Steradian

Das Steradiant (Symbol: sr ) oder Quadratradian ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} ist die Einheit des Raumwinkels im Internationalen Einheitensystem (SI). Es wird in der dreidimensionalen Geometrie verwendet und ist analog zum Radiant , der ebene Winkel quantifiziert . Ein Raumwinkel in Form eines Kreiskegels kann von seinem Mittelpunkt auf eine Kugel projiziert werden , wodurch eine Kugelkappe entsteht , wo der Kegel die Kugel schneidet. Die Größe des Raumwinkels, ausgedrückt in Steradiant, ist definiert als der Quotient aus der Oberfläche der Kugelkappe und dem Quadrat des Kugelradius. Dies ist analog dazu, wie ein ebener Winkel, projiziert auf einen Kreis, einen Kreisbogen auf dem Umfang beschreibt, dessen Länge proportional zum Winkel ist. Steradiant können verwendet werden, um einen Raumwinkel jeder projizierten Form zu messen. Der eingeschlossene Raumwinkel ist derselbe wie der eines Kegels mit derselben projizierten Fläche. Ein Raumwinkel von einem Steradiant entspricht einer Kegelöffnung von ungefähr 1,144 Radiant bzw. 65,54 Grad.

Im SI-System gilt der Raumwinkel als dimensionslose Größe, nämlich als Verhältnis der auf eine umgebende Kugel projizierten Fläche zum Quadrat ihres Radius. Dies entspricht der Anzahl der Quadratradiane im Raumwinkel. Das bedeutet, dass ein Steradiant im SI-System die Anzahl der Quadratradiane in einem Raumwinkel von einem Quadratradian angibt, also der Zahl Eins. Um dimensionslose Größen anderer Art , wie beispielsweise das Radiant (im SI-System ein Verhältnis von Längeneinheiten), zu unterscheiden, wird das Symbol sr verwendet. So kann beispielsweise die Strahlungsintensität in Watt pro Steradiant (W⋅sr⁻¹) gemessen werden ^. Der Steradiant war früher eine SI-Zusatzeinheit , diese Kategorie wurde jedoch 1995 abgeschafft, und der Steradiant gilt nun als abgeleitete SI-Einheit .

Der Name Steradiant leitet sich vom Griechischen στερεός stereos 'massiv' + Radiant ab.

Definition

Ein Steradiant ist definiert als der Raumwinkel, der im Mittelpunkt einer Einheitskugel von einer Einheitsfläche ( beliebiger Form) auf ihrer Oberfläche eingeschlossen wird . Bei einer allgemeinen Kugel mit Radius $r$ schließt jeder Flächenabschnitt mit der Fläche $A$ $=$ $r² im Mittelpunkt einen Raumwinkel von einem$ $Steradiant$ ein. ^[³^]

Der Raumwinkel eines Kreiskegels steht in Zusammenhang mit der Fläche, die er aus einer Kugel ausschneidet:

\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\ {\text{sr}}\,={\frac {2\pi h}{r}}\ {\text{sr}},

Wo

$Ω$ ist der Raumwinkel
$A$ ist die Oberfläche der Kugelkappe , $2 πrh$ ,
$r$ ist der Radius der Kugel,
$h$ ist die Höhe der Kappe,
sr ist die Einheit, Steradiant; sr = rad ² .

Da die Oberfläche $A$ einer Kugel 4πr² beträgt $, folgt$ aus der Definition, dass eine Kugel in ihrem Mittelpunkt einen Raumwinkel von 4π Steradiant (≈ 12,56637 sr) einschließt, oder dass ein Steradiant 1/4π ≈ 0,07958 einer Kugel einschließt $.$ $Aus$ $demselben$ $Grund beträgt$ der maximale Raumwinkel, der von einem beliebigen Punkt aus eingeschlossen werden kann, $4π$ $sr$ .

Sonstige Eigenschaften

Die Fläche einer Kugelkappe beträgt $A = 2 πrh$ , wobei $h$ die „Höhe“ der Kappe ist. $Wenn$ $A = r²,$ dann $H / R ⁠ = ⁠ 1 / 2 π Daraus$ lässt sich die Kegelöffnung (ein ebener Winkel) $2 θ$ des Querschnitts eines einfachen sphärischen Kegels berechnen , dessen Raumwinkel ein Steradiant beträgt:

\theta =\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right),

woraus $θ$ ≈ 0,572 rad = 32,77° und Apertur $2 θ$ ≈ 1,144 rad = 65,54° folgt.

Der Raumwinkel eines sphärischen Kegels, dessen Querschnitt den Winkel $2 θ$ einschließt, beträgt:

\Omega =2\pi (1-\cos \theta ){\text{ sr}}=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\text{ sr}}.

Ein Steradiant entspricht auch $⁠$ $1 / 4 π einer$ vollständigen Kugel ( Spat ), bis $() 360° / 2 π) 2$ ≈ 3282,80635 Quadratgrad und der Kugelfläche eines Polygons mit einem Winkelüberschuss von mehr als 1 Radiant.

SI-Vielfache

Millisteradianten (msr) und Mikrosteradianten (μsr) werden gelegentlich zur Beschreibung von Licht- und Teilchenstrahlen verwendet . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Andere Vielfache werden selten verwendet.

Siehe auch

Referenzen

^ Stutzman, Warren L.; Thiele, Gary A. (22.05.2012). Antennentheorie und -design . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9Die
^ Woolard, Edgar (02.12.2012). Sphärische Astronomie . Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9Die
^ „Steradian“, McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms , fünfte Auflage, Sybil P. Parker, Chefredakteurin. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5Die
^ Stephen M. Shafroth; James Christopher Austin (1997), Beschleunigerbasierte Atomphysik: Techniken und Anwendungen , S. 333, ISBN 1563964848
^ R. Bracewell, Govind Swarup, „Die Stanford-Mikrowellenspektroheliographenantenne, ein mikrosteradianisches Bleistiftstrahlinterferometer“ IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22–30 (1961)

Externe Links

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[1] Stutzman, Warren L.; Thiele, Gary A. (22.05.2012). Antennentheorie und -design . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9Die

[2] Woolard, Edgar (02.12.2012). Sphärische Astronomie . Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9Die

[3] „Steradian“, McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms , fünfte Auflage, Sybil P. Parker, Chefredakteurin. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5Die

[4] Stephen M. Shafroth; James Christopher Austin (1997), Beschleunigerbasierte Atomphysik: Techniken und Anwendungen , S. 333, ISBN 1563964848

[5] R. Bracewell, Govind Swarup, „Die Stanford-Mikrowellenspektroheliographenantenne, ein mikrosteradianisches Bleistiftstrahlinterferometer“ IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22–30 (1961)

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