Mengenwertige Funktion

Eine mengenwertige Funktion , auch Korrespondenz oder mengenwertige Relation genannt , ist eine mathematische Funktion , die Elemente einer Menge (dem Definitionsbereich der Funktion) auf Teilmengen einer anderen Menge abbildet. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Mengenwertige Funktionen finden in verschiedenen mathematischen Bereichen Anwendung, darunter Optimierung , Kontrolltheorie und Spieltheorie .

Mengenwertige Funktionen werden in einigen Referenzen auch als mehrwertige Funktionen bezeichnet, ^{[ 3 ]} jedoch folgen die Autoren dieses Artikels und des Artikels „Mehrwertige Funktionen“ der Unterscheidung.

Obwohl andere Autoren sie möglicherweise anders (oder gar nicht) unterscheiden, differenzieren Wriggers und Panatiotopoulos (2014) mehrwertige Funktionen von mengenwertigen Funktionen (die sie mengenwertige Relationen nennen ) dadurch, dass mehrwertige Funktionen nur an endlich (oder abzählbar) vielen Punkten mehrere Werte annehmen und sich ansonsten wie eine Funktion verhalten . ^{[ 2 ]} Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph einer mehrwertigen Funktion notwendigerweise eine Gerade mit der Fläche Null ist, die keine Schleife enthält, während der Graph einer mengenwertigen Relation ausgefüllte Flächen oder Schleifen enthalten kann. ^{[ 2 ]}

Alternativ dazu ist eine mehrwertige Funktion eine mengenwertige Funktion f , die eine weitere Stetigkeitseigenschaft besitzt , nämlich dass die Wahl eines Elements in der Menge ein entsprechendes Element in jeder Menge für y nahe bei x definiert und somit lokal eine gewöhnliche Funktion definiert. ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(y)}$

Das argmax einer Funktion ist im Allgemeinen mehrdeutig. Zum Beispiel: . ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

Mengenwertige Analysis ist die Untersuchung von Mengen im Geiste der mathematischen Analysis und der allgemeinen Topologie .

Anstatt nur Punktmengen zu betrachten, untersucht die Mengenwertanalysis Mengenmengen. Wenn eine Mengenmenge mit einer Topologie versehen ist oder eine geeignete Topologie von einem zugrunde liegenden topologischen Raum erbt, kann die Konvergenz der Mengen untersucht werden.

Ein Großteil der Mengenwertanalyse entstand im Rahmen der mathematischen Ökonomie und der optimalen Steuerung , teilweise als Verallgemeinerung der konvexen Analysis . Der Begriff „ Variationsanalysis “ wird von Autoren wie R. Tyrrell Rockafellar und Roger J. B. Wets , Jonathan Borwein und Adrian Lewis sowie Boris Mordukhovich verwendet . In der Optimierungstheorie ist die Konvergenz approximierender Subdifferentiale gegen ein Subdifferential wichtig, um notwendige oder hinreichende Bedingungen für einen Minimierungspunkt zu verstehen.

Aus der punktwertigen Analysis existieren mengenwertige Erweiterungen der folgenden Konzepte: Stetigkeit , Differentiation , Integration , ^{[ 4 ]} Satz über implizite Funktionen , Kontraktionsabbildungen , Maßtheorie , Fixpunktsätze , ^{[ 5 ]} Optimierung und topologische Gradtheorie . Insbesondere werden Gleichungen zu Inklusionen und Differentialgleichungen zu Differentialinklusionen verallgemeinert .

Man kann verschiedene Konzepte unterscheiden, die Stetigkeit verallgemeinern , wie etwa die Eigenschaft abgeschlossener Graphen und die obere und untere Halbstetigkeit ^{[ a ]} . Es gibt auch verschiedene Verallgemeinerungen des Maßes auf Multifunktionen.

Mengenwertige Funktionen treten in der optimalen Steuerungstheorie auf , insbesondere bei Differentialinklusionen und verwandten Gebieten wie der Spieltheorie , wo der Fixpunktsatz von Kakutani für mengenwertige Funktionen angewendet wurde, um die Existenz von Nash-Gleichgewichten zu beweisen . Dies und viele andere Eigenschaften, die lose mit der Approximierbarkeit von oberhalb-halbstetigen Multifunktionen durch stetige Funktionen zusammenhängen, erklären, warum obere Halbstetigkeit gegenüber unterer Halbstetigkeit bevorzugt wird.

Dennoch besitzen unterhalbstetige Multifunktionen üblicherweise stetige Selektionen, wie im Selektionssatz von Michael dargelegt , der eine weitere Charakterisierung parakompakter Räume liefert. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Andere Selektionssätze, wie die richtungsstetige Selektion nach Bressan-Colombo, der messbare Selektionssatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski , die messbare Selektion nach Aumann und die Selektion nach Fryszkowski für zerlegbare Abbildungen, sind wichtig für die optimale Steuerung und die Theorie der Differentialinklusionen .

• K. Deimling, Mehrwertige Differentialgleichungen , Walter de Gruyter, 1992
• CD Aliprantis und KC Border, Unendlichdimensionale Analysis. Per Anhalter durch die Galaxis , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
• J. Andres und L. Górniewicz, Topologische Fixpunktprinzipien für Randwertprobleme , Kluwer Academic Publishers, 2003
• J.-P. Aubin und A. Cellina, Differentialinklusionen, mengenwertige Abbildungen und Lebensfähigkeitstheorie , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer-Verlag, Berlin, 1984
• J.-P. Aubin und H. Frankowska , Mengenwertige Analysis , Birkhäuser, Basel, 1990
• D. Repovš und PV Semenov, Kontinuierliche Selektionen mehrwertiger Abbildungen , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
• EU Tarafdar und MSR Chowdhury, Topologische Methoden für die mengenwertige nichtlineare Analysis , World Scientific, Singapur, 2008
• Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). „Hermite-Hadamard-Ungleichungen für konvexe Mengenfunktionen“ . Demonstratio Mathematica . 46 (4): 655–662 . doi : 10.1515/dema-2013-0483 .

• Auswahlsatz
• Satz von Ursescu
• Binäre Relation