Symmetrisches Spiel

In der Spieltheorie ist ein Spiel symmetrisch , wenn die Auszahlungen für eine bestimmte Strategie ausschließlich von den anderen eingesetzten Strategien abhängen, nicht aber davon, wer sie spielt. Kann man die Identität der Spieler ändern, ohne die Auszahlungen der Strategien zu beeinflussen, so ist ein Spiel symmetrisch. Symmetrie kann verschiedene Formen annehmen. Ordinalsymmetrische Spiele sind symmetrisch hinsichtlich der ordinalen Struktur ihrer Auszahlungen. Ein Spiel ist genau dann quantitativ symmetrisch, wenn es symmetrisch hinsichtlich der exakten Auszahlungen ist. Ein Partnerschaftsspiel ist ein symmetrisches Spiel, bei dem beide Spieler für jede Strategiekombination identische Auszahlungen erhalten. Das heißt, die Auszahlung für Strategie a gegen Strategie b ist dieselbe wie für Strategie b gegen Strategie a .

Nur 12 der 144 ordinal unterschiedlichen 2x2-Spiele sind symmetrisch. Viele der häufig untersuchten 2x2-Spiele sind jedoch zumindest ordinal symmetrisch. Die Standarddarstellungen von „Chicken“ , dem Gefangenendilemma und der Hirschjagd sind allesamt symmetrische Spiele. Formal muss die Auszahlungsmatrix eines 2x2-Spiels dem rechts abgebildeten Schema entsprechen , um symmetrisch zu sein .

Die Anforderungen an ein Spiel, um ordinal symmetrisch zu sein, sind schwächer; es genügt, wenn die ordinale Rangfolge der Auszahlungen dem Schema auf der rechten Seite entspricht.

Nash (1951) zeigt, dass jedes endliche symmetrische Spiel ein symmetrisches gemischtes Strategie- Nash-Gleichgewicht besitzt . Cheng et al. (2004) zeigen, dass jedes symmetrische Zwei-Strategien-Spiel ein (nicht notwendigerweise symmetrisches) reines Strategie- Nash-Gleichgewicht besitzt . Emmons et al. (2022) zeigen, dass in jedem Spiel mit gemeinsamer Auszahlung (auch Teamspiel genannt), d. h. in jedem Spiel, in dem alle Spieler die gleiche Auszahlung erhalten, jedes optimale Strategieprofil ebenfalls ein Nash-Gleichgewicht ist.

Symmetrien beziehen sich hier auf Symmetrien in den Auszahlungen. Biologen bezeichnen Asymmetrien in den Auszahlungen zwischen Spielern in einem Spiel oft als korrelierte Asymmetrien . Diese stehen im Gegensatz zu unkorrelierten Asymmetrien , die rein informativer Natur sind und keinen Einfluss auf die Auszahlungen haben (siehe z. B. das Habicht-Taube -Spiel).

Ein Spiel mit einer Auszahlung von für Spieler , wobei die Strategiemenge des Spielers und ist , heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation gilt : ${\displaystyle U_{i}\colon A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{n}\longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{1}=A_{2}=\ldots =A_{N}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle U_{\pi (i)}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{i}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$^{[ 1 ]}

Partha Dasgupta und Eric Maskin geben die folgende Definition an, die seither in der wirtschaftswissenschaftlichen Literatur immer wieder zitiert wurde.

${\displaystyle U_{i}(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{N})=U_{\pi (i)}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (i)},\ldots ,a_{\pi (N)}).}$

Dies ist jedoch eine stärkere Bedingung, die impliziert, dass das Spiel nicht nur im oben genannten Sinne symmetrisch ist, sondern auch ein Spiel mit gemeinsamen Interessen darstellt, in dem Sinne, dass die Auszahlungen aller Spieler identisch sind. ^{[ 1 ]}

• Shih-Fen Cheng, Daniel M. Reeves, Yevgeniy Vorobeychik und Michael P. Wellman. Anmerkungen zu Gleichgewichten in symmetrischen Spielen, Internationale Gemeinsame Konferenz über autonome Agenten und Multiagentensysteme, 6. Workshop über spieltheoretische und entscheidungstheoretische Agenten, New York City, NY, August 2004. [1]
• Symmetrisches Spiel auf Gametheory.net
• Dasgupta, Partha ; Maskin, Eric (1986). „Die Existenz von Gleichgewichten in diskontinuierlichen ökonomischen Spielen, I: Theorie“. Review of Economic Studies . 53 (1): 1–26 . doi : 10.2307/2297588 . JSTOR  2297588 .
• Nash, John (September 1951). „Nicht-kooperative Spiele“. Annals of Mathematics . 2. Serie 54 (2): 286–295 . doi : 10.2307/1969529 . JSTOR  1969529 .
• Emmons, Scott; Oesterheld, Caspar; Critch, Andrew; Conitzer, Vincent; Russell, Stuart (2022). „Symmetrie, Gleichgewichte und Robustheit in Common-Payoff-Spielen“ (PDF) . Proceedings of the International Conference on Machine Learning (ICML) . PMLR 162. Abgerufen am 21. April 2024 .

• David Robinson; David Goforth (2005). Die Topologie der 2x2-Spiele: ein neues Periodensystem . Routledge. ISBN 978-0-415-33609-3Die
• Anmerkungen zu Gleichgewichten in symmetrischen Spielen