Zeitreihen

In der Mathematik ist eine Zeitreihe eine Folge von Datenpunkten, die in chronologischer Reihenfolge indexiert, aufgelistet oder grafisch dargestellt werden. Üblicherweise besteht eine Zeitreihe aus Beobachtungen, die zu aufeinanderfolgenden, äquidistanten Zeitpunkten erfasst wurden. Sie stellt somit eine Form diskreter Zeitdaten dar . Eine Zeitreihe kann Messungen beschreiben, die über Sekunden, Tage, Jahre oder sogar Jahrhunderte gesammelt wurden. Gängige Beispiele sind die Höhe der Gezeiten , die Anzahl der Sonnenflecken , tägliche Temperaturmessungen und die Schlusskurse von Aktienmarktindizes wie dem Dow Jones Industrial Average .

Zeitreihen werden häufig mithilfe eines Laufdiagramms (einer Art Liniendiagramm ) visualisiert, das hilft, Muster wie Trends, saisonale Effekte und unregelmäßige Schwankungen zu erkennen. Zeitreihen finden breite Anwendung in der Statistik , Versicherungsmathematik , Signalverarbeitung , Mustererkennung , Ökonometrie , Finanzmathematik , Wettervorhersage , Erdbebenprognose , Elektroenzephalographie , Regelungstechnik , Astronomie , Nachrichtentechnik und vielen anderen Bereichen der angewandten Wissenschaft und Technik , die zeitliche Messungen beinhalten.

Die Zeitreihenanalyse umfasst Methoden zur Auswertung von Zeitreihendaten, um aussagekräftige Statistiken und andere Merkmale der Daten zu extrahieren. Die Zeitreihenprognose nutzt ein Modell , um zukünftige Werte auf Basis zuvor beobachteter Werte vorherzusagen. Im Allgemeinen werden Zeitreihendaten als stochastischer Prozess modelliert . Obwohl die Regressionsanalyse häufig eingesetzt wird, um Beziehungen zwischen einer oder mehreren verschiedenen Zeitreihen zu untersuchen, wird diese Art der Analyse üblicherweise nicht als „Zeitreihenanalyse“ bezeichnet. Letztere bezieht sich speziell auf Beziehungen zwischen verschiedenen Zeitpunkten innerhalb einer einzelnen Reihe.

Zeitreihendaten weisen eine natürliche zeitliche Ordnung auf. Dies unterscheidet die Zeitreihenanalyse von Querschnittstudien , bei denen keine natürliche Ordnung der Beobachtungen besteht (z. B. bei der Erklärung von Löhnen anhand des jeweiligen Bildungsniveaus, wo die Daten der einzelnen Personen in beliebiger Reihenfolge eingegeben werden könnten). Die Zeitreihenanalyse unterscheidet sich auch von der räumlichen Datenanalyse, bei der die Beobachtungen typischerweise geografische Standorte betreffen (z. B. bei der Berücksichtigung von Hauspreisen anhand des Standorts sowie der intrinsischen Eigenschaften der Häuser). Ein stochastisches Modell für eine Zeitreihe spiegelt im Allgemeinen die Tatsache wider, dass zeitlich nahe beieinander liegende Beobachtungen enger miteinander korrelieren als weiter auseinander liegende. Darüber hinaus nutzen Zeitreihenmodelle häufig die natürliche Einwegordnung der Zeit, sodass Werte für einen bestimmten Zeitraum in gewisser Weise aus vergangenen Werten abgeleitet werden und nicht aus zukünftigen Werten (siehe Zeitumkehrbarkeit ).

Die Zeitreihenanalyse kann auf reellwertige , kontinuierliche Daten, diskrete numerische Daten oder diskrete symbolische Daten (d. h. Zeichenfolgen wie Buchstaben und Wörter in der englischen Sprache ^{[ 1 ]} ) angewendet werden.

Methoden zur Zeitreihenanalyse lassen sich in zwei Klassen unterteilen: Frequenzbereichsmethoden und Zeitbereichsmethoden . Zu den Frequenzbereichsmethoden gehören Spektralanalyse und Wavelet-Analyse ; zu den Zeitbereichsmethoden zählen Autokorrelations- und Kreuzkorrelationsanalyse . Im Zeitbereich können Korrelation und Analyse filterähnlich mittels skalierter Korrelation durchgeführt werden , wodurch die Notwendigkeit der Frequenzbereichsanalyse reduziert wird.

Darüber hinaus lassen sich Zeitreihenanalyseverfahren in parametrische und nichtparametrische Methoden unterteilen. Parametrische Ansätze setzen voraus, dass der zugrunde liegende stationäre stochastische Prozess eine bestimmte Struktur aufweist, die sich mit wenigen Parametern beschreiben lässt (beispielsweise mithilfe eines autoregressiven Modells oder eines gleitenden Mittelwertmodells ). Bei diesen Ansätzen besteht die Aufgabe darin, die Parameter des Modells zu schätzen, das den stochastischen Prozess beschreibt. Im Gegensatz dazu schätzen nichtparametrische Ansätze explizit die Kovarianz oder das Spektrum des Prozesses, ohne eine bestimmte Struktur vorauszusetzen.

Methoden der Zeitreihenanalyse können auch in lineare und nichtlineare sowie univariate und multivariate Methoden unterteilt werden .

Eine Zeitreihe ist eine Art von Paneldaten . Paneldaten bilden die allgemeine Klasse mehrdimensionaler Datensätze, während Zeitreihendaten eindimensionale Paneldaten darstellen (ebenso wie Querschnittsdaten ). Ein Datensatz kann Merkmale sowohl von Paneldaten als auch von Zeitreihendaten aufweisen. Eine Möglichkeit, dies festzustellen, besteht darin, zu fragen, was einen Datensatz von den anderen unterscheidet. Ist die Antwort das Zeitfeld, handelt es sich wahrscheinlich um einen Zeitreihendatensatz. Erfordert die Bestimmung eines eindeutigen Datensatzes neben dem Zeitfeld einen zusätzlichen, zeitunabhängigen Identifikator (z. B. Matrikelnummer, Börsenkürzel, Ländercode), handelt es sich wahrscheinlich um Paneldaten. Liegt die Unterscheidung im nicht-zeitbezogenen Identifikator, handelt es sich wahrscheinlich um einen Querschnittsdatensatz.

Für Zeitreihen stehen verschiedene Arten der Motivation und Datenanalyse zur Verfügung, die für unterschiedliche Zwecke geeignet sind.

In der Statistik , Ökonometrie , quantitativen Finanzanalyse , Seismologie , Meteorologie und Geophysik dient die Zeitreihenanalyse primär der Prognose . In der Signalverarbeitung , Regelungstechnik und Nachrichtentechnik wird sie zur Signaldetektion eingesetzt. Weitere Anwendungsgebiete sind Data Mining , Mustererkennung und maschinelles Lernen , wo die Zeitreihenanalyse für Clustering [ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ]} , Klassifizierung ^{[ 5 ]} , inhaltsbasierte Abfragen ^{[ 6 ] ,} Anomalieerkennung sowie Prognosen ^{[ 7 ]} genutzt werden kann .

Eine einfache Möglichkeit, eine regelmäßige Zeitreihe zu untersuchen, bietet ein Liniendiagramm . Die Grafik zeigt die Tuberkulose-Todesfälle in den Vereinigten Staaten ^{[ 8 ]} sowie die jährliche und die prozentuale Veränderung. Die Gesamtzahl der Todesfälle ging bis Mitte der 1980er-Jahre jährlich zurück, danach kam es gelegentlich zu Anstiegen, die oft – wenn auch nicht absolut – recht hoch ausfielen.

Eine Studie unter Datenanalysten in Unternehmen identifizierte zwei Herausforderungen für die explorative Zeitreihenanalyse: das Erkennen interessanter Muster und das Finden einer Erklärung für diese Muster. ^{[ 9 ]} Visuelle Werkzeuge, die Zeitreihendaten als Heatmap-Matrizen darstellen, können helfen, diese Herausforderungen zu bewältigen.

Dieser Ansatz basiert auf der harmonischen Analyse und Filterung von Signalen im Frequenzbereich mittels Fourier-Transformation und Spektraldichteschätzung . Seine Entwicklung wurde während des Zweiten Weltkriegs maßgeblich von dem Mathematiker Norbert Wiener und den Elektrotechnikern Rudolf E. Kálmán , Dennis Gabor und anderen vorangetrieben, um Signale vom Rauschen zu trennen und Signalwerte zu einem bestimmten Zeitpunkt vorherzusagen.

Ein gleichwertiger Effekt kann im Zeitbereich erzielt werden, wie beispielsweise mit einem Kalman-Filter ; siehe Filterung und Glättung für weitere Techniken.

Weitere verwandte Techniken sind:

• Autokorrelationsanalyse zur Untersuchung serieller Abhängigkeit
• Die Spektralanalyse dient der Untersuchung zyklischer Muster, die nicht zwangsläufig mit der Jahreszeit zusammenhängen . Beispielsweise variiert die Sonnenfleckenaktivität in 11-Jahres-Zyklen. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Weitere gängige Beispiele sind Himmelsphänomene, Wettermuster, neuronale Aktivität, Rohstoffpreise und Wirtschaftstätigkeit.
• Aufteilung in Komponenten, die Trend, Saisonalität, langsame und schnelle Variation sowie zyklische Unregelmäßigkeit darstellen: siehe Trendschätzung und Zerlegung von Zeitreihen

Kurvenanpassung ^{[ 12 ] [ 13 ]} ist der Prozess der Konstruktion einer Kurve oder mathematischen Funktion , die eine Reihe von Datenpunkten optimal beschreibt ^{[ 14 ]} , gegebenenfalls unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen [15][16]. ^{Die Kurvenanpassung kann entweder durch Interpolation} [17][18] erfolgen, wobei eine ^{exakte Anpassung an die Daten} erforderlich ist, oder durch Glättung [ ^{19 ] [ 20 ] ,} bei der eine „glatte“ Funktion konstruiert wird, die die Daten annähernd beschreibt. Ein verwandtes Thema ist die Regressionsanalyse [ ^{21 ] [ 22 ] ,} die sich stärker mit Fragen der statistischen Inferenz befasst ^, beispielsweise mit der Unsicherheit einer Kurve, die an mit zufälligen Fehlern behaftete Daten angepasst wurde. Angepasste Kurven können zur Datenvisualisierung ^{[ 23 ] [ 24 ]} , zur Ableitung von Funktionswerten ohne verfügbare Daten ^{[ 25 ]} und zur Zusammenfassung der Beziehungen zwischen zwei oder mehr Variablen verwendet werden. ^{[ 26 ]} Bei der Extrapolation wird eine angepasste Kurve über den Bereich der beobachteten Daten hinaus verwendet. ^{[ 27 ]} Sie ist mit einer gewissen Unsicherheit behaftet, ^{[ 28 ]} da sie sowohl die Methode, mit der die Kurve konstruiert wurde, als auch die beobachteten Daten widerspiegeln kann.

Bei Prozessen, von denen man erwartet, dass sie generell an Stärke zunehmen, kann eine der Kurven in der Grafik (und viele andere) durch Schätzung ihrer Parameter angepasst werden.

Die Erstellung ökonomischer Zeitreihen beinhaltet die Schätzung bestimmter Komponenten für bestimmte Zeitpunkte durch Interpolation zwischen Werten („Benchmarks“) für frühere und spätere Zeitpunkte. Interpolation ist die Schätzung einer unbekannten Größe anhand zweier bekannter Größen (historischer Daten) oder das Ziehen von Schlussfolgerungen über fehlende Informationen aus den verfügbaren Informationen („zwischen den Zeilen lesen“). ^{[ 29 ]} Interpolation ist dann sinnvoll, wenn die Daten um die fehlenden Daten herum verfügbar sind und deren Trend, Saisonalität und längerfristige Zyklen bekannt sind. Dies geschieht häufig mithilfe einer verwandten Reihe, die für alle relevanten Zeitpunkte bekannt ist. ^{[ 30 ]} Alternativ wird Polynominterpolation oder Spline-Interpolation verwendet, bei der stückweise Polynomfunktionen in Zeitintervallen so angepasst werden, dass sie sich nahtlos verbinden. Ein anderes, eng mit der Interpolation verwandtes Problem ist die Approximation einer komplexen Funktion durch eine einfache Funktion (auch Regression genannt ). Der Hauptunterschied zwischen Regression und Interpolation besteht darin, dass die Polynomregression ein einzelnes Polynom liefert, das den gesamten Datensatz modelliert. Die Spline-Interpolation liefert jedoch eine stückweise stetige Funktion, die aus vielen Polynomen zusammengesetzt ist, um den Datensatz zu modellieren.

Extrapolation ist das Verfahren, den Wert einer Variablen über den ursprünglichen Beobachtungsbereich hinaus auf Grundlage ihrer Beziehung zu einer anderen Variablen zu schätzen. Sie ähnelt der Interpolation , die Schätzwerte zwischen bekannten Beobachtungen liefert, ist aber mit größerer Unsicherheit und einem höheren Risiko behaftet, sinnlose Ergebnisse zu liefern.

Im Allgemeinen geht es bei Funktionsapproximationsproblemen darum, aus einer wohldefinierten Klasse eine Funktion auszuwählen, die eine Zielfunktion auf aufgabenspezifische Weise möglichst genau approximiert. Man kann zwei Hauptklassen von Funktionsapproximationsproblemen unterscheiden: Erstens, für bekannte Zielfunktionen, untersucht die Approximationstheorie , ein Teilgebiet der numerischen Analysis , wie bestimmte bekannte Funktionen (z. B. spezielle Funktionen ) durch eine spezifische Klasse von Funktionen (z. B. Polynome oder rationale Funktionen ) approximiert werden können, die oft wünschenswerte Eigenschaften aufweisen (geringer Rechenaufwand, Stetigkeit, Integral- und Grenzwerte usw.).

Zweitens kann die Zielfunktion g unbekannt sein; anstelle einer expliziten Formel wird lediglich eine Punktmenge (eine Zeitreihe) der Form ( x , g ( x )) angegeben. Abhängig von der Struktur des Definitions- und Wertebereichs von g können verschiedene Approximationsverfahren angewendet werden. Ist g beispielsweise eine Operation auf den reellen Zahlen , können Interpolation , Extrapolation , Regressionsanalyse und Kurvenanpassung eingesetzt werden. Ist der Wertebereich (Zielmenge) von g eine endliche Menge, handelt es sich stattdessen um ein Klassifizierungsproblem . Ein verwandtes Problem der Online- Zeitreihenapproximation ^{[ 31 ]} besteht darin, die Daten in einem Durchlauf zusammenzufassen und eine approximative Repräsentation zu erstellen, die verschiedene Zeitreihenabfragen mit Schranken für den maximalen Fehler unterstützt.

Bis zu einem gewissen Grad wurden die verschiedenen Probleme ( Regression , Klassifizierung , Fitnessapproximation ) in der statistischen Lerntheorie einheitlich behandelt , wo sie als überwachte Lernprobleme betrachtet werden .

In der Statistik ist die Vorhersage Teil der statistischen Inferenz . Ein spezieller Ansatz hierfür ist die prädiktive Inferenz , doch Vorhersagen lassen sich mit verschiedenen Ansätzen der statistischen Inferenz treffen. Die Statistik selbst beschreibt die Übertragung von Erkenntnissen über eine Stichprobe einer Population auf die Gesamtpopulation und verwandte Populationen, was nicht zwangsläufig mit einer Vorhersage über die Zeit gleichzusetzen ist. Werden Informationen über die Zeit, oft auf bestimmte Zeitpunkte, übertragen, spricht man von Prognose .

• Vollständig ausgearbeitete statistische Modelle für stochastische Simulationszwecke , um alternative Versionen der Zeitreihen zu generieren, die darstellen, was in unbestimmten Zeiträumen in der Zukunft geschehen könnte.
• Einfache oder vollständig ausgearbeitete statistische Modelle zur Beschreibung des wahrscheinlichen Ergebnisses der Zeitreihe in der unmittelbaren Zukunft, unter Berücksichtigung der Kenntnis der jüngsten Ergebnisse (Prognose).
• Prognosen auf Basis von Zeitreihen werden üblicherweise mithilfe automatisierter statistischer Softwarepakete und Programmiersprachen wie Julia , Python , R , SAS , SPSS und vielen anderen durchgeführt.
• Prognosen auf Basis großer Datensätze können mit Apache Spark unter Verwendung der Spark-TS-Bibliothek, einem Drittanbieterpaket, durchgeführt werden. ^{[ 32 ]}

Zuordnung von Zeitreihenmustern zu einer bestimmten Kategorie, zum Beispiel Identifizierung eines Wortes anhand einer Reihe von Handbewegungen in der Gebärdensprache .

Die Aufteilung einer Zeitreihe in eine Sequenz von Segmenten. Oft lässt sich eine Zeitreihe als Folge einzelner Segmente darstellen, von denen jedes seine eigenen charakteristischen Eigenschaften besitzt. Beispielsweise kann das Audiosignal einer Telefonkonferenz in Abschnitte unterteilt werden, die den Sprechzeiten der einzelnen Teilnehmer entsprechen. Ziel der Zeitreihensegmentierung ist es, die Segmentgrenzen in der Zeitreihe zu identifizieren und die dynamischen Eigenschaften jedes Segments zu charakterisieren. Dieses Problem lässt sich mithilfe der Änderungsdetektion oder durch die Modellierung der Zeitreihe als komplexeres System, wie beispielsweise ein lineares Markov-Sprung-System, angehen.

Zeitreihendaten können geclustert werden, jedoch ist bei der Subsequenz-Clusterung besondere Vorsicht geboten. ^{[ 33 ] [ 34 ]} Die Clusterung von Zeitreihen kann unterteilt werden in

• Clustering ganzer Zeitreihen (mehrere Zeitreihen, für die ein Cluster gefunden werden soll)
• Subsequenz-Zeitreihen-Clustering (einzelne Zeitreihe, Aufteilung in Abschnitte mithilfe von gleitenden Fenstern)
• Zeitpunkt-Clustering

Die Clusteranalyse von Zeitreihen im Subsequenzbereich führte zu instabilen (zufälligen) Clustern, die durch die Merkmalsextraktion mittels Chunking mit gleitenden Fenstern hervorgerufen wurden. ^{[ 35 ]} Es zeigte sich, dass die Clusterzentren (der Mittelwert der Zeitreihen innerhalb eines Clusters – ebenfalls eine Zeitreihe) einem beliebig verschobenen Sinusmuster folgen (unabhängig vom Datensatz, selbst bei Realisierungen eines Random Walk ). Dies bedeutet, dass die gefundenen Clusterzentren für den Datensatz nicht aussagekräftig sind, da sie stets nicht repräsentative Sinuswellen darstellen.

Modelle für Zeitreihendaten können vielfältige Formen annehmen und verschiedene stochastische Prozesse abbilden . Bei der Modellierung von Prozessvariationen sind drei Klassen von praktischer Bedeutung: autoregressive (AR) Modelle, integrierte (I) Modelle und Moving-Average- Modelle (MA). Diese drei Klassen hängen linear von vorherigen Datenpunkten ab. ^{[ 36 ]} Kombinationen dieser Ansätze führen zu autoregressiven Moving-Average- (ARMA) und autoregressiven integrierten Moving-Average- Modellen (ARIMA). Das autoregressive fraktional integrierte Moving-Average -Modell (ARFIMA) verallgemeinert die drei erstgenannten. Eine weitere wichtige Verallgemeinerung ist das zeitvariable autoregressive (TVAR) Modell, in dem sich die AR-Koeffizienten im Zeitverlauf ändern können, wodurch das Modell dynamische oder nicht-stationäre Prozesse erfassen kann. Erweiterungen dieser Klassen zur Verarbeitung vektorwertiger Daten finden sich unter dem Begriff multivariate Zeitreihenmodelle. Manchmal werden die vorangehenden Akronyme um ein „V“ für „Vektor“ erweitert, wie beispielsweise VAR für Vektorautoregression . Eine weitere Gruppe von Erweiterungen dieser Modelle steht für Fälle zur Verfügung, in denen die beobachtete Zeitreihe durch eine „antreibende“ Zeitreihe beeinflusst wird (die keinen kausalen Einfluss auf die beobachtete Reihe haben muss). Der Unterschied zum multivariaten Fall besteht darin, dass die antreibende Reihe deterministisch oder vom Versuchsleiter kontrollierbar sein kann. Für diese Modelle werden die Akronyme um ein abschließendes „X“ für „exogen“ erweitert.

Zeitvariable autoregressive (TVAR) Modelle eignen sich besonders zur Analyse nicht-stationärer Zeitreihen, deren zugrundeliegende Dynamik sich im Zeitverlauf komplex entwickelt und nicht auf klassische Variationsformen wie Trends oder saisonale Muster beschränkt ist. Im Gegensatz zu klassischen AR-Modellen mit festen Parametern ermöglichen TVAR-Modelle die Variation der autoregressiven Koeffizienten als Funktion der Zeit. Diese Variation wird typischerweise durch Basisfunktionsentwicklungen dargestellt, deren Form und Komplexität vom Benutzer bestimmt werden. Dadurch lässt sich zeitlich veränderliches Verhalten hochflexibel modellieren, wodurch spezifische nicht-stationäre Muster in den Daten erfasst werden können. Diese Flexibilität prädestiniert sie für die Modellierung von Strukturveränderungen, Regimewechseln oder allmählichen Entwicklungen im Systemverhalten. TVAR-Zeitreihenmodelle finden breite Anwendung in Bereichen wie der Signalverarbeitung ^{[ 37 , 38 ] ,} der Wirtschaftswissenschaft ^{[ 39 ]} , dem Finanzwesen ^{[ 40 ] ,} der Zuverlässigkeits- und Zustandsüberwachung ^{[ 41 , 42, 43 ] ,} der Telekommunikation ^{[ 44 , 45 ] , den} Neurowissenschaften ^{[ 46 ]} , den Klimawissenschaften ^{[ 47 ]} und der Hydrologie ^{[ 48 ] ,} wo Zeitreihen oft Dynamiken aufweisen, die traditionelle lineare Modelle nicht adäquat abbilden können. Die Schätzung von TVAR-Modellen erfolgt typischerweise mittels Methoden wie Kernel-Glättung ^{[ 49 ] ,} rekursiver Kleinste-Quadrate-Schätzung ^{[ 50 ]} oder Kalman-Filterung ^{[ 51 ] .}

Die nichtlineare Abhängigkeit des Niveaus einer Zeitreihe von vorherigen Datenpunkten ist unter anderem aufgrund der Möglichkeit, eine chaotische Zeitreihe zu erzeugen, von Interesse. Wichtiger noch: Empirische Untersuchungen können den Vorteil der Verwendung von Vorhersagen aus nichtlinearen Modellen gegenüber solchen aus linearen Modellen aufzeigen, beispielsweise in nichtlinearen autoregressiven exogenen Modellen . Weiterführende Literatur zur Analyse nichtlinearer Zeitreihen: (Kantz und Schreiber) ^{[ 52 ]} und (Abarbanel) ^{[ 53 ].}

Neben anderen Arten nichtlinearer Zeitreihenmodelle gibt es Modelle, die die Veränderungen der Varianz im Zeitverlauf ( Heteroskedastizität ) darstellen. Diese Modelle repräsentieren autoregressive bedingte Heteroskedastizität (ARCH) und umfassen eine Vielzahl von Darstellungsformen ( GARCH , TARCH, EGARCH, FIGARCH, CGARCH usw.). Hierbei werden Veränderungen der Variabilität mit den jüngsten vergangenen Werten der beobachteten Zeitreihe in Zusammenhang gebracht oder durch diese vorhergesagt. Dies steht im Gegensatz zu anderen möglichen Darstellungen lokal variierender Variabilität, bei denen die Variabilität durch einen separaten zeitlich variierenden Prozess modelliert werden kann, wie beispielsweise in einem doppelt stochastischen Modell .

In einer aktuellen Arbeit zu modellfreien Analysen (ein Begriff, der häufig für Analysen verwendet wird, die die zeitliche Entwicklung von Prozessen nicht durch einen parametrischen mathematischen Ausdruck modellieren) haben Wavelet-Transformations-basierte Methoden (z. B. lokal stationäre Wavelets und Wavelet-dekomponierte neuronale Netze) an Bedeutung gewonnen. ^{[ 54 ]} Multiskalen- (oft auch als Multiresolutions-) Verfahren zerlegen eine gegebene Zeitreihe, um die zeitliche Abhängigkeit auf verschiedenen Skalen darzustellen. Siehe auch Markov-Switching-Multifraktal- Verfahren (MSMF) zur Modellierung der Volatilitätsentwicklung.

Ein Hidden-Markov-Modell (HMM) ist ein statistisches Markov-Modell, bei dem das modellierte System als Markov-Prozess mit unbeobachteten (versteckten) Zuständen angenommen wird. Ein HMM kann als einfachstes dynamisches Bayes'sches Netzwerk betrachtet werden. HMM-Modelle werden häufig in der Spracherkennung eingesetzt , um gesprochene Zeitreihen in Text umzuwandeln.

Viele dieser Modelle sind im Python-Paket sktime zusammengefasst .

Für die Zeitreihenanalyse werden verschiedene Notationen verwendet. Eine gängige Notation zur Angabe einer Zeitreihe X , die durch natürliche Zahlen indiziert wird , lautet:

X = ( X ₁ , X ₂ , ...) .

Eine weitere gebräuchliche Notation ist

Y = ( Y _t : t ∈ T ) ,

wobei T die Indexmenge ist .

Es gibt zwei Arten von Bedingungen, unter denen ein Großteil der Theorie aufgebaut ist:

• Stationärer Prozess
• Ergodischer Prozess

Ergodizität impliziert Stationarität, aber die Umkehrung gilt nicht notwendigerweise. Stationarität wird üblicherweise in strikte Stationarität und Stationarität zweiter Ordnung unterteilt . Sowohl Modelle als auch Anwendungen lassen sich unter beiden Bedingungen entwickeln, wobei die Modelle im letzteren Fall als nur teilweise spezifiziert gelten können.

Darüber hinaus kann die Zeitreihenanalyse angewendet werden, wenn die Reihen saisonal stationär oder nicht stationär sind. Situationen, in denen sich die Amplituden der Frequenzkomponenten mit der Zeit ändern, können mit der Zeit-Frequenz-Analyse behandelt werden, die eine Zeit-Frequenz-Darstellung einer Zeitreihe oder eines Signals verwendet . ^{[ 55 ]}

Zu den Werkzeugen zur Untersuchung von Zeitreihendaten gehören:

• Betrachtung der Autokorrelationsfunktion und der Spektraldichtefunktion (sowie Kreuzkorrelationsfunktionen und Kreuzspektraldichtefunktionen)
• Skalierte Kreuz- und Autokorrelationsfunktionen zur Eliminierung der Beiträge langsamer Komponenten ^{[ 56 ]}
• Durchführung einer Fourier-Transformation zur Untersuchung der Reihe im Frequenzbereich
• Durchführung einer Clusteranalyse ^{[ 57 ]}
• Diskrete, kontinuierliche oder gemischte Spektren von Zeitreihen, je nachdem, ob die Zeitreihe ein (verallgemeinertes) harmonisches Signal enthält oder nicht.
• Verwendung eines Filters zur Entfernung unerwünschter Geräusche
• Hauptkomponentenanalyse (oder empirische orthogonale Funktionsanalyse )
• Singularspektrumanalyse
• „Strukturelle“ Modelle:
  • Allgemeine Zustandsraummodelle
  • Modelle unbeobachteter Komponenten
• Maschinelles Lernen
  • Künstliche neuronale Netze
  • Support-Vektor-Maschine
  • Fuzzy-Logik
  • Gaußscher Prozess
  • Genetische Programmierung
  • Genexpressionsprogrammierung
  • Verstecktes Markov-Modell
  • Multi-Ausdrucksprogrammierung
• Analyse der Warteschlangentheorie
• Kontrollkarte
  • Shewhart-Personenkontrollkarte
  • CUSUM- Diagramm
  • EWMA-Chart
• Trendbereinigte Fluktuationsanalyse
• Nichtlineare Mixed-Effects-Modellierung
• Dynamische Zeitverzerrung ^{[ 58 ]}
• Dynamisches Bayes'sches Netzwerk
• Zeit-Frequenz-Analyseverfahren:
  • Schnelle Fourier-Transformation
  • Kontinuierliche Wavelet-Transformation
  • Kurzzeit-Fourier-Transformation
  • Chirplet transform
  • Fraktionale Fourier-Transformation
• Chaotische Analyse
  • Korrelationsdimension
  • Rekurrenzdiagramme
  • Rekurrenzquantifizierungsanalyse
  • Lyapunov-Exponenten
  • Entropiekodierung

Zeitreihenmetriken oder -merkmale , die für die Zeitreihenklassifizierung oder Regressionsanalyse verwendet werden können : ^{[ 59 ]}

• Univariate lineare Maße
  • Moment (Mathematik)
  • Spektralbandleistung
  • Spektrale Grenzfrequenz
  • Akkumulierte Energie (Signalverarbeitung)
  • Charakteristika der Autokorrelationsfunktion
  • Hjorth-Parameter
  • FFT- Parameter
  • Parameter des autoregressiven Modells
  • Mann-Kendall-Test
• Univariate nichtlineare Messungen
  • Auf der Korrelationssumme basierende Maßnahmen
  • Korrelationsdimension
  • Korrelationsintegral
  • Korrelationsdichte
  • Korrelationsentropie
  • Näherungsweise Entropie ^{[ 60 ]}
  • Stichprobenentropie
  • Fourier-Entropie
  • Wavelet-Entropie
  • Dispersionsentropie
  • Fluktuationsdispersionsentropie
  • Rényi-Entropie
  • Methoden höherer Ordnung
  • Marginale Vorhersagbarkeit
  • Dynamischer Ähnlichkeitsindex
  • Unähnlichkeitsmaße für Zustandsräume
  • Lyapunov-Exponent
  • Permutationsmethoden
  • Lokaler Fluss
• Andere univariate Messungen
  • Algorithmische Komplexität
  • Kolmogorov- Komplexitätsschätzungen
  • Zustände des Hidden-Markov-Modells
  • Ungefähre Pfadsignatur ^{[ 61 ]}
  • Ersatzzeitreihen und Ersatzkorrektur
  • Verlust der Wiederkehrwahrscheinlichkeit (Grad der Nichtstationarität)
• Bivariate lineare Maße
  • Maximale lineare Kreuzkorrelation
  • Lineare Kohärenz (Signalverarbeitung)
• Bivariate nichtlineare Maße
  • Nichtlineare Wechselbeziehungen
  • Dynamische Mitführung (Physik)
  • Maßnahmen zur Phasensynchronisation
  • Maßnahmen zur Phasenverriegelung
• Ähnlichkeitsmaße : ^{[ 62 ]}
  • Kreuzkorrelation
  • Dynamische Zeitverzerrung ^{[ 58 ]}
  • Verstecktes Markov-Modell
  • Editierdistanz
  • Gesamtkorrelation
  • Newey-West-Schätzer
  • Prais-Winsten-Transformation
  • Daten als Vektoren in einem metrisierbaren Raum
    • Minkowski-Distanz
    • Mahalanobis-Distanz
  • Daten als Zeitreihen mit Hüllkurven
    • Globale Standardabweichung
    • Lokale Standardabweichung
    • Fensterstandardabweichung​
  • Daten werden als stochastische Reihen interpretiert
    • Pearson-Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient
    • Spearmans Rangkorrelationskoeffizient
  • Daten , interpretiert als Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
    • Kolmogorov-Smirnov-Test
    • Cramér-von-Mises-Kriterium

Zeitreihen können mit zwei Diagrammtypen visualisiert werden: Überlappende Diagramme und getrennte Diagramme. Überlappende Diagramme zeigen alle Zeitreihen im selben Layout an, während getrennte Diagramme sie in unterschiedlichen Layouts darstellen (die jedoch zum Vergleich ausgerichtet sind) ^{[ 63 ].}

• Geflochtene Graphen
• Liniendiagramme
• Steigungsdiagramme
• Lückendiagramm

• Horizontgraphen
• Reduziertes Liniendiagramm (kleine Vielfache)
• Silhouette-Grafik
• Kreisförmige Silhouette-Grafik

Jevons untersuchte als Erster Zeitreihen. ^{[ 64 ]} In seinem Buch analysierte er eine Reihe wöchentlicher Finanzzeitreihen aus den Jahren 1825 bis einschließlich 1860. Diese umfassten Zeitreihen zu Konkursen, Geldumlauf und Diskontsätzen.

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• Einführung in die Zeitreihenanalyse (Handbuch der Ingenieurstatistik) — Ein praktischer Leitfaden zur Zeitreihenanalyse