Zeitverschiebungssymmetrie

Die Zeittranslationssymmetrie (auch temporale Translationssymmetrie , TTS ) ist eine mathematische Transformation in der Physik , die die Zeitpunkte von Ereignissen durch ein gemeinsames Intervall verschiebt. Sie besagt, dass die physikalischen Gesetze unter einer solchen Transformation unverändert (invariant) bleiben. Die Zeittranslationssymmetrie ist eine präzise Formulierung der Idee, dass die physikalischen Gesetze im Laufe der Geschichte gleich geblieben sind. Über das Noether-Theorem ist die Zeittranslationssymmetrie eng mit der Energieerhaltung verbunden . ^{[ 1 ]} In der Mathematik bildet die Menge aller Zeittranslationen eines gegebenen Systems eine Lie-Gruppe .

Neben der Zeitsymmetrie existieren in der Natur viele weitere Symmetrien, wie beispielsweise die räumliche Translations- oder Rotationssymmetrie . Diese Symmetrien können gebrochen werden und erklären diverse Phänomene wie Kristalle , Supraleitung und den Higgs-Mechanismus . ^{[ 2 ]} Bis vor Kurzem ging man jedoch davon aus, dass die Zeitsymmetrie unzerstörbar sei. ^{[ 3 ]} Zeitkristalle , ein Materiezustand, der erstmals 2017 beobachtet wurde, brechen die Zeitsymmetrie. ^{[ 4 ]}

Symmetrien sind in der Physik von zentraler Bedeutung und eng mit der Hypothese verknüpft, dass bestimmte physikalische Größen nur relativ und nicht direkt beobachtbar sind . ^{[ 5 ]} Symmetrien beziehen sich auf die Gleichungen, die die physikalischen Gesetze beschreiben (z. B. auf einen Hamilton- oder Lagrange-Operator ), und nicht auf die Anfangsbedingungen, Werte oder Größen der Gleichungen selbst. Sie besagen, dass die Gesetze unter einer Transformation unverändert bleiben. ^{[ 1 ]} Bleibt eine Symmetrie unter einer Transformation erhalten, so nennt man sie invariant . Symmetrien in der Natur führen direkt zu Erhaltungssätzen, die im Noether-Theorem präzise formuliert sind . ^{[ 6 ]}

Symmetrien in der Physik ^{[ 5 ]}

Symmetrie	Transformation	Nicht beobachtbar	Naturschutzgesetz
Raum-Translation	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \mathbf {r} }$	absolute Position im Raum	Schwung
Zeitübersetzung	${\displaystyle t\rightarrow t+\delta t}$	absolute Zeit	Energie
Drehung	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} '}$	absolute Richtung im Raum	Drehimpuls
Raumumkehrung	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r} }$	absolut links oder rechts	Parität
Zeitumkehr	${\displaystyle t\rightarrow -t}$	absolutes Zeichen der Zeit	Kramers Degeneration
Zeichen der Rückübertragung der Gebühr	${\displaystyle e\rightarrow -e}$	absolutes Vorzeichen der elektrischen Ladung	Ladungskonjugation
Partikelsubstitution		Unterscheidbarkeit identischer Partikel	Bose- oder Fermi-Statistik
Innenrotation	${\displaystyle \psi \rightarrow e^{iN\theta }\psi }$	relative Phase zwischen verschiedenen Normalzuständen	Teilchenzahl

Um die Zeitverschiebungssymmetrie formal zu beschreiben, sagen wir, dass die Gleichungen oder Gesetze, die ein System zu den Zeitpunkten beschreiben , für jeden Wert von und gleich sind . ${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\tau }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau }$

Betrachten wir beispielsweise die Newtonsche Gleichung:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)}$

Als Lösung findet man die Kombination: ${\displaystyle x=x(t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))}$

Sie hängt nicht von der Variablen ab . Diese Größe beschreibt die Gesamtenergie, deren Erhaltung auf der Zeittranslationsinvarianz der Bewegungsgleichung beruht. Durch die Untersuchung der Zusammensetzung von Symmetrietransformationen, z. B. geometrischer Objekte, gelangt man zu dem Schluss, dass diese eine Gruppe bilden, genauer gesagt eine Lie-Transformationsgruppe, wenn man stetige, endliche Symmetrietransformationen betrachtet. Unterschiedliche Symmetrien bilden unterschiedliche Gruppen mit unterschiedlichen Geometrien. Zeitunabhängige Hamiltonsche Systeme bilden eine Gruppe von Zeittranslationen, die durch die nichtkompakte, abelsche Lie-Gruppe beschrieben wird . TTS ist daher eine dynamische oder Hamilton-abhängige Symmetrie und keine kinematische Symmetrie, die für alle betrachteten Hamilton-Operatoren gleich wäre. Weitere Beispiele finden sich in der Untersuchung von Zeitentwicklungsgleichungen der klassischen und Quantenphysik. ${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Viele Differentialgleichungen, die zeitliche Entwicklungen beschreiben, sind Ausdrücke von Invarianten, die einer Lie-Gruppe zugeordnet sind . Die Theorie dieser Gruppen bietet einen einheitlichen Ansatzpunkt für die Untersuchung aller speziellen Funktionen und ihrer Eigenschaften. Tatsächlich begründete Sophus Lie die Theorie der Lie-Gruppen bei der Untersuchung der Symmetrien von Differentialgleichungen. Die Integration einer (partiellen) Differentialgleichung mittels Trennung der Variablen oder mithilfe von Lie-algebraischen Methoden ist eng mit der Existenz von Symmetrien verbunden. Beispielsweise lässt sich die exakte Lösbarkeit der Schrödingergleichung in der Quantenmechanik auf die zugrundeliegenden Invarianten zurückführen. Im letzteren Fall ermöglicht die Untersuchung von Symmetrien eine Interpretation der Entartungen , bei denen unterschiedliche Konfigurationen dieselbe Energie besitzen, die typischerweise im Energiespektrum von Quantensystemen auftreten. Kontinuierliche Symmetrien in der Physik werden oft durch infinitesimale anstatt durch endliche Transformationen formuliert, d. h. man betrachtet die Lie-Algebra anstatt der Lie-Gruppe von Transformationen.

Die Invarianz des Hamiltonoperators eines isolierten Systems unter Zeitverschiebung impliziert, dass sich seine Energie mit der Zeit nicht ändert. Die Energieerhaltung impliziert gemäß den Heisenbergschen Bewegungsgleichungen, dass … ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {H}}]=0}$

${\displaystyle [e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0}$

oder:

${\displaystyle [{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0}$

Wo befindet sich der Zeitverschiebungsoperator, der die Invarianz des Hamiltonoperators unter der Zeitverschiebungsoperation impliziert und zur Energieerhaltung führt? ${\displaystyle {\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }}$

In vielen nichtlinearen Feldtheorien wie der allgemeinen Relativitätstheorie oder der Yang-Mills-Theorie sind die grundlegenden Feldgleichungen hochgradig nichtlinear, und exakte Lösungen sind nur für hinreichend symmetrische Materieverteilungen bekannt (z. B. rotations- oder axialsymmetrische Konfigurationen). Zeittranslationssymmetrie ist nur in Raumzeiten gewährleistet , in denen die Metrik statisch ist, d. h. in denen ein Koordinatensystem existiert, dessen Metrikkoeffizienten keine Zeitvariable enthalten. Viele Systeme der allgemeinen Relativitätstheorie sind in keinem Bezugssystem statisch, sodass keine Energieerhaltung definiert werden kann.

Zeitkristalle , ein Materiezustand, der erstmals 2017 beobachtet wurde, brechen die diskrete Zeitübersetzungssymmetrie. ^{[ 4 ]}

• Die Feynman-Vorlesungen über Physik – Zeitübersetzung