Goldstone-Boson

In der Physik sind Goldstone -Bosonen oder Nambu-Goldstone-Bosonen ( NGBs ) Bosonen , die notwendigerweise in Modellen auftreten, die einen spontanen Zusammenbruch kontinuierlicher Symmetrien aufweisen . Sie wurden von Yoichiro Nambu im Rahmen des BCS- Supraleitungsmechanismus entdeckt ^{[ 1 ]} und anschließend von Jeffrey Goldstone aufgeklärt [ ^{2 ]} und im Kontext der Quantenfeldtheorie systematisch verallgemeinert ^{[ 3 ]} . In der Festkörperphysik sind diese Bosonen Quasiteilchen und werden als Goldstone ^{- Moden [ 4 ] oder Anderson-Bogoliubov-Moden [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} bezeichnet .

Diese spinlosen Bosonen entsprechen den spontan gebrochenen internen Symmetriegeneratoren und werden durch deren Quantenzahlen charakterisiert . Sie transformieren (verschoben) sich nichtlinear unter der Wirkung dieser Generatoren und können daher durch sie aus dem asymmetrischen Vakuum angeregt werden. Man kann sie sich somit als Anregungen des Feldes in den Richtungen der gebrochenen Symmetrie im Gruppenraum vorstellen – und sie sind masselos, wenn die spontan gebrochene Symmetrie nicht explizit gebrochen wird .

Ist die Symmetrie hingegen nicht exakt, d. h. wird sie sowohl explizit als auch spontan gebrochen, so sind die entstehenden Bosonen nicht masselos, bleiben aber typischerweise relativ leicht; sie werden Pseudo-Goldstone-Bosonen oder Pseudo-Nambu-Goldstone-Bosonen genannt.

Das Goldstone-Theorem untersucht eine generische kontinuierliche Symmetrie , die spontan gebrochen wird ; d. h., ihre Ströme bleiben erhalten, aber der Grundzustand ist nicht invariant unter der Wirkung der entsprechenden Ladungen. Dann erscheinen notwendigerweise neue masselose (oder leichte, falls die Symmetrie nicht exakt ist) Skalarteilchen im Spektrum möglicher Anregungen. Für jeden Generator der gebrochenen Symmetrie, d. h. der den Grundzustand nicht erhält, existiert ein Skalarteilchen – ein sogenanntes Nambu-Goldstone-Boson. Der Nambu-Goldstone-Modus ist eine langwellige Fluktuation des entsprechenden Ordnungsparameters .

Aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften bei der Kopplung an das Vakuum der jeweiligen symmetriegebrochenen Theorie bewirken verschwindende Impuls-„weiche“ Goldstone-Bosonen, die in feldtheoretischen Amplituden beteiligt sind, dass diese Amplituden verschwinden („Adler-Nullstellen“).

• In Flüssigkeiten ist das Phonon longitudinal und entspricht dem Goldstone-Boson mit spontan gebrochener Galilei-Symmetrie . In Festkörpern ist die Situation komplexer; die Goldstone-Bosonen sind longitudinale und transversale Phononen und weisen spontan gebrochene Galilei-, Translations- und Rotationssymmetrie auf, wobei keine einfache Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den Goldstone-Moden und den gebrochenen Symmetrien besteht.
• In Magneten wird die ursprüngliche Rotationssymmetrie (die ohne äußeres Magnetfeld vorhanden ist) spontan gebrochen, sodass die Magnetisierung in eine bestimmte Richtung zeigt. Die Goldstone-Bosonen sind dann die Magnonen , d. h. Spinwellen, bei denen die lokale Magnetisierungsrichtung oszilliert.
• Die Pionen sind Pseudo-Goldstone-Bosonen , die durch den spontanen Zusammenbruch der chiralen Flavor-Symmetrien der QCD aufgrund der Quarkkondensation infolge der starken Wechselwirkung entstehen. Diese Symmetrien werden zusätzlich durch die Massen der Quarks explizit gebrochen, sodass die Pionen nicht masselos sind, ihre Masse aber deutlich kleiner als typische Hadronenmassen ist.
• Die longitudinalen Polarisationskomponenten der W- und Z-Bosonen entsprechen den Goldstone-Bosonen des spontan gebrochenen Teils der elektroschwachen Symmetrie SU(2)⊗U(1), die jedoch nicht beobachtbar sind. ^{[ nb 1 ]} Da diese Symmetrie geeicht ist, werden die drei potenziellen Goldstone-Bosonen von den drei Eichbosonen absorbiert, die den drei gebrochenen Generatoren entsprechen; dies verleiht diesen drei Eichbosonen eine Masse und den zugehörigen notwendigen dritten Polarisationsfreiheitsgrad. Dies wird im Standardmodell durch den Higgs-Mechanismus beschrieben . Ein analoges Phänomen tritt in der Supraleitung auf , die Nambu als ursprüngliche Inspirationsquelle diente: Das Photon entwickelt eine dynamische Masse (ausgedrückt als magnetischer Flussausschluss aus einem Supraleiter), vgl. die Ginzburg-Landau-Theorie .
• Primordiale Fluktuationen während der Inflation können als Goldstone-Bosonen betrachtet werden, die durch die spontane Symmetriebrechung der Zeittranslationssymmetrie eines de-Sitter-Universums entstehen . Diese Fluktuationen im Inflaton- Skalarfeld sind der Ausgangspunkt für die Bildung kosmischer Strukturen . ^{[ 8 ]}
• Ricciardi und Umezawa schlugen 1967 eine allgemeine Theorie (Quantengehirn) über den möglichen Mechanismus der Gedächtnisspeicherung und des Gedächtnisabrufs im Gehirn auf Basis von Nambu-Goldstone-Bosonen vor. ^{[ 9 ]} Diese Theorie wurde 1995 von Giuseppe Vitiello erweitert, der berücksichtigte, dass das Gehirn ein „offenes“ System ist (das dissipative Quantenmodell des Gehirns). ^{[ 10 ]} Anwendungen der spontanen Symmetriebrechung und des Goldstone-Theorems auf biologische Systeme im Allgemeinen wurden von E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani und G. Vitiello ^{[ 11 , 12 ] sowie} von E. Del Giudice, G. Preparata und G. Vitiello ^{[ 13 ]} veröffentlicht. Mari Jibu und ^Kunio Yasue ^{[ 14 ]} sowie Giuseppe Vitiello ^{[ 15 ]} diskutierten auf Grundlage dieser Erkenntnisse die Implikationen für das Bewusstsein.

Betrachten wir ein komplexes Skalarfeld ϕ mit der Nebenbedingung, dass eine Konstante ist. Eine Möglichkeit, eine solche Nebenbedingung zu erfüllen, besteht darin, einen potenziellen Wechselwirkungsterm in seine Lagrange-Dichte aufzunehmen . ${\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}$

${\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}$

und durch Grenzwertbildung für λ → ∞ . Dies wird als „abelsches nichtlineares σ-Modell“ bezeichnet. ^{[ nb 2 ]}

Die unten stehende Nebenbedingung und Wirkung sind invariant unter einer U (1)-Phasentransformation, δϕ = i εϕ . Das Feld kann so umdefiniert werden, dass es ein reelles Skalarfeld (d. h. ein Teilchen mit Spin Null) θ ohne jegliche Nebenbedingung liefert.

${\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}$

wobei θ das Nambu-Goldstone-Boson ist (tatsächlich ist) und die U (1)-Symmetrietransformation eine Verschiebung von θ bewirkt , nämlich ${\displaystyle v\theta }$

${\displaystyle \delta \theta =\epsilon ~,}$

Der Grundzustand |0〉 wird jedoch nicht erhalten (d. h. die obige infinitesimale Transformation löscht ihn nicht aus – das Kennzeichen der Invarianz), wie aus der Ladung des untenstehenden Stroms hervorgeht.

Somit ist das Vakuum entartet und nicht invariant unter der Wirkung der spontan gebrochenen Symmetrie.

Die zugehörige Lagrange-Dichte ist gegeben durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}$

und somit

${\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\partial ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}$

Beachten Sie, dass der konstante Term in der Lagrange-Dichte keine physikalische Bedeutung hat und der andere Term darin einfach der kinetische Term für einen masselosen Skalar ist. ${\displaystyle m^{2}v^{2}}$

Der durch die Symmetrie induzierte, erhaltene U (1)-Strom ist

${\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}$

Die durch diesen Strom erzeugte Ladung Q verschiebt θ und den Grundzustand in einen neuen, entarteten Grundzustand. Somit verschiebt sich ein Vakuum mit 〈θ〉 = 0 in ein anderes Vakuum mit 〈θ〉 = ε . Der Strom verbindet das ursprüngliche Vakuum mit dem Nambu-Goldstone-Bosonenzustand 〈0| J ₀ (0)| θ〉≠ 0 .

Im Allgemeinen ist in einer Theorie mit mehreren Skalarfeldern ϕ _{_j} der Nambu-Goldstone-Modus ϕ _{_g} masselos und parametrisiert die Kurve möglicher (entarteter) Vakuumzustände. Sein Kennzeichen unter der Transformation mit gebrochener Symmetrie ist die nicht verschwindende Vakuumerwartung 〈δϕ _{_g}〉 , ein Ordnungsparameter , für das Verschwinden 〈ϕ_{_g}〉 = 0 an einem Grundzustand |0〉, der am Minimum des Potentials 〈∂V /∂ϕ _{_i}〉 = 0 gewählt wird . Prinzipiell sollte das Vakuum das Minimum des effektiven Potentials sein , das Quanteneffekte berücksichtigt; in erster Näherung entspricht es jedoch dem klassischen Potential. Die Symmetrie bedingt, dass alle Variationen des Potentials bezüglich der Felder in allen Symmetrierichtungen verschwinden. Der Vakuumwert der Variation erster Ordnung in jeder Richtung verschwindet, wie bereits gezeigt. Der Vakuumwert der Variation zweiter Ordnung muss ebenfalls verschwinden, wie folgt. Verschwindende Vakuumwerte von Feldsymmetrie-Transformationsinkrementen liefern keine neuen Informationen.

Im Gegensatz dazu geben jedoch nichtverschwindende Vakuumerwartungswerte von Transformationsinkrementen , 〈δϕ _g〉 , die relevanten (Goldstone) Null-Eigenvektoren der Massenmatrix an ,

und somit die entsprechenden Eigenwerte bei Masse Null.

Das Prinzip hinter Goldstones Argumentation besteht darin, dass der Grundzustand nicht eindeutig ist. Normalerweise ist der Ladungsoperator für jeden Symmetriestrom aufgrund der Stromerhaltung zeitunabhängig.

${\displaystyle {d \over dt}Q={d \over dt}\int _{x}J^{0}(x)=0.}$

Die Anwendung des Ladungsoperators auf das Vakuum führt entweder zur Vernichtung des Vakuums , falls dieses symmetrisch ist; andernfalls, falls es nicht symmetrisch ist, wie es bei spontaner Symmetriebrechung der Fall ist, erzeugt er durch seine oben dargestellte Verschiebungsfunktion einen Zustand mit der Frequenz Null. Tatsächlich ist die Ladung selbst hier nicht eindeutig definiert (vgl. das Fabri-Picasso-Argument weiter unten).

Aber seine besser beschaffenen Kommutatoren mit Körpern, das heißt, die nichtverschwindenden Transformationsverschiebungen 〈δϕ _g〉 , sind dennoch zeitinvariant ,

${\displaystyle {\frac {d\langle \delta \phi _{g}\rangle }{dt}}=0,}$

Dadurch wird in seiner Fouriertransformierten ein δ( k ⁰ ) erzeugt. ^{[ 16 ]} (Dies stellt sicher, dass das Einfügen eines vollständigen Satzes von Zwischenzuständen in einen nichtverschwindenden Stromkommutator nur dann zu einer verschwindenden Zeitentwicklung führen kann, wenn einer oder mehrere dieser Zustände masselos sind.)

Wenn das Vakuum also nicht invariant unter der Symmetrie ist, erzeugt die Wirkung des Ladungsoperators einen Zustand, der sich vom gewählten Vakuum unterscheidet, aber die Frequenz null aufweist. Dies ist eine langwellige Schwingung eines nahezu stationären Feldes: Es existieren physikalische Zustände mit der Frequenz null, k₀ ^, sodass die Theorie keine Massenlücke aufweisen kann .

Dieses Argument wird durch eine sorgfältige Grenzbetrachtung weiter verdeutlicht. Wenn ein approximativer Ladungsoperator, der in einem riesigen, aber endlichen Bereich A wirkt , auf das Vakuum angewendet wird,

${\displaystyle {d \over dt}Q_{A}={d \over dt}\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}J^{0}(x)=-\int _{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\nabla \cdot J=\int _{x}\nabla \left(e^{-{\frac {x^{2}}{2A^{2}}}}\right)\cdot J,}$

Es wird ein Zustand mit annähernd verschwindender Zeitableitung erzeugt.

${\displaystyle \left\|{d \over dt}Q_{A}|0\rangle \right\|\approx {\frac {1}{A}}\left\|Q_{A}|0\rangle \right\|.}$

Unter der Annahme einer nicht verschwindenden Massenlücke m ₀ ist die Frequenz eines jeden Zustands wie des obigen, der orthogonal zum Vakuum ist, mindestens m ₀ .

${\displaystyle \left\|{\frac {d}{dt}}|\theta \rangle \right\|=\|H|\theta \rangle \|\geq m_{0}\||\theta \rangle \|.}$

Lässt man A groß werden, führt das zu einem Widerspruch. Folglich gilt m₀ = 0. Dieses Argument versagt jedoch _,  wenn die Symmetrie geeicht ist, da der Symmetriegenerator dann lediglich eine Eichtransformation durchführt. Ein eichtransformierter Zustand ist exakt derselbe Zustand, sodass die Anwendung eines Symmetriegenerators keinen Zustand außerhalb des Vakuums erzeugt (siehe Higgs-Mechanismus ).

Satz von Fabri-Picasso. Q existiert nicht wirklich im Hilbertraum, es sei denn, Q |0〉 = 0 .

Das Argument ^{[ 17 ] [ 18 ]} erfordert, dass sowohl das Vakuum als auch die Ladung Q translationsinvariant sind, P |0〉 = 0 , [ P,Q ]= 0 .

Betrachten wir die Korrelationsfunktion der Ladung mit sich selbst,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|QQ|0\rangle &=\int d^{3}x\langle 0|j_{0}(x)Q|0\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Q\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|e^{iPx}j_{0}(0)e^{-iPx}Qe^{iPx}e^{-iPx}\right|0\right\rangle \\&=\int d^{3}x\left\langle 0\left|j_{0}(0)Q\right|0\right\rangle \end{aligned}}}$

Der Integrand auf der rechten Seite hängt also nicht von der Position ab.

Daher ist sein Wert proportional zum gesamten Raumvolumen – es sei denn, die Symmetrie ist ungebrochen, dann gilt Q |0〉 = 0. Folglich existiert Q im Hilbertraum nicht wirklich. ${\displaystyle \|Q|0\rangle \|^{2}=\infty }$

Es gibt eine mögliche Lücke im Theorem. Bei genauer Lektüre besagt es lediglich die Existenz von Nicht- Vakuumzuständen mit beliebig kleinen Energien. Betrachten wir beispielsweise ein chirales N =1 Super-QCD -Modell mit einem von null verschiedenen Squark -VEV , das im Infrarotbereich konform ist . Die chirale Symmetrie ist eine globale Symmetrie , die (teilweise) spontan gebrochen wird. Einige der mit dieser spontanen Symmetriebrechung verbundenen „Goldstone-Bosonen“ sind unter der ungebrochenen Eichgruppe geladen. Daher besitzen diese zusammengesetzten Bosonen ein kontinuierliches Massenspektrum mit beliebig kleinen Massen, dennoch existiert kein Goldstone-Boson mit exakt null Masse . Anders ausgedrückt: Die Goldstone-Bosonen sind Infrateilchen .

Eine Version des Goldstone-Theorems gilt auch für nichtrelativistische Theorien. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Es besagt im Wesentlichen, dass jeder spontan gebrochenen Symmetrie ein Quasiteilchen entspricht, typischerweise ein Boson ohne Energielücke . In der kondensierten Materie werden diese Goldstone-Bosonen auch als lückenlose Moden bezeichnet (d. h. Zustände, deren Energiedispersionsrelation wie folgt lautet und für null ist ), die nichtrelativistische Entsprechung der masselosen Teilchen (d. h. Photonen, deren Dispersionsrelation ebenfalls lautet und für null ist ). Die Energie im nichtrelativistischen Fall kondensierter Materie beträgt H − μN − α → ⋅ P → und nicht H , wie es im relativistischen Fall der Fall wäre. Allerdings können nun zwei verschiedene spontan gebrochene Generatoren dasselbe Nambu-Goldstone-Boson erzeugen .${\displaystyle E\propto p^{n}}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle E=pc}$${\displaystyle p=0}$

Als erstes Beispiel besitzt ein Antiferromagnet 2 Goldstone-Bosonen, ein Ferromagnet hingegen 1 Goldstone-Boson. In beiden Fällen wird die Symmetrie von SO(3) nach SO(2) gebrochen. Beim Antiferromagneten ist die Dispersion gleich null und der Erwartungswert des Grundzustands gleich null. Beim Ferromagneten hingegen ist die Dispersion gleich null und der Erwartungswert des Grundzustands ungleich null, d. h. es liegt eine spontane Symmetriebrechung für den Grundzustand vor ^{[ 21 ] [ 22 ].}${\displaystyle E\propto p}$${\displaystyle E\propto p^{2}}$

Als zweites Beispiel seien die spontane Brechung sowohl der U(1) -Teilchenzahlsymmetrie als auch der Galilei-Symmetrie in einem Suprafluid genannt. Das Phonon ist jedoch in beiden Fällen das Goldstone-Boson. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Auch im Hinblick auf die Symmetriebrechung besteht eine enge Analogie zwischen lückenlosen Moden in kondensierter Materie und dem Higgs-Boson, z. B. beim Phasenübergang von Paramagnet zu Ferromagnet ^{[ 25 ] [ 26 ].}

Im Gegensatz zur Brechung interner Symmetrien muss der Ordnungsparameter bei der Brechung von Raumzeitsymmetrien wie der Lorentz- , konformen, Rotations- oder Translationssymmetrie kein Skalarfeld sein, sondern kann auch ein Tensorfeld sein. Die Anzahl unabhängiger masseloser Moden kann geringer sein als die Anzahl spontan gebrochener Generatoren. Für eine Theorie mit einem Ordnungsparameter, der spontan eine Raumzeitsymmetrie bricht, entspricht die Anzahl der gebrochenen Generatoren abzüglich der Anzahl nichttrivialer unabhängiger Lösungen der Gleichung … ${\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }$${\displaystyle T^{a}}$${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$

${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}$

Die Anzahl der auftretenden Goldstone-Moden wird mit bezeichnet. ^{[ 27 ]} Bei internen Symmetrien besitzt die obige Gleichung keine nichttrivialen Lösungen, sodass der übliche Satz von Goldstone gilt. Existieren Lösungen dennoch, liegt dies an der linearen Abhängigkeit der Goldstone-Moden untereinander; die resultierende Mode lässt sich als Gradient einer anderen Mode darstellen. Da die Raum-Zeit-Abhängigkeit der Lösungen in Richtung der intakten Generatoren verläuft, existieren keine nichttrivialen Lösungen, wenn alle Translationsgeneratoren gebrochen sind, und die Anzahl der Goldstone-Moden entspricht wieder exakt der Anzahl der gebrochenen Generatoren. ${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$

Im Allgemeinen ist das Phonon effektiv das Nambu-Goldstone-Boson für spontan gebrochene Translationssymmetrie ^{[ 28 ]} .

Spontan gebrochene globale fermionische Symmetrien, die in einigen supersymmetrischen Modellen auftreten, führen zu Nambu-Goldstone - Fermionen oder Goldstinos . ^{[ 29 ] [ 30 ]} Diese besitzen Spin 1 /2, anstelle von 0, und tragen alle Quantenzahlen der jeweiligen Supersymmetriegeneratoren, die spontan gebrochen werden.

Die spontane Brechung der Supersymmetrie führt zur Zerlegung von Supermultiplettstrukturen in die charakteristischen nichtlinearen Realisierungen der gebrochenen Supersymmetrie. Dadurch werden Goldstinos zu Superpartnern aller Teilchen der Theorie, unabhängig vom Spin , und zwar zu den einzigen Superpartnern. Das heißt, zwei Nicht-Goldstino-Teilchen sind nur über Supersymmetrie-Transformationen mit Goldstinos verbunden, nicht aber untereinander, selbst wenn sie vor der Brechung der Supersymmetrie bereits verbunden waren. Folglich sind die Massen und Spinmultiplizitäten solcher Teilchen beliebig.

• Pseudo-Goldstone-Boson
• Majoron
• Higgs-Mechanismus
• Satz von Mermin-Wagner
• Vakuum-Erwartungswert
• Satz von Noether