approximation , oder positive Region , ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen, die in der Zielmenge enthalten sind (d. h. Teilmengen der Zielmenge darstellen) – im Beispiel die Vereinigung der beiden Äquivalenzklassen, die in der Zielmenge enthalten sind. Die untere Approximation ist die vollständige Menge aller Objekte in , die eindeutig der Zielmenge zugeordnet werden können . ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle {\underline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$${\displaystyle X}$

Die obere Approximation ist die Vereinigung aller Äquivalenzklassen, die eine nichtleere Schnittmenge mit der Zielmenge besitzen – im Beispiel die Vereinigung der drei Äquivalenzklassen in , die eine nichtleere Schnittmenge mit der Zielmenge besitzen. Die obere Approximation ist die vollständige Menge aller Objekte in , die nicht eindeutig der Komplementärmenge ( ) der Zielmenge zugeordnet werden können . Anders ausgedrückt: Die obere Approximation ist die vollständige Menge aller Objekte, die möglicherweise Elemente der Zielmenge sind . ${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle {\overline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}\cup \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathbb {U} /P}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Die Menge stellt daher den negativen Bereich dar , der die Menge der Objekte enthält, die definitiv als Mitglieder der Zielmenge ausgeschlossen werden können. ${\displaystyle \mathbb {U} -{\overline {P}}X}$

Der durch Mengendifferenz gegebene Randbereich besteht aus denjenigen Objekten, die weder als Mitglieder der Zielmenge eingeschlossen noch ausgeschlossen werden können . ${\displaystyle {\overline {P}}X-{\underline {P}}X}$${\displaystyle X}$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die untere Approximation einer Zielmenge eine konservative Näherung darstellt, die nur Objekte umfasst, die eindeutig als Elemente der Menge identifiziert werden können. (Diese Objekte haben keine ununterscheidbaren „Klone“, die von der Zielmenge ausgeschlossen werden.) Die obere Approximation ist eine liberale Näherung, die alle Objekte einschließt, die Elemente der Zielmenge sein könnten. (Einige Objekte in der oberen Approximation sind möglicherweise keine Elemente der Zielmenge.) Aus dieser Perspektive betrachtet , enthält die untere Approximation Objekte, die mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit = 1) Elemente der Zielmenge sind, während die obere Approximation Objekte enthält, die mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich null (Wahrscheinlichkeit > 0) Elemente der Zielmenge sind. ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

Das aus der unteren und der oberen Approximation bestehende Tupel wird als Rough Set bezeichnet ; somit besteht ein Rough Set aus zwei scharfen Mengen, von denen die eine eine untere Grenze der Zielmenge darstellt und die andere eine obere Grenze der Zielmenge darstellt . ${\displaystyle \langle {\underline {P}}X,{\overline {P}}X\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Die Genauigkeit der Rough-Set-Darstellung der Menge kann wie folgt angegeben werden ^{[ 1 ] :}${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha _{P}(X)={\frac {\left|{\underline {P}}X\right|}{\left|{\overline {P}}X\right|}}}$

That is, the accuracy of the rough set representation of ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \alpha _{P}(X)}$, ${\displaystyle 0\leq \alpha _{P}(X)\leq 1}$, is the ratio of the number of objects which can positively be placed in ${\displaystyle X}$ to the number of objects that can possibly be placed in ${\displaystyle X}$ – this provides a measure of how closely the rough set is approximating the target set. Clearly, when the upper and lower approximations are equal (i.e., boundary region empty), then ${\displaystyle \alpha _{P}(X)=1}$, and the approximation is perfect; at the other extreme, whenever the lower approximation is empty, the accuracy is zero (regardless of the size of the upper approximation).

Rough set theory is one of many methods that can be employed to analyse uncertain (including vague) systems, although less common than more traditional methods of probability, statistics, entropy and Dempster–Shafer theory. However a key difference, and a unique strength, of using classical rough set theory is that it provides an objective form of analysis.^[2] Unlike other methods, as those given above, classical rough set analysis requires no additional information, external parameters, models, functions, grades or subjective interpretations to determine set membership – instead it only uses the information presented within the given data.^[3] More recent adaptations of rough set theory, such as dominance-based, decision-theoretic and fuzzy rough sets, have introduced more subjectivity to the analysis.

In general, the upper and lower approximations are not equal; in such cases, we say that target set ${\displaystyle X}$ is undefinable or roughly definable on attribute set ${\displaystyle P}$. When the upper and lower approximations are equal (i.e., the boundary is empty), ${\displaystyle {\overline {P}}X={\underline {P}}X}$, then the target set ${\displaystyle X}$ is definable on attribute set ${\displaystyle P}$. We can distinguish the following special cases of undefinability:

• Set ${\displaystyle X}$ is internallyundefinable if ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$ and ${\displaystyle {\overline {P}}X\neq \mathbb {U} }$. This means that on attribute set ${\displaystyle P}$, there are no objects which we can be certain belong to target set ${\displaystyle X}$, but there are objects which we can definitively exclude from set ${\displaystyle X}$.
• Set ${\displaystyle X}$ is externally undefinable if ${\displaystyle {\underline {P}}X\neq \emptyset }$ and ${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$. This means that on attribute set ${\displaystyle P}$, there are objects which we can be certain belong to target set ${\displaystyle X}$, but there are no objects which we can definitively exclude from set ${\displaystyle X}$.
• Eine Menge ist völlig undefinierbar, wenn und . Das bedeutet, dass es auf der Attributmenge keine Objekte gibt , von denen wir sicher wissen können, dass sie zur Zielmenge gehören , und keine Objekte , die wir definitiv aus der Menge ausschließen können . Daher können wir auf der Attributmenge nicht entscheiden, ob ein Objekt Element von ist oder nicht .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$

Eine interessante Frage ist, ob es im Informationssystem (Attribut-Wert-Tabelle) Attribute gibt, die für das in der Äquivalenzklassenstruktur repräsentierte Wissen wichtiger sind als andere Attribute. Oftmals fragen wir uns, ob es eine Teilmenge von Attributen gibt, die das Wissen in der Datenbank vollständig charakterisieren kann; eine solche Attributmenge wird als Redukt bezeichnet .

Formal ist ein Redukt eine Teilmenge von Attributen, sodass ${\displaystyle \mathrm {RED} \subseteq P}$

• ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }}$= , das heißt, die durch die reduzierte Attributmenge induzierten Äquivalenzklassen sind die gleiche wie die durch die vollständige Attributmenge induzierte Äquivalenzklassenstruktur .${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle P}$
• Die Attributmenge ist minimal , in dem Sinne, dass für jedes Attribut gilt : ; mit anderen Worten, kein Attribut kann aus der Menge entfernt werden, ohne die Äquivalenzklassen zu verändern .${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle [x]_{(\mathrm {RED} -\{a\})}\neq [x]_{P}}$${\displaystyle a\in \mathrm {RED} }$${\displaystyle \mathrm {RED} }$${\displaystyle [x]_{P}}$

Ein Redukt kann als eine hinreichende Menge von Merkmalen betrachtet werden – hinreichend, d. h., um die Kategorienstruktur darzustellen. In der obigen Beispieltabelle ist die Attributmenge ein Redukt – das auf diese Attribute projizierte Informationssystem besitzt dieselbe Äquivalenzklassenstruktur wie diejenige, die durch die vollständige Attributmenge ausgedrückt wird. ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

Die Attributmenge ist ein Redukt, da das Weglassen eines beliebigen dieser Attribute zum Zusammenbruch der Äquivalenzklassenstruktur führt, mit dem Ergebnis, dass . ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }\neq [x]_{P}}$

Das Redukt eines Informationssystems ist nicht eindeutig : Es kann viele Teilmengen von Attributen geben, die die im Informationssystem ausgedrückte Äquivalenzklassenstruktur (d. h. das Wissen) erhalten. Im obigen Beispielinformationssystem ist ein weiteres Redukt , das dieselbe Äquivalenzklassenstruktur wie erzeugt . ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{5}\}}$${\displaystyle [x]_{P}}$

Die Menge der Attribute, die allen Redukten gemeinsam ist, wird als Kern bezeichnet : Der Kern umfasst alle Attribute, die jedem Redukt zugeordnet sind und daher aus Attributen bestehen, die nicht aus dem Informationssystem entfernt werden können, ohne die Äquivalenzklassenstruktur zu zerstören. Der Kern kann als die Menge der notwendigen Attribute betrachtet werden – notwendig, d. h. für die Repräsentation der Kategorienstruktur. Im Beispiel ist das einzige solche Attribut ; jedes der anderen Attribute kann einzeln entfernt werden, ohne die Äquivalenzklassenstruktur zu beeinträchtigen, daher sind diese alle entbehrlich . Die alleinige Entfernung von verändert jedoch die Äquivalenzklassenstruktur und ist somit das unverzichtbare Attribut dieses Informationssystems und damit der Kern. ${\displaystyle \{P_{5}\}}$${\displaystyle \{P_{5}\}}$${\displaystyle \{P_{5}\}}$

Der Kern kann leer sein, was bedeutet, dass kein unverzichtbares Attribut vorhanden ist: Jedes einzelne Attribut in einem solchen Informationssystem kann gelöscht werden, ohne die Äquivalenzklassenstruktur zu verändern. In solchen Fällen gibt es kein essentielles oder notwendiges Attribut, das für die Darstellung der Klassenstruktur erforderlich ist.

Einer der wichtigsten Aspekte der Datenbankanalyse bzw. Datenerfassung ist die Ermittlung von Attributabhängigkeiten; das heißt, wir möchten herausfinden, welche Variablen stark miteinander korrelieren. Im Allgemeinen sind es diese starken Zusammenhänge, die weitere Untersuchungen rechtfertigen und letztendlich für die prädiktive Modellierung von Nutzen sind.

In der Theorie der unscharfen Mengen ist der Begriff der Abhängigkeit sehr einfach definiert. Wir betrachten zwei (disjunkte) Mengen von Attributen, Menge A und Menge B , und untersuchen, welcher Grad an Abhängigkeit zwischen ihnen besteht. Jede Attributmenge induziert eine (Ununterscheidbarkeits-)Äquivalenzklassenstruktur, wobei die von A induzierten Äquivalenzklassen durch A gegeben sind und die von B induzierten Äquivalenzklassen durch B.${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle [x]_{P}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle [x]_{Q}}$

Sei , wobei eine gegebene Äquivalenzklasse aus der durch die Attributmenge induzierten Äquivalenzklassenstruktur ist . Dann ist die Abhängigkeit der Attributmenge von der Attributmenge , , gegeben durch ${\displaystyle [x]_{Q}=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3},\dots ,Q_{N}\}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$

${\displaystyle \gamma _{P}(Q)={\frac {\sum _{i=1}^{N}\left|{\underline {P}}Q_{i}\right|}{\left|\mathbb {U} \right|}}\leq 1}$

Das heißt, für jede Äquivalenzklasse in wird die Größe ihrer unteren Approximation durch die Attribute in addiert , d. h. . Diese Approximation (wie oben für eine beliebige Menge ) ist die Anzahl der Objekte, die anhand der Attributmenge eindeutig der Zielmenge zugeordnet werden können . Die Summe über alle Äquivalenzklassen in ergibt im Zähler die Gesamtzahl der Objekte, die – basierend auf der Attributmenge – gemäß der durch die Attribute induzierten Klassifizierung eindeutig kategorisiert werden können . Das Abhängigkeitsverhältnis drückt somit den Anteil (innerhalb des gesamten Universums) solcher klassifizierbarer Objekte aus. Die Abhängigkeit „kann als Anteil solcher Objekte im Informationssystem interpretiert werden, für die es ausreicht, die Werte der Attribute in zu kennen, um die Werte der Attribute in zu bestimmen “. ${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle [x]_{Q}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\underline {P}}Q_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle [x]_{Q}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Eine andere, intuitive Möglichkeit, Abhängigkeiten zu betrachten, besteht darin, die durch induzierte Partition als Zielklasse zu nehmen und als Attributmenge zu betrachten, die wir zur „Rekonstruktion“ der Zielklasse verwenden möchten . Wenn vollständig rekonstruierbar ist , hängt vollständig von ab ; wenn die Rekonstruktion von ungenau und möglicherweise zufällig erfolgt , hängt überhaupt nicht von ab .${\displaystyle Q}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Dieses Abhängigkeitsmaß drückt somit den Grad der funktionalen (d. h. deterministischen) Abhängigkeit einer Attributmenge von einer anderen aus ; es ist nicht symmetrisch. Der Zusammenhang dieses Begriffs der Attributabhängigkeit mit traditionelleren informationstheoretischen (d. h. entropischen) Begriffen der Attributabhängigkeit wurde in verschiedenen Publikationen diskutiert, z. B. von Pawlak, Wong & Ziarko (1988) ^{[ 4 ]} , Yao & Yao (2002) ^{[ 5 ]} , Wong, Ziarko & Ye (1986) ^{[ 6 ]} und Quafafou & Boussouf (2000) ^{[ 7 ] .}${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Die oben beschriebenen Kategoriedarstellungen sind alle extensionaler Natur; das heißt, eine Kategorie oder komplexe Klasse ist einfach die Summe all ihrer Elemente. Eine Kategorie darzustellen bedeutet demnach, alle Objekte, die zu dieser Kategorie gehören, auflisten oder identifizieren zu können. Extensionale Kategoriedarstellungen haben jedoch nur sehr begrenzten praktischen Nutzen, da sie keine Aussagekraft darüber bieten, ob neue (noch nie zuvor gesehene) Objekte Elemente der Kategorie sind.

Im Allgemeinen ist eine intensionale Beschreibung der Kategorie wünschenswert , eine Repräsentation der Kategorie basierend auf einer Reihe von Regeln , die den Geltungsbereich der Kategorie beschreiben. Die Wahl solcher Regeln ist nicht eindeutig, und genau darin liegt das Problem der induktiven Voreingenommenheit . Siehe Versionsraum und Modellauswahl für weitere Informationen zu diesem Thema.

Es gibt verschiedene Methoden zur Regelextraktion. Wir beginnen mit einem Regelextraktionsverfahren, das auf Ziarko & Shan (1995) basiert. ^{[ 8 ]}

Angenommen, wir möchten die minimale Menge konsistenter Regeln ( logischer Implikationen ) finden , die unser Beispielsystem charakterisieren. Für eine Menge von Bedingungsattributen und ein Entscheidungsattribut sollten diese Regeln die Form haben , oder, ausgeschrieben, ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{1},P_{2},P_{3},\dots ,P_{n}\}}$${\displaystyle Q,Q\notin {\mathcal {P}}}$${\displaystyle P_{i}^{a}P_{j}^{b}\dots P_{k}^{c}\to Q^{d}}$

${\displaystyle (P_{i}=a)\land (P_{j}=b)\land \dots \land (P_{k}=c)\to (Q=d)}$

Hierbei handelt es sich um legitime Werte aus den Domänen ihrer jeweiligen Attribute. Dies ist eine typische Form von Assoziationsregeln , und die Anzahl der Elemente, die die Bedingung/Antezedens erfüllen, wird als Unterstützung für die Regel bezeichnet . Die in Ziarko & Shan (1995) beschriebene Methode zur Extraktion solcher Regeln besteht darin , für jeden einzelnen Wert des Entscheidungsattributs eine Entscheidungsmatrix zu erstellen . Informell listet die Entscheidungsmatrix für den Wert des Entscheidungsattributs alle Attribut-Wert-Paare auf, die sich zwischen Objekten mit und unterscheiden . ${\displaystyle \{a,b,c,\dots \}}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle d}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q=d}$${\displaystyle Q\neq d}$

Dies lässt sich am besten anhand eines Beispiels erklären (wodurch auch viel Notation vermieden wird). Betrachten wir die obige Tabelle. Sei die Entscheidungsvariable (d. h. die Variable auf der rechten Seite der Implikationen) und seien die Bedingungsvariablen (auf der linken Seite der Implikationen). Wir stellen fest, dass die Entscheidungsvariable zwei verschiedene Werte annimmt, nämlich . Wir betrachten jeden Fall separat. ${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{3}\}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \{1,2\}}$

Zunächst betrachten wir den Fall , und unterteilen die Objekte in solche mit und solche mit . (Beachten Sie, dass Objekte mit in diesem Fall einfach diejenigen Objekte sind, die haben , aber im Allgemeinen alle Objekte umfassen, deren Wert für ungleich null ist , und es kann mehrere solcher Objektklassen geben (z. B. solche mit ).) In diesem Fall sind die Objekte mit die Klasse , während die Objekte mit die Klasse sind . Die Entscheidungsmatrix für listet alle Unterschiede zwischen den Objekten mit und denen mit auf ; das heißt, die Entscheidungsmatrix listet alle Unterschiede zwischen und auf . Wir ordnen die „positiven“ Objekte ( ) den Zeilen und die „negativen“ Objekte den Spalten zu. ${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}=2}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}=2,3,4,etc.}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{4}\neq 1}$

Entscheidungsmatrix für${\displaystyle P_{4}=1}$

Objekt	${\displaystyle O_{4}}$	${\displaystyle O_{5}}$	${\displaystyle O_{6}}$	${\displaystyle O_{8}}$	${\displaystyle O_{9}}$
${\displaystyle O_{1}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2}}$
${\displaystyle O_{2}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{1},P_{2}^{2}}$
${\displaystyle O_{3}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{2}^{0},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$
${\displaystyle O_{7}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{2}^{0},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$
${\displaystyle O_{10}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{1}^{2},P_{2}^{0},P_{3}^{0}}$	${\displaystyle P_{2}^{0}}$

Um diese Entscheidungsmatrix zu lesen, betrachten Sie beispielsweise den Schnittpunkt von Zeile und Spalte , der in der Zelle angezeigt wird. Dies bedeutet, dass sich Objekt hinsichtlich des Entscheidungswerts von Objekt in den Attributen und unterscheidet , wobei die spezifischen Werte dieser Attribute für das positive Objekt und lauten . Daraus lässt sich schließen, dass die korrekte Klassifizierung von als zur Entscheidungsklasse gehörig auf den Attributen und beruht ; obwohl eines der beiden Attribute entbehrlich sein könnte, wissen wir, dass mindestens eines dieser Attribute in entbehrlich ist. ${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{6}}$${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle O_{6}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle P_{1}=2}$${\displaystyle P_{3}=0}$${\displaystyle O_{3}}$${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$

Anschließend wird aus jeder Entscheidungsmatrix eine Menge boolescher Ausdrücke gebildet, ein Ausdruck pro Zeile der Matrix. Die Elemente innerhalb jeder Zelle werden disjunktiv aggregiert, und die einzelnen Zellen werden dann konjunktiv aggregiert. Für die obige Tabelle ergeben sich somit die folgenden fünf booleschen Ausdrücke:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\end{cases}}}$

Jede dieser Aussagen stellt im Wesentlichen eine sehr spezifische (wahrscheinlich zu spezifische) Regel dar, die die Klassenzugehörigkeit des jeweiligen Objekts regelt. Die letzte Aussage, die dem Objekt entspricht, besagt beispielsweise, dass alle folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen: ${\displaystyle P_{4}=1}$${\displaystyle O_{10}}$

1. Entweder muss der Wert 2 sein, oder der Wert 0, oder beides.${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$
2. ${\displaystyle P_{2}}$muss den Wert 0 haben.
3. Entweder muss der Wert 2 sein, oder der Wert 0, oder beides.${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{3}}$
4. Entweder muss der Wert 2 sein, oder der Wert 0, oder der Wert 0, oder eine beliebige Kombination davon.${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{3}}$
5. ${\displaystyle P_{2}}$muss den Wert 0 haben.

Es ist offensichtlich, dass hier eine große Redundanz vorliegt, und der nächste Schritt besteht darin, den Ausdruck mithilfe der traditionellen Booleschen Algebra zu vereinfachen . Die Aussage, die Objekten entspricht , vereinfacht sich zu , woraus sich die Implikation ergibt. ${\displaystyle (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})}$${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$${\displaystyle P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}}$

${\displaystyle (P_{1}=1)\lor (P_{2}=2)\to (P_{4}=1)}$

Ebenso vereinfacht sich die Aussage, die Objekten entspricht , zu . Daraus ergibt sich die Implikation ${\displaystyle (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})}$${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$${\displaystyle P_{1}^{2}P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0}P_{2}^{0}}$

${\displaystyle (P_{1}=2\land P_{2}=0)\lor (P_{3}=0\land P_{2}=0)\to (P_{4}=1)}$

Die obigen Schlussfolgerungen lassen sich auch als folgendes Regelwerk formulieren:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}=1)\to (P_{4}=1)\\(P_{2}=2)\to (P_{4}=1)\\(P_{1}=2)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\\(P_{3}=0)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\end{cases}}}$

Es ist festzustellen, dass die ersten beiden Regeln jeweils eine Unterstützung von 1 haben (d. h., die Prämisse passt auf zwei Objekte), während die letzten beiden Regeln jeweils eine Unterstützung von 2 haben. Um das Regelwerk für dieses Wissenssystem zu vervollständigen, wird für den Fall von das gleiche Verfahren wie oben beschrieben (beginnend mit dem Erstellen einer neuen Entscheidungsmatrix) angewendet. Dies führt zu einer neuen Menge von Implikationen für diesen Entscheidungswert (d. h. eine Menge von Implikationen mit als Konsequenz). Im Allgemeinen wird das Verfahren für jeden möglichen Wert der Entscheidungsvariablen wiederholt. ${\displaystyle P_{4}=2}$${\displaystyle P_{4}=2}$

Das Datensystem LERS (Learning from Examples based on Rough Sets) ^{[ 9 ]} kann Regeln aus inkonsistenten Daten ableiten, d. h. aus Daten mit Objekten, die im Konflikt stehen. Zwei Objekte stehen im Konflikt, wenn sie zwar dieselben Attributwerte aufweisen, aber unterschiedlichen Konzepten (Klassen) angehören. LERS verwendet die Theorie der Rough Sets, um untere und obere Approximationen für Konzepte zu berechnen, die mit anderen Konzepten im Konflikt stehen.

Regeln, die aus der unteren Approximation des Konzepts abgeleitet werden, beschreiben das Konzept sicher ; daher werden solche Regeln als sicher bezeichnet . Regeln, die aus der oberen Approximation des Konzepts abgeleitet werden, beschreiben das Konzept hingegen möglicherweise ; daher werden diese Regeln als möglich bezeichnet . Für die Regelinduktion verwendet LERS drei Algorithmen: LEM1, LEM2 und IRIM.

Der LEM2-Algorithmus von LERS wird häufig zur Regelerzeugung eingesetzt und findet nicht nur in LERS, sondern auch in anderen Systemen, z. B. in RSES, Anwendung. ^{[ 10 ]} LEM2 durchsucht den Suchraum von Attribut-Wert-Paaren . Die Eingabedaten stellen eine untere oder obere Approximation eines Konzepts dar und sind daher stets konsistent. Im Allgemeinen berechnet LEM2 eine lokale Überdeckung und wandelt diese anschließend in eine Regelmenge um. Im Folgenden werden einige Definitionen zur Beschreibung des LEM2-Algorithmus angeführt.

Der LEM2-Algorithmus basiert auf der Idee eines Attribut-Wert-Paar-Blocks. Sei eine nichtleere untere oder obere Approximation eines Konzepts, das durch ein Entscheidungswertpaar repräsentiert wird . Die Menge hängt genau dann von einer Menge von Attribut-Wert-Paaren ab , wenn ${\displaystyle X}$${\displaystyle (d,w)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=(a,v)}$

${\displaystyle \emptyset \neq [T]=\bigcap _{t\in T}[t]\subseteq X.}$

Eine Menge ist genau dann ein minimaler Komplex von , wenn sie von abhängt und keine echte Teilmenge von existiert, sodass von abhängt . Sei eine nichtleere Menge nichtleerer Mengen von Attribut-Wert-Paaren. Dann ist eine lokale Überdeckung von genau dann, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$

Jedes Element von ist ein minimaler Komplex von ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathbb {T} }[T]=X,}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$ist minimal, d.h. hat die kleinstmögliche Anzahl an Mitgliedern.${\displaystyle \mathbb {T} }$

Für unser Beispielinformationssystem wird LEM2 die folgenden Regeln induzieren:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1},1)\to (P_{4},1)\\(P_{5},0)\to (P_{4},1)\\(P_{1},0)\to (P_{4},2)\\(P_{2},1)\to (P_{4},2)\end{cases}}}$

Weitere Methoden zum Regellernen finden sich beispielsweise bei Pawlak (1991), ^{[ 1 ]} Stefanowski (1998), ^{[ 11 ]} Bazan et al. (2004), ^{[ 10 ]} etc.

Die Theorie der ungenauen Mengen ist nützlich für die Regelableitung aus unvollständigen Datensätzen. Mit diesem Ansatz lassen sich drei Arten fehlender Attributwerte unterscheiden: verlorene Werte (die zwar erfasst, aber aktuell nicht verfügbar sind), Attribut-Konzept-Werte (diese fehlenden Attributwerte können durch beliebige Attributwerte desselben Konzepts ersetzt werden) und „Do-Not-Care“-Bedingungen (die ursprünglichen Werte waren irrelevant). Ein Konzept ( eine Klasse ) ist die Menge aller Objekte, die auf dieselbe Weise klassifiziert (oder diagnostiziert) wurden.

Zwei spezielle Datensätze mit fehlenden Attributwerten wurden eingehend untersucht: Im ersten Fall gingen alle fehlenden Attributwerte verloren, ^{[ 12 ]} im zweiten Fall handelte es sich bei allen fehlenden Attributwerten um „Do-Not-Care“-Bedingungen. ^{[ 13 ]}

Bei der Interpretation fehlender Attributwerte als Attributkonzept kann der fehlende Wert durch einen beliebigen Wert aus dem Attributbereich ersetzt werden, der auf das Konzept beschränkt ist, zu dem das Objekt mit dem fehlenden Wert gehört. ^{[ 14 ]} Fehlt beispielsweise bei einem Patienten der Wert des Attributs „Temperatur“, ist dieser Patient an Grippe erkrankt, und alle anderen an Grippe erkrankten Patienten weisen hohe oder sehr hohe Temperaturwerte auf, wird der fehlende Wert bei Verwendung der Interpretation als Attributkonzeptwert durch „hoch“ oder „sehr hoch“ ersetzt. Darüber hinaus ermöglicht die charakteristische Relation (siehe z. B. Grzymala-Busse & Grzymala-Busse (2007) ) die gleichzeitige Verarbeitung von Datensätzen mit allen drei Arten fehlender Attributwerte: verlorene Werte, Werte, die keine Rolle spielen, und Attributkonzeptwerte.

Methoden der Rough-Set-Theorie lassen sich als Bestandteil hybrider Lösungen im maschinellen Lernen und Data-Mining einsetzen . Sie haben sich insbesondere für die Regelinduktion und Merkmalsauswahl (semantikerhaltende Dimensionsreduktion ) als nützlich erwiesen. Rough-Set-basierte Datenanalysemethoden wurden erfolgreich in der Bioinformatik , Wirtschaftswissenschaften und Finanzen, Medizin, Multimedia, Web- und Text-Mining , Signal- und Bildverarbeitung, Softwareentwicklung , Robotik und im Ingenieurwesen (z. B. Energietechnik und Regelungstechnik ) angewendet. Jüngst wurden die drei Bereiche von Rough Sets als Akzeptanz-, Ablehnungs- und Aufschubbereiche interpretiert. Dies führt zu einem dreistufigen Entscheidungsfindungsansatz mit dem Modell, der potenziell interessante zukünftige Anwendungen ermöglicht.

Die Idee der Rough Sets wurde 1981 von Pawlak als neues mathematisches Werkzeug zur Behandlung vager Konzepte vorgeschlagen. Comer, Grzymala-Busse, Iwinski, Nieminen, Novotny, Pawlak, Obtulowicz und Pomykala untersuchten algebraische Eigenschaften von Rough Sets. Verschiedene algebraische Semantiken wurden von P. Pagliani, I. Duntsch, M. K. Chakraborty, M. Banerjee und A. Mani entwickelt; diese wurden insbesondere von D. Cattaneo und A. Mani auf allgemeinere Rough Sets erweitert. Rough Sets können verwendet werden, um Mehrdeutigkeit , Vagheit und allgemeine Unsicherheit darzustellen .

Seit der Entwicklung der Theorie der Rough Sets wurden deren Erweiterungen und Verallgemeinerungen stetig weiterentwickelt. Anfängliche Entwicklungen konzentrierten sich auf die Beziehung – sowohl die Ähnlichkeiten als auch die Unterschiede – zu Fuzzy Sets . Während einige Publikationen argumentieren, dass diese Konzepte unterschiedlich seien, betrachten andere Rough Sets als Verallgemeinerung von Fuzzy Sets – dargestellt durch Fuzzy Rough Sets oder Rough Fuzzy Sets. Pawlak (1995) vertrat die Ansicht, dass Fuzzy Sets und Rough Sets einander ergänzen und unterschiedliche Aspekte von Unsicherheit und Vagheit behandeln.

Drei bemerkenswerte Erweiterungen der klassischen Rough Sets sind:

• Der Dominanz-basierte Ansatz der Rough Sets (DRSA) ist eine Erweiterung der Rough-Set-Theorie für die multikriterielle Entscheidungsanalyse (MCDA) und wurde von Greco, Matarazzo und Słowiński (2001) eingeführt. ^{[ 15 ]} Die wichtigste Änderung dieser Erweiterung klassischer Rough Sets besteht in der Ersetzung der Ununterscheidbarkeitsrelation durch eine Dominanzrelation . Dadurch kann der Formalismus Inkonsistenzen berücksichtigen, die typisch für die Betrachtung von Kriterien und präferenzgeordneten Entscheidungsklassen sind.
• Entscheidungstheoretische Rough Sets (DTRS) sind eine probabilistische Erweiterung der Rough-Set-Theorie, die von Yao, Wong und Lingras (1990) eingeführt wurde. ^{[ 16 ]} Sie nutzen ein Bayes'sches Entscheidungsverfahren zur risikominimierten Entscheidungsfindung. Elemente werden in die untere und obere Approximation aufgenommen, je nachdem, ob ihre bedingte Wahrscheinlichkeit über Schwellenwerten liegt . Diese oberen und unteren Schwellenwerte bestimmen die Regionen, in die Elemente aufgenommen werden. Dieses Modell ist einzigartig und leistungsstark, da die Schwellenwerte selbst aus sechs Verlustfunktionen berechnet werden, die Klassifizierungsrisiken repräsentieren.${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \beta }$
• Spieltheoretische Rough Sets (GTRS) sind eine spieltheoretische Erweiterung der Rough-Set-Theorie, die von Herbert und Yao (2011) eingeführt wurde. ^{[ 17 ]} Sie nutzen eine spieltheoretische Umgebung, um bestimmte Kriterien der auf Rough Sets basierenden Klassifizierung oder Entscheidungsfindung zu optimieren und so effektive Regionsgrößen zu erhalten.

Rough Sets lassen sich, als Verallgemeinerung, auch definieren, indem man anstelle einer objektiven Approximation eine Rough-Zugehörigkeitsfunktion verwendet. Diese Rough-Zugehörigkeitsfunktion drückt eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Element zu einer Menge gehört, gegeben . Dies kann als Zugehörigkeitsgrad zu einer Menge interpretiert werden, der durch die Information über die Menge ausgedrückt wird . ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$

Die Zugehörigkeit zu Mengen im engeren Sinne unterscheidet sich von der Zugehörigkeit zu Mengen im weiteren Sinne hauptsächlich dadurch, dass die Zugehörigkeit von Vereinigung und Schnittmenge im Allgemeinen nicht aus der Zugehörigkeit ihrer Bestandteile berechnet werden kann, wie es bei Fuzzy-Mengen der Fall ist. Insofern stellt die Zugehörigkeit im engeren Sinne eine Verallgemeinerung der Zugehörigkeit im weiteren Sinne dar. Darüber hinaus basiert die Zugehörigkeitsfunktion im engeren Sinne stärker auf Wahrscheinlichkeitstheorien als die herkömmlichen Konzepte der Zugehörigkeitsfunktion im weiteren Sinne.

Es wurden verschiedene Verallgemeinerungen der Theorie der Rough Sets eingeführt, untersucht und zur Problemlösung angewendet. Hier sind einige dieser Verallgemeinerungen:

• Raue Multimengen ^{[ 18 ]}
• Fuzzy Rough Sets erweitern das Konzept der Rough Sets durch die Verwendung von Fuzzy-Äquivalenzklassen ^{[ 19 ].}
• Alpha Rough Set Theory (α-RST) - eine Verallgemeinerung der Rough Set Theory, die eine Approximation unter Verwendung von Fuzzy-Konzepten ermöglicht ^{[ 20 ].}
• Intuitionistische Fuzzy-Rough-Sets ^{[ 21 ]}
• Verallgemeinerte raue Fuzzy-Mengen ^{[ 22 ] [ 23 ]}
• Grobe intuitionistische Fuzzy-Mengen ^{[ 24 ]}
• Soft Rough Fuzzy Sets und Soft Fuzzy Rough Sets ^{[ 25 ]}
• Zusammengesetzte Rough Sets ^{[ 26 ]}

• Algebraische Semantik
• Alternative Mengenlehre
• Analogrechner
• Beschreibungslogik
• Fuzzy-Logik
• Fuzzy-Mengenlehre
• Granulares Rechnen
• Nahe Sets
• Grobe Fuzzy-Hybridisierung
• Fuzzy-Mengen und -Systeme vom Typ 2
• Entscheidungstheoretische Rough Sets
• Versionsbereich
• Dominanzbasierter Rough-Set-Ansatz

• Gianpiero Cattaneo und Davide Ciucci, „Heyting-Wajsberg-Algebren als abstrakte Umgebung zur Verknüpfung von Fuzzy- und Rough-Sets“, in: J. J. Alpigini et al. (Hrsg.): RSCTC 2002, LNAI 2475, S. 77–84, 2002. doi : 10.1007/3-540-45813-1_10
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• Die Internationale Gesellschaft für Rautenformen
• Tutorial zum Rohset
• Grobe Sets: Eine Kurzanleitung
• Rough Set Exploration System
• Rough Sets im Data Warehousing