Zeit anhalten

In der Wahrscheinlichkeitstheorie , insbesondere in der Untersuchung stochastischer Prozesse , ist die Stoppzeit (auch Markov-Zeit , Markov-Moment , optionale Stoppzeit oder optionale Zeit ^{[ 1 ]} ) eine spezielle Art von „Zufallszeit“: eine Zufallsvariable , deren Wert als der Zeitpunkt interpretiert wird, zu dem ein gegebener stochastischer Prozess ein bestimmtes, interessierendes Verhalten zeigt. Eine Stoppzeit wird häufig durch eine Stoppregel definiert , einen Mechanismus, der anhand des aktuellen Zustands und vergangener Ereignisse entscheidet, ob ein Prozess fortgesetzt oder abgebrochen wird. Diese Regel führt fast immer zu einer Entscheidung, den Prozess zu einem endlichen Zeitpunkt zu beenden.

Stoppzeiten spielen in der Entscheidungstheorie eine Rolle , und der optionale Stoppsatz ist in diesem Zusammenhang ein wichtiges Ergebnis. Stoppzeiten werden auch häufig in mathematischen Beweisen verwendet, um, wie Chung es in seinem Buch (1982) formulierte, „das Kontinuum der Zeit zu bändigen“.

Sei eine Zufallsvariable, die auf dem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in definiert ist . Dann heißt Stoppzeit (bezüglich der Filtration ), wenn die folgende Bedingung gilt: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} })}$

${\displaystyle \{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}}$für alle${\displaystyle n}$

Intuitiv bedeutet diese Bedingung, dass die "Entscheidung", ob zum Zeitpunkt angehalten werden soll, ausschließlich auf den zum Zeitpunkt vorhandenen Informationen basieren darf und nicht auf zukünftigen Informationen. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Sei eine Zufallsvariable, die auf dem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in definiert ist . In den meisten Fällen gilt . Dann wird als Stoppzeit (bezüglich der Filtration ) bezeichnet, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T=[0,+\infty )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$für alle${\displaystyle t\in T}$

Sei eine Zufallsvariable, die auf dem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in definiert ist . Dann heißt Stoppzeit, wenn der stochastische Prozess , definiert durch ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ falls }}t<\tau \\0&{\text{ falls }}t\geq \tau \end{cases}}}$

ist an die Filtration angepasst .${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

Einige Autoren schließen Fälle, in denen , explizit aus , während andere Autoren zulassen , dass im Abschluss von jeden beliebigen Wert annimmt . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T}$

Um einige Beispiele für zufällige Zeitpunkte zu veranschaulichen, die Stoppregeln darstellen und solche, die dies nicht tun, betrachten wir einen Spieler, der Roulette mit einem typischen Hausvorteil spielt, mit 100 Dollar beginnt und in jedem Spiel 1 Dollar auf Rot setzt:

• Das Spielen von genau fünf Spielen entspricht der Stoppzeit τ  = 5 und ist eine Stoppregel.
• Die Regel , dass man so lange spielt, bis entweder das Geld aufgebraucht ist oder 500 Spiele absolviert wurden, gilt als Spielstopp.
• Das Spielen bis zum Erreichen des maximalen Vorsprungs ist keine Stoppregel und legt keine Stoppzeit fest, da es Informationen über die Zukunft sowie die Gegenwart und Vergangenheit erfordert.
• Die Regel , dass sie so lange spielen, bis sie entweder ihr Geld verdoppelt haben oder ihr Geld aufgebraucht ist, ist , dass sie aufhören, auch wenn es potenziell keine Begrenzung für die Anzahl der Spiele gibt, die sie spielen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie in endlicher Zeit aufhören, beträgt jedoch 1.

Um die allgemeinere Definition der Stoppzeit zu veranschaulichen, betrachten wir die Brownsche Bewegung , einen stochastischen Prozess , bei dem jedes eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ist . Wir definieren eine Filtration auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum, indem wir die σ -Algebra definieren, die von allen Mengen der Form erzeugt wird, wobei eine Borel -Menge ist . Intuitiv liegt ein Ereignis E genau dann in , wenn wir allein durch Beobachtung der Brownschen Bewegung von Zeitpunkt 0 bis Zeitpunkt t feststellen können, ob E wahr oder falsch ist . ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle B_{t}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle (B_{s})^{-1}(A)}$${\displaystyle 0\leq s\leq t}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

• Jede Konstante ist (trivialerweise) eine Stoppzeit; sie entspricht der Stoppregel „Stopp nach der Zeit “.${\displaystyle \tau :=t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$
• Sei dann eine Stoppzeit für die Brownsche Bewegung, die der Stoppregel entspricht: „Stopp, sobald die Brownsche Bewegung den Wert a erreicht .“${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}=a\}}$
• Eine weitere Stoppzeit ist gegeben durch . Sie entspricht der Stoppregel „Stopp, sobald die Brownsche Bewegung über einen zusammenhängenden Abschnitt der Länge 1 Zeiteinheit positiv war“.${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ für alle }}s\in [t-1,t]\}}$
• _{Im Allgemeinen gilt} : Wenn τ₁ _und τ₂ _Stoppzeiten sind, _dann sind auch ihr Minimum , ihr Maximum und ihre Summe τ₁  +  τ₂ Stoppzeiten. (Dies gilt nicht für Differenzen und Produkte, da diese unter Umständen einen Blick in die Zukunft erfordern, um den Stoppzeitpunkt zu bestimmen.)${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}}$

Trefferzeiten wie im zweiten Beispiel oben können wichtige Beispiele für Stoppzeiten sein. Während es relativ einfach ist zu zeigen, dass im Wesentlichen alle Stoppzeiten auch Trefferzeiten sind ^{[ 2 ],} kann es deutlich schwieriger sein zu zeigen, dass eine bestimmte Trefferzeit eine Stoppzeit ist. Letztere Ergebnisse werden als Début-Theorem bezeichnet .

Stoppzeiten werden häufig verwendet, um bestimmte Eigenschaften stochastischer Prozesse auf Situationen zu verallgemeinern, in denen die gewünschte Eigenschaft nur lokal erfüllt ist. Ist X ein Prozess und τ eine Stoppzeit, so bezeichnet X ^τ den Prozess X, der zum Zeitpunkt τ gestoppt wurde .

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

Dann sagt man, dass X lokal eine bestimmte Eigenschaft P erfüllt , wenn es eine Folge von Stoppzeiten τ_{_n} gibt , die gegen unendlich strebt und für die die Prozesse

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

die Eigenschaft P erfüllen . Gängige Beispiele mit der Zeitindexmenge I = [0, ∞) sind die folgenden:

Lokaler Martingalprozess . Ein Prozess X ist ein lokaler Martingal, wenn er càdlàg ist und eine gegen unendlich wachsende Folge von Stoppzeiten τ _n existiert , sodass

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

ist ein Martingal für jedes n .

Lokal integrierbarer Prozess . Ein nichtnegativer und monoton wachsender Prozess X heißt lokal integrierbar, wenn es eine Folge von Stoppzeiten τ _{_n} gibt , die gegen unendlich strebt, sodass

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}\right]<\infty }$

für jedes n .

Stoppzeiten, wobei der Zeitindex I = [0,∞) gesetzt ist, werden oft in verschiedene Typen unterteilt, je nachdem, ob es möglich ist, vorherzusagen, wann sie eintreten werden.

Eine Stoppzeit τ ist vorhersagbar, wenn sie dem Grenzwert einer aufsteigenden Folge von Stoppzeiten τ _n entspricht _, wobei τ _{_n} < τ gilt , wann immer τ > 0. Diese Folge τ _{_n} kündigt τ an , und vorhersagbare Stoppzeiten werden auch als ankündigbar bezeichnet . Beispiele für vorhersagbare Stoppzeiten sind Trefferzeiten von stetigen und adaptierten Prozessen. Wenn τ der erste Zeitpunkt ist, zu dem ein stetiger und reellwertiger Prozess X einen Wert a annimmt , dann wird er durch die Folge τ_{_n} angekündigt , wobei τ_{_n} der erste Zeitpunkt ist, zu dem X innerhalb eines Abstands von 1/ n von a liegt .

Erreichbare Stoppzeiten sind solche, die durch eine Folge vorhersagbarer Zeiten abgedeckt werden können. Das heißt, eine Stoppzeit τ ist erreichbar, wenn P( τ = τ_{_n} für ein n ) = 1 gilt, wobei τ_{_n} vorhersagbare Zeiten sind.

Ein Stoppzeitpunkt τ ist vollständig unzugänglich, wenn er niemals durch eine aufsteigende Folge von Stoppzeitpunkten vorhergesagt werden kann. Äquivalent dazu gilt P( τ = σ < ∞) = 0 für jeden vorhersagbaren Zeitpunkt σ . Beispiele für vollständig unzugängliche Stoppzeitpunkte sind die Sprungzeiten von Poisson-Prozessen .

Jede Stoppzeit τ lässt sich eindeutig in eine erreichbare und eine völlig unerreichbare Zeit zerlegen. Das heißt, es existiert genau eine erreichbare Stoppzeit σ und eine völlig unerreichbare Zeit υ, sodass τ = σ gilt, falls σ < ∞, τ = υ gilt, falls υ < ∞, und τ = ∞ gilt, falls σ = υ = ∞. Es ist zu beachten, dass die Stoppzeiten in diesem Zerlegungsresultat nicht fast sicher endlich sein müssen und auch gleich ∞ sein können.

In klinischen Studien werden häufig Zwischenanalysen durchgeführt, um festzustellen, ob die Studienziele bereits erreicht wurden. Zwischenanalysen bergen jedoch das Risiko falsch-positiver Ergebnisse. Daher werden Abbruchkriterien verwendet, um die Anzahl und den Zeitpunkt der Zwischenanalysen festzulegen (auch als Alpha-Spending bezeichnet, um die Rate falsch-positiver Ergebnisse anzugeben). Bei jeder der R Zwischenanalysen wird die Studie abgebrochen, wenn die Likelihood unter einen Schwellenwert p fällt, der von der verwendeten Methode abhängt. Siehe Sequenzielle Analyse .

• Optimales Anhalten
• Waldsche Gleichung
• Chancenalgorithmus
• Sekretärinnenproblem
• Trefferzeit
• Prozess gestoppt
• Störungsproblem
• Debütsatz
• Sequenzanalyse

• Thomas S. Ferguson , „Wer hat das Sekretärinnenproblem gelöst?“, Stat. Sci. Bd. 4, 282–296, (1989).
• Eine Einführung in das Anhalten von Zeiten.
• F. Thomas Bruss , „Summe die Chancen zu eins und höre auf“, Annals of Probability, Band 4, 1384–1391, (2000)
• Chung, Kai Lai (1982). Vorträge von Markov-Prozessen bis zur Brownschen Bewegung . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften Nr. 249. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90618-8Die
• H. Vincent Poor und Olympia Hadjiliadis (2008). Schnellste Erkennung (1. Aufl.). Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62104-5Die
• Protter, Philip E. (2005). Stochastische Integration und Differentialgleichungen . Stochastische Modellierung und angewandte Wahrscheinlichkeit Nr. 21 (2. Auflage (Version 2.1, korrigierte 3. Auflage)). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7Die
• Shiryaev, Albert N. (2007). Optimale Stoppregeln . Springer. ISBN 978-3-540-74010-0Die