Festkörpergeometrie

Die Raumgeometrie oder Stereometrie ist die Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raums (3D-Raum). ^{[ 1 ]} Ein Körper ist der Bereich des 3D-Raums, der von einer zweidimensionalen geschlossenen Oberfläche begrenzt wird ; beispielsweise besteht eine Vollkugel aus einer Kugel und ihrem Inneren .

Die Geometrie von Körpern befasst sich mit der Messung des Volumens verschiedener Körper, darunter Pyramiden , Prismen , Würfel (und andere Polyeder ), Zylinder , Kegel (einschließlich Kegelstümpfe ) und andere Rotationskörper . ^{[ 2 ]}

Die Pythagoreer befassten sich mit den regelmäßigen Körpern , doch Pyramide, Prisma, Kegel und Zylinder wurden erst von den Platonikern untersucht . Eudoxos legte deren Volumen fest und bewies, dass Pyramide und Kegel ein Drittel des Volumens eines Prismas bzw. eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe besitzen. Er entdeckte vermutlich auch den Beweis, dass das von einer Kugel umschlossene Volumen proportional zum Kubus ihres Radius ist . ^{[ 3 ]}

Zu den grundlegenden Themen der Raumgeometrie und Stereometrie gehören:

Fortgeschrittene Themen umfassen:

• projektive Geometrie dreier Dimensionen (die zu einem Beweis des Satzes von Desargues unter Verwendung einer zusätzlichen Dimension führt)
• weitere Polyeder
• darstellende Geometrie .

Während eine Kugel die Oberfläche einer Kugel ist , ist es bei anderen festen Körpern manchmal unklar, ob sich der Begriff auf die Oberfläche des Körpers oder auf das darin eingeschlossene Volumen bezieht, insbesondere bei einem Zylinder .

Haupttypen von Formen, die ein Volumen entweder bilden oder definieren.

Figur	Definitionen	Bilder
Parallelepiped	Ein Polyeder mit sechs Flächen ( Hexaeder ), von denen jede ein Parallelogramm ist. Ein Hexaeder mit drei Paaren paralleler Flächen Ein Prisma , dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist.
Rhomboeder	Ein Parallelepiped, bei dem alle Kanten die gleiche Länge haben. Ein Würfel , nur dass seine Flächen keine Quadrate, sondern Rauten sind.
Quader	Ein konvexes Polyeder, das von sechs viereckigen Flächen begrenzt wird und dessen Polyedergraph mit dem eines Würfels übereinstimmt [ 4 ]. Manche Quellen fordern außerdem, dass jede der Flächen ein Rechteck ist (sodass jeweils zwei benachbarte Flächen einen rechten Winkel bilden ). Dieser restriktivere Quadertyp wird auch als rechteckiger Quader , gerader Quader , rechteckige Box , rechteckiges Hexaeder , gerades rechteckiges Prisma oder rechteckiges Parallelepiped bezeichnet . [ 5 ]
Polyeder	Flache polygonale Flächen , gerade Kanten und scharfe Ecken oder Eckpunkte	Kleines Sterndodekaeder	Toroidalpolyeder
Einheitliches Polyeder	Regelmäßige Polygone als Flächen und ist eckentransitiv (d. h. es gibt eine Isometrie , die jeden Eckpunkt auf jeden anderen abbildet).	(Reguläres) Tetraeder und Würfel	Einheitliches Stumpfdodekaeder
Pyramide	Ein Polyeder, bestehend aus einer n- seitigen polygonalen Grundfläche und einem Eckpunkt	quadratische Pyramide
Prisma	Ein Polyeder, bestehend aus einer n- seitigen polygonalen Grundfläche , einer zweiten Grundfläche, die eine verschobene Kopie (starr ohne Drehung verschoben) der ersten ist, und n weiteren Flächen (notwendigerweise alles Parallelogramme ), die entsprechende Seiten der beiden Grundflächen verbinden.	sechseckiges Prisma
Antiprisma	Ein Polyeder, bestehend aus einer n- seitigen polygonalen Grundfläche und einer zweiten, verschobenen und gedrehten Grundfläche.	quadratisches Antiprisma
Bipyramide	Ein Polyeder, bestehend aus einem n- seitigen polygonalen Zentrum mit zwei Spitzen.	dreieckige Bipyramide
Trapezoid	Ein Polyeder mit 2n Drachenvierkantenflächen um eine Achse, mit halben Versätzen	tetragonales Trapezoeder
Kegel	Verjüngt sich sanft von einer flachen Basis (häufig, aber nicht notwendigerweise, kreisförmig) zu einem Punkt, der als Scheitelpunkt oder Vertex bezeichnet wird.	Ein gerader Kreiskegel und ein schiefer Kreiskegel
Zylinder	Gerade, parallele Seiten und ein kreisförmiger oder ovaler Querschnitt	Ein massiver elliptischer Zylinder	Ein gerader und ein schiefer Kreiszylinder
Ellipsoid	Eine Oberfläche, die aus einer Kugel durch Verformung mittels richtungsabhängiger Skalierung oder allgemeiner durch eine affine Transformation gewonnen werden kann .	Beispiele für Ellipsoide	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1:}$Kugel (oben, a=b=c=4), Sphäroid (unten links, a=b=5, c=3), dreiachsiges Ellipsoid (unten rechts, a=4,5, b=6, c=3)]]
Zitrone	Eine Linse (oder weniger als die Hälfte eines Kreisbogens) rotiert um eine Achse, die durch die Endpunkte der Linse (bzw. des Bogens) verläuft [ 6 ].
Hyperboloid	Eine Fläche , die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Hauptachsen erzeugt wird

In der Festkörpergeometrie kommen verschiedene Techniken und Werkzeuge zum Einsatz. Analytische Geometrie und Vektortechniken spielen dabei eine wichtige Rolle, da sie die systematische Anwendung linearer Gleichungen und Matrizenalgebra ermöglichen , die insbesondere für höhere Dimensionen von Bedeutung sind.

Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Festkörpergeometrie und Stereometrie ist die 3D-Computergrafik .

• Euklidische Geometrie
• Form
• Festkörpermodellierung
• Oberfläche

• Robert Baldwin Hayward (1890) Die Elemente der Raumgeometrie (via Internet Archive)
• Kiselev, AP (2008). Geometrie . Band II. Stereometrie. Übersetzt von Alexander Givental. Sumizdat.