Scherband

In der Festkörpermechanik bezeichnet man als Scherzone (oder allgemeiner als Dehnungslokalisierung ) eine schmale Zone intensiver Dehnung aufgrund von Scherung , meist plastischer Natur, die sich bei starker Verformung duktiler Werkstoffe bildet. Abbildung 1 zeigt beispielsweise eine Bodenprobe (überkonsolidierter schluffiger Ton) nach einem axialsymmetrischen Druckversuch. Die Probe war anfänglich zylindrisch geformt. Da die Symmetrie während des Versuchs erhalten bleiben sollte, blieb die zylindrische Form zunächst bestehen und die Verformung war homogen. Bei maximaler Belastung bildeten sich jedoch zwei X-förmige Scherzonen, und die nachfolgende Verformung war stark lokalisiert (siehe auch die Skizze rechts in Abb. 1).

Obwohl sie in spröden Materialien (z. B. Glas bei Raumtemperatur ) nicht beobachtbar sind, bilden sich Scherzonen oder allgemeiner „lokalisierte Deformationen“ üblicherweise in einer Vielzahl duktiler Werkstoffe (Legierungen, Metalle, körnige Materialien, Kunststoffe, Polymere und Böden) und sogar in quasibrüchigen Werkstoffen (Beton, Eis, Gestein und einige Keramiken). Die Bedeutung der Scherzonenbildung liegt darin, dass sie dem Versagen vorausgeht, da extreme Deformationen innerhalb der Scherzonen zu intensiven Schäden und Brüchen führen. Daher ist die Entstehung von Scherzonen der Schlüssel zum Verständnis des Versagens duktiler Werkstoffe – ein Forschungsthema von großer Bedeutung für die Entwicklung neuer Werkstoffe und die Nutzung bestehender Werkstoffe unter extremen Bedingungen. Folglich steht die Lokalisierung von Deformationen seit Mitte des 20. Jahrhunderts im Mittelpunkt intensiver Forschungsaktivitäten.

Die Bildung von Scherbändern ist ein Beispiel für eine Materialinstabilität, die einem abrupten Verlust der Homogenität der Verformung in einer festen Probe unter einer Belastung entspricht, die mit einer fortgesetzten gleichmäßigen Verformung vereinbar ist. In diesem Sinne kann sie als alternativer Verformungsmechanismus zu einem trivialen Mechanismus und somit als Bifurkation oder Verlust der Eindeutigkeit eines idealen Gleichgewichtspfades interpretiert werden. Das Besondere an dieser Bifurkation ist, dass sie selbst in einem unendlich ausgedehnten Körper (oder unter der extremen Bedingung eines glatten Kontakts mit einer starren Einspannung) auftreten kann.

Betrachten wir einen unendlich ausgedehnten Körper aus einem nichtlinearen Material, der quasistatisch verformt wird, wobei Spannung und Dehnung homogen bleiben können. Die inkrementelle Reaktion dieses nichtlinearen Materials wird der Einfachheit halber als linear angenommen, sodass sie sich als Beziehung zwischen Spannungsinkrement und Dehnungsinkrement mithilfe eines konstitutiven Tensors vierter Ordnung ausdrücken lässt . ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbb {C} {\dot {\varepsilon }},}$$

1

wobei der konstitutive Tensor vierter Ordnung vom aktuellen Zustand abhängt, d. h. von der aktuellen Spannung, der aktuellen Dehnung und gegebenenfalls anderen konstitutiven Parametern (zum Beispiel Verfestigungsvariablen für Metalle oder der Dichte für granulare Materialien). ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Es werden Bedingungen für das Auftreten einer Unstetigkeitsfläche (mit Einheitsnormalenvektor ) in den inkrementellen Spannungs- und Dehnungswerten gesucht. Diese Bedingungen werden mit den Bedingungen für das Auftreten von Deformationslokalisierung gleichgesetzt. Insbesondere erfordert das inkrementelle Gleichgewicht, dass die inkrementellen Traktionen (nicht die Spannungen!) stetig bleiben. ${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle {\dot {\sigma }}^{+}{\textbf {n}}={\dot {\sigma }}^{-}{\textbf {n}},}$$

2

(wobei + und - die beiden Seiten der Oberfläche bezeichnen) und die geometrische Kompatibilität eine Einschränkung der Dehnungskompatibilität hinsichtlich der Form der inkrementellen Dehnung auferlegt:

$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}^{+}-{\dot {\varepsilon }}^{-}={\frac {1}{2}}\left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}+{\textbf {n}}\otimes {\textbf {g}}\right),}$$

3

wobei das Symbol das Tensorprodukt bezeichnet und ein Vektor ist, der den Deformationsdiskontinuitätsmodus definiert (orthogonal zu für inkompressible Materialien). Durch Einsetzen des inkrementellen Materialgesetzes (1) und der Dehnungskompatibilität ( 3 ) in die Stetigkeit der inkrementellen Spannungen ( 2 ) erhält man die notwendige Bedingung für die Dehnungslokalisierung: ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \mathbb {C} \left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}\right){\textbf {n}}=0.}$$

4

Da der für jeden Vektor definierte Tensor zweiter Stufe wie folgt lautet: ${\displaystyle \mathbb {A} (\mathbf {n} )}$${\displaystyle {\textbf {g}}}$$${\displaystyle \mathbb {A} ({\textbf {n}}){\textbf {g}}=\mathbb {C} \left({\textbf {g}}\otimes {\textbf {n}}\right){\textbf {n}}}$$

Da es sich um den sogenannten „akustischen Tensor“ handelt, der die Ausbreitungsbedingung von Beschleunigungswellen definiert, lässt sich schließen, dass die Bedingung für die Dehnungslokalisierung mit der Singularitätsbedingung (Ausbreitung mit verschwindender Geschwindigkeit) einer Beschleunigungswelle übereinstimmt. Diese Bedingung stellt den sogenannten „Verlust der Elliptizität“ der Differentialgleichungen dar, die das Ratengleichgewicht beschreiben.

Der aktuelle Forschungsstand zu Scherbändern zeigt, dass das Phänomen sowohl theoretisch ^{[1][2][3][4][5][6][7][8] [ 9 ] als auch experimentell [ 10 ] [ 11 ][12][ 13 ] gut verstanden ist und verfügbare Materialmodelle gute qualitative Vorhersagen} liefern ^{, obwohl quantitative Vorhersagen oft ungenau sind [ 14 ] . Darüber} hinaus ^{wurden große Fortschritte bei} numerischen Simulationen erzielt ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] ,} sodass die Entstehung und Ausbreitung von Scherbändern in relativ komplexen Situationen mithilfe von Finite-Elemente-Modellen numerisch nachverfolgt werden kann, allerdings nach wie vor mit einem hohen Rechenaufwand verbunden. Von weiterem Interesse sind Simulationen ^, die die Abhängigkeit der Scherbandbildung von der kristallographischen Orientierung in Einkristallen und Polykristallen aufzeigen. Diese Simulationen zeigen, dass bestimmte Orientierungen viel anfälliger für Scherlokalisierung sind als andere. ^{[ 19 ]}

Die meisten polykristallinen Metalle und Legierungen verformen sich üblicherweise durch Scherung, die durch Versetzungen, Zwillingsbildung und/oder Scherzonen hervorgerufen wird. Dies führt zu einer ausgeprägten plastischen Anisotropie auf Kornebene und zu bevorzugten Kornorientierungsverteilungen, d. h. kristallographischen Texturen. Die Kaltwalztexturen der meisten kubisch-flächenzentrierten (kfz) Metalle und Legierungen lassen sich beispielsweise in zwei Typen einteilen: die Messing- und die Kupfertextur . Die Stapelfehlerenergie (SFE) spielt eine wichtige Rolle für die vorherrschenden Mechanismen der plastischen Verformung und die resultierenden Texturen. Bei Aluminium und anderen kfz-Werkstoffen mit hoher SFE ist die Versetzungsgleitung der Hauptmechanismus beim Kaltwalzen, und es bilden sich die Texturkomponenten {112}<111> (Kupfer) und {123}<634> (S) (Kupfertexturen). Im Gegensatz dazu treten in Cu–30 Gew.-% Zn (α-Messing) und verwandten Metallen und Legierungen mit niedriger Stapelfehlerenergie mechanische Zwillingsbildung und Scherbandbildung zusammen mit Versetzungsgleitung als Hauptdeformationsträger auf, insbesondere bei großen plastischen Verformungen. Die resultierenden Walztexturen sind durch die Texturkomponenten {011}<211> (Messing) und {01 1}<100> (Goss) (Messingtextur) charakterisiert. In beiden Fällen spielt die nichtkristallographische Scherbandbildung eine wesentliche Rolle für die spezifische Art der entstehenden Verformungstextur. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Geschlossene Lösungen, die das Auftreten von Scherbändern beschreiben, lassen sich mithilfe der Störungstheorie gewinnen ^{[ 22 ] [ 23 ].} Diese besteht in der Überlagerung eines Störungsfeldes auf einen ungestörten, deformierten Zustand. Insbesondere kann ein unendlich ausgedehntes, inkompressibles, nichtlineares elastisches Material, das unter ebener Dehnung homogen deformiert ist, durch die Überlagerung konzentrierter Kräfte oder durch das Vorhandensein von Rissen oder starren Linieneinschlüssen gestört werden .

Es wurde gezeigt, dass sich die gestörten Felder, wenn der ungestörte Zustand nahe an die Lokalisierungsbedingung (4) herangeführt wird, selbstorganisieren und lokalisierte Felder bilden, die in der Nähe der eingeführten Störung Extremwerte annehmen und entlang der Scherbandrichtungen fokussiert sind. Insbesondere im Fall von Rissen und starren Linieneinschlüssen entstehen solche Scherbänder an den Spitzen der linearen Einschlüsse. ^{[ 24 ]}

Im Rahmen des Störungsansatzes wurde ein inkrementelles Modell für ein Scherband endlicher Länge eingeführt ^{[ 25 ],} das die folgenden Bedingungen entlang seiner Oberfläche vorschreibt:

• Null inkrementelle nominale Scherspannungen;
• Kontinuität der inkrementellen nominalen Normalzugkraft;
• Kontinuität der normalen inkrementellen Verschiebung.

Anhand dieses Modells wurden die folgenden Hauptmerkmale der Scherbandbildung aufgezeigt:

1. Ähnlich wie in der Bruchmechanik entsteht an den Spitzen der Scherbänder eine Quadratwurzel-Singularität in den Spannungs-/Verformungsfeldern;
2. Bei Vorhandensein einer Scherzone ist das Spannungsfeld lokalisiert und stark in der Richtung fokussiert, die parallel zur Scherzone verläuft;
3. Da die mit dem Wachstum der Scherbänder verbundene Energiefreisetzungsrate in der Nähe der Lokalisierungsbedingung (4) gegen unendlich strebt, stellen Scherbänder bevorzugte Versagensarten dar.

• Amorphes Metall
• Verformung (Ingenieurwesen)
• Triaxialer Scherversuch
• Adiabatisches Scherband

• Video des Ames Laboratory (US-Energieministerium) zur Entstehung von Scherzonen. Archiviert am 9. Juni 2010 im Internet Archive.
• Labor für physikalische Modellierung von Strukturen und Photoelastizität (Universität Trient, Italien)