Tomographische Rekonstruktion

Die tomografische Rekonstruktion ist ein mehrdimensionales inverses Problem, bei dem es darum geht, aus einer endlichen Anzahl von Projektionen eine Schätzung eines bestimmten Systems zu gewinnen . Die mathematischen Grundlagen der tomografischen Bildgebung wurden von Johann Radon gelegt . Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist die Rekonstruktion in der Computertomografie (CT), bei der Querschnittsbilder von Patienten nicht-invasiv gewonnen werden. Jüngste Entwicklungen zeigen, dass die Radon-Transformation und ihre Inverse für Aufgaben im Zusammenhang mit der realistischen Objektinsertion eingesetzt werden, die für die Prüfung und Bewertung des Einsatzes der Computertomografie in der Flughafensicherheit erforderlich sind . ^{[ 1 ]}

Dieser Artikel gilt allgemein für Rekonstruktionsmethoden aller Arten der Tomographie , einige der Begriffe und physikalischen Beschreibungen beziehen sich jedoch direkt auf die Rekonstruktion der Röntgen-Computertomographie.

Die Projektion eines Objekts, die sich aus der tomografischen Messung unter einem bestimmten Winkel ergibt , besteht aus einer Reihe von Linienintegralen (siehe Abb. 1). Eine Menge solcher Projektionen unter verschiedenen Winkeln, die zweidimensional angeordnet sind, wird als Sinogramm bezeichnet (siehe Abb. 3). In der Röntgen-Computertomografie (CT) repräsentiert das Linienintegral die gesamte Abschwächung des Röntgenstrahls auf seinem geradlinigen Weg durch das Objekt. Wie bereits erwähnt, ist das resultierende Bild ein zweidimensionales (oder dreidimensionales) Modell des Abschwächungskoeffizienten . Wir möchten also das Bild bestimmen . Die einfachste und anschaulichste Methode zur Visualisierung des Scanverfahrens ist das System der Parallelprojektion , wie es in den ersten Scannern verwendet wurde. Für diese Betrachtung gehen wir davon aus, dass die Daten als eine Reihe paralleler Strahlen an der Position x durch eine Projektion unter dem Winkel θ erfasst werden . Dies wird für verschiedene Winkel wiederholt. Die Abschwächung im Gewebe erfolgt exponentiell .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

Dabei ist der Dämpfungskoeffizient als Funktion des Ortes. Daher ist die Gesamtdämpfung eines Strahls am Ort , auf der Projektion unter dem Winkel , allgemein gegeben durch das Linienintegral: ${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Unter Verwendung des Koordinatensystems aus Abbildung 1 ergibt sich der Wert von , auf den der Punkt unter dem Winkel projiziert wird, wie folgt:${\displaystyle r}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Die obige Gleichung lässt sich also umschreiben als

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

Dabei repräsentiert und ist die Dirac-Delta-Funktion . Diese Funktion ist als Radon-Transformation (oder Sinogramm ) des 2D-Objekts bekannt. ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \mu (x,y)}$${\displaystyle \delta ()}$

Die Fourier-Transformation der Projektion kann wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$wobei ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$stellt einen Ausschnitt der 2D-Fourier-Transformation von unter dem Winkel dar . Mithilfe der inversen Fourier-Transformation lässt sich die Formel für die inverse Radon-Transformation leicht herleiten.${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

wobei die Ableitung der Hilbert-Transformation von${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

Theoretisch würde die inverse Radon-Transformation das ursprüngliche Bild liefern. Der Projektionsschnittsatz besagt, dass wir, wenn wir unendlich viele eindimensionale Projektionen eines Objekts unter unendlich vielen Winkeln hätten, das ursprüngliche Objekt perfekt rekonstruieren könnten . In der Praxis steht jedoch nur eine endliche Anzahl von Projektionen zur Verfügung. ${\displaystyle f(x,y)}$

Unter der Annahme, dass einen effektiven Durchmesser und eine gewünschte Auflösung hat , gilt als Faustregel für die Anzahl der für die Rekonstruktion benötigten Projektionen ^{[ 2 ].}${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle R_{s}}$${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Zur Rekonstruktion dreidimensionaler Objekte aus ihren Projektionen wurden praktische Rekonstruktionsalgorithmen entwickelt. ^{[ 3 ] [ 2 ]} Diese Algorithmen basieren größtenteils auf der Mathematik der Röntgentransformation , statistischen Erkenntnissen zum Datenerfassungsprozess und der Geometrie des Bildgebungssystems.

Die Rekonstruktion kann mittels Interpolation erfolgen. Angenommen, es werden Projektionen in äquidistanten Winkeln erzeugt, die jeweils mit derselben Abtastrate abgetastet werden. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) jeder Projektion liefert Abtastwerte im Frequenzbereich. Die Kombination aller frequenzabgetasteten Projektionen erzeugt ein Polarraster im Frequenzbereich. Da das Polarraster dünn besetzt ist, werden die fehlenden DFT-Punkte durch Interpolation aufgefüllt. Die Rekonstruktion kann anschließend mittels inverser diskreter Fourier-Transformation durchgeführt werden . ^{[ 4 ]} Die Rekonstruktionsleistung kann durch die Entwicklung von Methoden zur Änderung der Dichte des Polarrasters verbessert werden, wodurch die Effektivität der Interpolation erhöht wird. ${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x,y)}$

Beispielsweise kann ein konzentrisches quadratisches Raster im Frequenzbereich durch Ändern des Winkels zwischen den einzelnen Projektionen wie folgt erhalten werden:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

Wo liegt die höchste zu bewertende Frequenz? ${\displaystyle R_{0}}$

Das konzentrische quadratische Raster verbessert die Recheneffizienz, indem alle Interpolationspositionen auf einem rechteckigen DFT-Gitter liegen. Außerdem reduziert es den Interpolationsfehler. ^{[ 4 ]} Allerdings hat der Fourier-Transformationsalgorithmus den Nachteil, dass er naturgemäß verrauschte Ergebnisse liefert.

In der Praxis der tomographischen Bildrekonstruktion wird häufig eine stabilisierte und diskretisierte Version der inversen Radon-Transformation verwendet, die als gefilterter Rückprojektionsalgorithmus bekannt ist . ^{[ 2 ]}

Bei einem abgetasteten diskreten System ist die inverse Radon-Transformation

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

wobei der Winkelabstand zwischen den Projektionen ist und ein Radon-Kernel mit Frequenzgang ist . ${\displaystyle \Delta \theta }$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle |\omega |}$

Die Bezeichnung Rückprojektion leitet sich davon ab, dass eine eindimensionale Projektion mit einem eindimensionalen Radon-Kernel gefiltert (rückprojiziert) werden muss, um ein zweidimensionales Signal zu erhalten. Da der verwendete Filter keine Gleichstromverstärkung aufweist, kann die Hinzufügung einer Gleichstromvorspannung sinnvoll sein. Die Rekonstruktion mittels Rückprojektion ermöglicht eine höhere Auflösung als die oben beschriebene Interpolationsmethode. Allerdings führt sie zu stärkerem Rauschen, da der Filter dazu neigt, hochfrequente Anteile zu verstärken.

Der iterative Algorithmus ist rechenintensiv, ermöglicht aber die Einbeziehung von Vorinformationen über das System . ^{[ 2 ]}${\displaystyle f(x,y)}$

Sei die Anzahl der Projektionen und der Verzerrungsoperator für die -te Projektion unter einem Winkel . sind Parameter zur Optimierung der Iterationsumwandlung. ${\displaystyle N}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

Eine alternative Familie rekursiver tomographischer Rekonstruktionsalgorithmen sind die algebraischen Rekonstruktionstechniken und die iterative spärliche asymptotische Minimum-Varianz .

Die Verwendung eines nichtkollimierten Fächerstrahls ist üblich, da ein kollimierter Strahl schwer zu erzeugen ist. Fächerstrahlen erzeugen als Projektionen Linienintegrale, die nicht parallel zueinander verlaufen. Das Fächerstrahlsystem benötigt einen Winkelbereich von 360 Grad, was mechanische Einschränkungen mit sich bringt, aber eine schnellere Signalerfassung ermöglicht, was in bestimmten Anwendungsbereichen, wie beispielsweise in der Medizin, von Vorteil sein kann. Die Rückprojektion folgt einem ähnlichen zweistufigen Verfahren, das die Rekonstruktion durch Berechnung gewichteter Summenrückprojektionen aus gefilterten Projektionen liefert.

Deep-Learning-Methoden werden heutzutage häufig zur Bildrekonstruktion eingesetzt und haben in verschiedenen Bereichen beeindruckende Ergebnisse erzielt, darunter Rauschunterdrückung bei niedriger Strahlendosis, Rekonstruktion mit wenigen Ansichten, Tomographie mit begrenztem Winkel und Reduzierung von Metallartefakten. Einen ausgezeichneten Überblick bietet die Sonderausgabe ^{[ 5 ]} der IEEE Transactions on Medical Imaging. Eine Gruppe von Deep-Learning-Rekonstruktionsalgorithmen verwendet neuronale Netze zur Nachbearbeitung, um eine Bild-zu-Bild-Rekonstruktion zu erreichen, wobei die Eingangsbilder mit konventionellen Rekonstruktionsmethoden rekonstruiert werden. Die Artefaktreduktion mittels U-Net in der Tomographie mit begrenztem Winkel ist ein Beispiel hierfür ^{[ 6 ]} . Allerdings können bei der Rekonstruktion eines Bildes mit einer solchen rein datengetriebenen Methode fehlerhafte Strukturen auftreten ^{[ 7 ]} , wie in der Abbildung dargestellt. Daher erscheint die Integration bekannter Operatoren in den Architekturentwurf neuronaler Netze vorteilhaft, wie im Konzept des Präzisionslernens beschrieben ^{[ 8 ]} . Beispielsweise kann die direkte Bildrekonstruktion aus Projektionsdaten mithilfe des Frameworks der gefilterten Rückprojektion erlernt werden ^{[ 9 ]} . Ein weiteres Beispiel ist der Aufbau neuronaler Netze durch das Entrollen iterativer Rekonstruktionsalgorithmen. ^{[ 10 ]} Abgesehen vom Präzisionslernen ist die Verwendung konventioneller Rekonstruktionsmethoden mit Deep-Learning-Rekonstruktionsprior ^{[ 11 ]} ebenfalls ein alternativer Ansatz zur Verbesserung der Bildqualität der Deep-Learning-Rekonstruktion.

Tomographische Systeme weisen erhebliche Unterschiede in ihren Anwendungen und Geometrien (Positionen von Quellen und Detektoren) auf. Diese Variabilität erfordert sehr spezifische, maßgeschneiderte Implementierungen der Verarbeitungs- und Rekonstruktionsalgorithmen. Daher bieten die meisten CT-Hersteller ihre eigene, proprietäre Software an. Dies dient nicht nur dem Schutz geistigen Eigentums, sondern kann auch von staatlichen Regulierungsbehörden vorgeschrieben sein. Ungeachtet dessen wurden in den letzten Jahrzehnten zahlreiche universelle Softwarepakete für die tomographische Rekonstruktion entwickelt, sowohl kommerzielle als auch Open-Source-Software.

Die meisten kommerziell erhältlichen Softwarepakete konzentrieren sich auf die Datenverarbeitung für Tisch-Kegelstrahl-Computertomographen. Zu diesen Softwarepaketen gehören unter anderem Volume Graphics , InstaRecon , iTomography , Livermore Tomography Tools (LTT) , Cone Beam Software Tools (CST) und die Bronnikov Algorithms Library .

Zu den bemerkenswerten Beispielen für Open-Source-Rekonstruktionssoftware gehören: Reconstruction Toolkit (RTK), ^{[ 12 ]} CONRAD, ^{[ 13 ]} TomoPy, ^{[ 14 ]} die ASTRA-Toolbox, ^{[ 15 ] [ 16 ]} PYRO-NN, ^{[ 17 ]} ODL, ^{[ 18 ]} TIGRE, ^{[ 19 ]} und LEAP. ^{[ 20 ]}

In der Galerie wird der vollständige Prozess einer einfachen Objekttomographie und die anschließende tomographische Rekonstruktion auf Basis von ART dargestellt.

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  Abb. 2: Phantomobjekt , zwei schräg gegenüberliegende Quadrate.
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  Abb. 3: Sinogramm des Phantomobjekts (Abb. 2), das aus der Tomographie resultiert. Es wurden 50 Projektionsschnitte über einen Winkel von 180 Grad aufgenommen, die äquidistant abgetastet wurden (nur zufällig markiert die x-Achse die Verschiebung bei -50/50 Einheiten).
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  Abb. 4: ART- basierte tomografische Rekonstruktion des Sinogramms aus Abb. 3, dargestellt als Animation des iterativen Rekonstruktionsprozesses. Das Originalobjekt konnte nur annähernd rekonstruiert werden, da das resultierende Bild einige visuelle Artefakte aufweist .

• Funktionsweise der Computertomographie #Tomographische Rekonstruktion
• Kegelstrahlrekonstruktion
• Industrielle Computertomographie
• Industrial Tomography Systems plc

• Avinash Kak & Malcolm Slaney (1988), Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3Die
• Bruyant, PP „Analytische und iterative Rekonstruktionsalgorithmen in der SPECT“ Journal of Nuclear Medicine 43(10):1343-1358, 2002

• Slaney, AC Kak und Malcolm. „Prinzipien der Computertomographie“ . Slaney.org . Abgerufen am 7. September 2018 .
• Insight ToolKit; Open-Source-Software zur Unterstützung der Tomographie.
• „TomoPy – TomoPy 1.1.3 Dokumentation“ . Tomopy.readthedocs.org . Abgerufen am 7. September 2018 .
• ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp) Toolbox; sehr flexible, schnelle Open-Source-Software für die computertomographische Rekonstruktion
• NiftyRec; umfassende Open-Source-Software für tomografische Rekonstruktion; skriptfähig in Matlab und Python.
• Open-Source-Tool für tomografische Rekonstruktion und Visualisierung
• „ITS plc – Elektrische Prozesstomographie für die industrielle Visualisierung“ . Itoms.com . Abgerufen am 7. September 2018 .