Bedeutend

Die Mantisse ^{[ 1 ]} (auch Koeffizient ^{[ 1 ]} , manchmal Argument ^{[ 2 ]} oder, etwas ungenau , Mantisse [ 3 ], Bruch [ ^{4 ] [} 5 ] ^{[ nb 1 ] oder Charakteristik [ 6 ]} [ 3 ^{] ) ist der erste (} linke) Teil einer Zahl in wissenschaftlicher Notation oder verwandten Konzepten in Gleitkommadarstellung und besteht aus ihren signifikanten Ziffern . Bei negativen Zahlen wird das Minuszeichen nicht mitgezählt.

Je nach Interpretation des Exponenten kann die Mantisse eine ganze Zahl oder eine Bruchzahl darstellen , was die Bezeichnung „Mantisse“ irreführend machen kann, da die Mantisse eines Logarithmus stets dessen Bruchteil ist. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Obwohl die anderen genannten Bezeichnungen gebräuchlich sind, wird „Mantisse “ in IEEE 754 , einem wichtigen technischen Standard für Gleitkommaarithmetik, verwendet. ^{[ 9 ]} Auch der Begriff „Argument“ kann in der Mathematik mehrdeutig sein, da „das Argument einer Zahl“ manchmal die Länge eines Kreisbogens von 1 zu einer Zahl auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene bezeichnet . ^{[ 10 ]}

Die Zahl 123,45 kann als Dezimalzahl mit Gleitkommazahlen dargestellt werden, wobei die ganze Zahl 12345 die Mantisse und ein 10⁻² ^- Potenzterm, auch Charakteristik genannt , ist ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} , wobei −2 der Exponent (und 10 die Basis) ist. Ihr Wert ergibt sich aus folgender Arithmetik:

123,45 = 12345 × 10 ⁻² .

Dieser Wert kann auch in wissenschaftlicher Notation dargestellt werden , wobei die Mantisse 1,2345 als Bruchkoeffizient und +2 als Exponent (und 10 als Basis) verwendet wird:

123,45 = 1 . 2345 × 10 ⁺² .

Der Informatiker Hermann Schmid nannte diese Darstellung mit einer Mantisse im Bereich zwischen 1,0 und 10 jedoch eine modifizierte Normalform . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Für die Basis 2 wird diese 1.xxxx-Form auch als normalisierte Mantisse bezeichnet .

Schließlich kann der Wert im Format dargestellt werden, das durch den Standard für sprachunabhängige Arithmetik und verschiedene Programmiersprachenstandards, darunter Ada , C , Fortran und Modula-2 , vorgegeben ist, wie folgt:

123,45 = 0 . 12345 × 10 ⁺³ .

Schmid nannte diese Darstellung mit einer Mantisse im Bereich zwischen 0,1 und 1,0 die wahre normierte Form . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Bei einer normalisierten Zahl ist die höchstwertige Ziffer immer ungleich null. Im Binärsystem ist diese Ziffer aufgrund dieser Bedingung immer 1. Daher wird sie nicht explizit gespeichert, sondern als verstecktes Bit bezeichnet .

Die Mantisse wird durch ihre Breite in (binären) Stellen charakterisiert . Je nach Kontext kann das versteckte Bit zur Breite hinzugerechnet werden oder nicht. Beispielsweise wird das IEEE-754- Doppelgenauigkeitsformat üblicherweise entweder als 53-Bit-Mantisse (einschließlich des versteckten Bits) oder als 52-Bit-Mantisse (ohne das versteckte Bit) beschrieben. IEEE 754 definiert die Genauigkeit p als die Anzahl der Stellen in der Mantisse, einschließlich eines impliziten führenden Bits (z. B. p = 53 für das Doppelgenauigkeitsformat), also unabhängig von der Kodierung. Der Begriff für das Kodierte (die Mantisse ohne ihr führendes Bit) ist „ nachgestelltes Mantissenfeld“ .

1914 führte Leonardo Torres Quevedo in seinen Essays on Automatics [ ^{14 ]} die Idee der Gleitkommaarithmetik ein , in der er das Format n ; m vorschlug und die Notwendigkeit einer Mantisse fester Größe aufzeigte ^, wie sie heute für Gleitkommadaten verwendet wird. ^{[ 15 ]}

1946 verwendete Arthur Burks die Begriffe Mantisse und Charakteristik zur Beschreibung der beiden Bestandteile einer Gleitkommazahl ( Burks ^{[ 11 ]} et al. ) in Analogie zu den damals gebräuchlichen Logarithmentafeln : Die Charakteristik ist der ganzzahlige Anteil des Logarithmus (d. h. der Exponent), die Mantisse der Bruchteil. Diese Bezeichnung ist unter Informatikern bis heute üblich.

Der Begriff Mantisse wurde 1967 von George Forsythe und Cleve Moler eingeführt ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 5 ]} und wird im IEEE-Standard ^{[ 19 ]} als Koeffizient vor einer oben beschriebenen Zahl in wissenschaftlicher Notation verwendet. Der Bruchteil wird als Bruch bezeichnet .

Um beide Begriffe zu verstehen, beachte man, dass im Binärsystem 1 + Mantisse ≈ Mantisse gilt und diese Entsprechung bei der Speicherung einer Zweierpotenz exakt ist. Dies ermöglicht eine schnelle Approximation des Logarithmus zur Basis 2 und führt zu Algorithmen, beispielsweise zur schnellen Berechnung der Quadratwurzel und der inversen Quadratwurzel . Die implizite führende 1 ist nichts anderes als das versteckte Bit im IEEE-754-Gleitkommaformat, und das Bitfeld, das den Rest speichert, ist somit die Mantisse .

Die Frage, ob die implizite 1 enthalten ist oder nicht, sorgt bei beiden Begriffen – insbesondere bei der Mantisse – für große Verwirrung . Entsprechend der ursprünglichen Verwendung im Kontext von Logarithmen sollte sie nicht enthalten sein.

In Kontexten, in denen 1 als eingeschlossen gilt, verurteilen William Kahan ^{[ 1 ]} , Hauptentwickler von IEEE 754, und Donald E. Knuth , bekannter Programmierer und Autor von „The Art of Computer Programming“ [ ^{6 ] ,} die Verwendung der Mantisse . Dies hat zu einem rückläufigen Gebrauch des Begriffs Mantisse in allen Kontexten geführt. Insbesondere erwähnt der aktuelle IEEE-754-Standard ihn nicht mehr.

• Mantisse (Logarithmus)