Aliasing

Beispiele für Aliasing

Dieses Bild in Originalgröße zeigt, wie ein korrekt abgetastetes Bild einer Backsteinmauer auf einem Bildschirm mit ausreichender Auflösung aussehen sollte .

Wird die Auflösung ohne geeignete Filterung reduziert , treten Aliasing-Effekte in Form eines Moiré-Musters auf .

Eine Kamerabewegung bei konstanter Verschlusszeit kann zu zeitlichen Aliasing-Effekten führen, dem sogenannten Wagenradeffekt . Die Geschwindigkeit der Kamera, die sich nach rechts bewegt, nimmt stetig im gleichen Maße zu (während die Objekte für die Kamera nach links zu gleiten scheinen). Nach der Hälfte der 24-Sekunden-Schleife scheinen die Objekte plötzlich die Richtung zu wechseln und sich in die entgegengesetzte Richtung, nach rechts, zu bewegen.

In der digitalen Signalverarbeitung bezeichnet Aliasing ein Phänomen, bei dem ein aus Abtastwerten des Originalsignals rekonstruiertes Signal niederfrequente Komponenten enthält, die im Originalsignal nicht vorhanden sind. Dies entsteht, wenn im Originalsignal Frequenzanteile oberhalb einer bestimmten Frequenz, der sogenannten Nyquist-Frequenz (f_N) , vorhanden sind , wobei f_N die Abtastfrequenz ist ( Unterabtastung ). Typische Rekonstruktionsverfahren verwenden hierfür niederfrequente Komponenten, während zahlreiche Frequenzanteile, sogenannte Aliasing-Komponenten, bei deren Abtastung identische Werte erzeugt werden. Aliasing bezeichnet auch häufig die Verzerrung oder das Artefakt , das entsteht, wenn ein aus Abtastwerten rekonstruiertes Signal vom ursprünglichen kontinuierlichen Signal abweicht. ${\textstyle f_{s}/2}$${\textstyle f_{s}}$

Aliasing kann bei zeitlich abgetasteten Signalen auftreten, beispielsweise bei digitalen Audiosignalen oder dem stroboskopischen Effekt , und wird als temporales Aliasing bezeichnet . Aliasing bei räumlich abgetasteten Signalen (z. B. Moiré-Muster in digitalen Bildern ) wird als räumliches Aliasing bezeichnet .

Aliasing wird im Allgemeinen vermieden, indem vor der Abtastung und bei der Umwandlung eines Signals von einer höheren in eine niedrigere Abtastrate Tiefpassfilter oder Anti-Aliasing-Filter (AAF) auf das Eingangssignal angewendet werden. Geeignete Rekonstruktionsfilter sollten anschließend verwendet werden, um das abgetastete Signal in den kontinuierlichen Bereich zurückzuverwandeln oder ein Signal von einer niedrigeren in eine höhere Abtastrate umzuwandeln. Zu den Arten des räumlichen Anti- Aliasings gehören Fast Approximate Anti-Aliasing (FXAA), Multisample Anti-Aliasing (MSAA) und Supersampling . Temporales Anti-Aliasing ist ein Spezialfall von MSAA, bei dem Pixelabtastwerte über mehrere Frames erfasst werden.

Bei der Betrachtung eines digitalen Bildes erfolgt eine Rekonstruktion durch ein Anzeige- oder Druckgerät. Werden die Bilddaten während der Abtastung oder Rekonstruktion fehlerhaft verarbeitet, weicht das rekonstruierte Bild vom Originalbild ab, und es entsteht ein Alias.

Ein Beispiel für räumliches Aliasing ist das Moiré-Muster, das in einem schlecht pixelierten Bild einer Ziegelmauer zu sehen ist. Räumliche Anti-Aliasing -Verfahren vermeiden solche schlechten Pixelierungen. Aliasing kann entweder durch die Abtastung oder die Rekonstruktion verursacht werden; diese beiden Phasen lassen sich durch die Bezeichnung Abtast-Aliasing unterscheiden.Voraliasing und RekonstruktionsaliasingPostaliasing. ^{[ 1 ]}

Zeitliches Aliasing ist ein wichtiges Problem bei der Abtastung von Video- und Audiosignalen. Musik beispielsweise kann hochfrequente Anteile enthalten, die außerhalb des menschlichen Hörbereichs liegen und daher unhörbar sind. Wird ein Musikstück mit 32.000 Abtastungen pro Sekunde (Hz) abgetastet, verursachen alle Frequenzanteile ab 16.000 Hz (der Nyquist-Frequenz für diese Abtastrate) Aliasing, wenn die Musik von einem Digital-Analog-Wandler (DAC) wiedergegeben wird. Die hohen Frequenzen im analogen Signal erscheinen im aufgezeichneten digitalen Sample als niedrigere Frequenzen (falsches Aliasing) und können daher vom DAC nicht wiedergegeben werden. Um dies zu verhindern, wird vor der Abtastung ein Anti-Aliasing-Filter eingesetzt, der die Frequenzanteile oberhalb der Nyquist-Frequenz entfernt.

In der Video- und Filmtechnik entsteht durch die begrenzte Bildrate zeitliches Aliasing und verursacht den Wagenradeffekt , bei dem sich ein Speichenrad scheinbar zu langsam oder sogar rückwärts dreht. Das Aliasing verändert die scheinbare Rotationsfrequenz. Eine Richtungsumkehr kann als negative Frequenz beschrieben werden . Die Frequenzen des zeitlichen Aliasings in Video und Filmtechnik werden durch die Bildrate der Kamera bestimmt, die relative Intensität der betroffenen Frequenzen jedoch durch die Verschlusszeit (Belichtungszeit) oder den Einsatz eines Filters zur Reduzierung des zeitlichen Aliasings während der Aufnahme. ^{[ 2 ]}

Wie bei Videokameras sind die meisten Abtastverfahren periodisch; das heißt, sie weisen eine charakteristische Abtastfrequenz in Zeit oder Raum auf. Digitalkameras liefern eine bestimmte Anzahl von Abtastwerten ( Pixeln ) pro Grad oder Radiant bzw. Abtastwerten pro Millimeter in der Fokalebene der Kamera. Audiosignale werden mit einem Analog-Digital-Wandler abgetastet ( digitalisiert ) , der eine konstante Anzahl von Abtastwerten pro Sekunde erzeugt. Besonders auffällige und subtile Beispiele für Aliasing treten auf, wenn das abgetastete Signal ebenfalls periodische Anteile aufweist.

Reale Signale haben eine endliche Dauer, ihr Frequenzspektrum, definiert durch die Fouriertransformation , ist jedoch nach oben unbegrenzt. Bei der Abtastung solcher zeitlich kontinuierlicher Funktionen tritt stets ein gewisses Maß an Aliasing auf. Funktionen mit begrenztem Frequenzspektrum ( bandbegrenzt ) haben im Zeitbereich eine unendliche Dauer. Bei ausreichend hoher Abtastrate, bestimmt durch die Bandbreite , lässt sich die ursprüngliche Funktion theoretisch aus der unendlichen Menge an Abtastwerten perfekt rekonstruieren.

Aliasing wird mitunter gezielt bei Signalen ohne Tieftonanteil, sogenannten Bandpasssignalen , eingesetzt . Unterabtastung , die niederfrequente Aliasing-Effekte erzeugt, kann mit geringerem Aufwand dasselbe Ergebnis erzielen wie die Frequenzverschiebung des Signals zu niedrigeren Frequenzen vor der Abtastung mit der niedrigeren Rate. Einige digitale Kanalisierer nutzen Aliasing auf diese Weise, um die Recheneffizienz zu steigern. ^{[ 3 ]}   (Siehe Abtastung (Signalverarbeitung) , Nyquist-Frequenz (bezogen auf die Abtastung) und Filterbank .)

Sinusfunktionen sind eine wichtige Art periodischer Funktionen, da realistische Signale häufig als Summe vieler Sinusfunktionen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden modelliert werden (beispielsweise mit einer Fourierreihe oder -transformation ). Das Verständnis des Aliasing-Effekts auf die einzelnen Sinusfunktionen ist hilfreich, um zu verstehen, was mit ihrer Summe geschieht.

Bei der Abtastung einer Funktion mit der Frequenz f _s (d. h. das Abtastintervall ist 1/ f _s ) liefern die folgenden Funktionen der Zeit ( t ) identische Mengen von Abtastwerten, wenn die Abtastung bei einem solchen Zeitpunkt beginnt, dass gilt , wobei , und so weiter: ${\textstyle t=0}$${\displaystyle t={\frac {1}{f_{s}}}n}$${\textstyle n=0,1,2,3}$

$${\displaystyle \{\sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\varphi ),N=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \}.}$$

Ein Frequenzspektrum der Abtastwerte erzeugt bei allen Frequenzen gleich starke Reaktionen. Ohne zusätzliche Informationen ist die Frequenz der ursprünglichen Funktion nicht eindeutig bestimmbar. Daher werden die Funktionen und ihre Frequenzen als Aliase voneinander bezeichnet. Die Sinusfunktionen sind ungerade Funktionen .

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{\rm {s}})t+\varphi )={\begin{cases}+\sin(2\pi (f+Nf_{\rm {s}})t+\varphi ),&f+Nf_{\rm {s}}\geq 0\\-\sin(2\pi |f+Nf_{\rm {s}}|t-\varphi ),&f+Nf_{\rm {s}}<0\\\end{cases}}}$

Wir können also alle Aliasfrequenzen als positive Werte schreiben: . Beispielsweise zeigt ein Ausschnitt des unteren rechten Bildes in Abb. 2 eine Komponente mit der tatsächlichen Frequenz und eine weitere Komponente mit der Aliasfrequenz . Während der Animation nimmt zu, während ab. Der Punkt, an dem beide Frequenzen gleich sind, ist eine Symmetrieachse, die Faltfrequenz , auch Nyquist-Frequenz genannt wird . ${\displaystyle f_{_{N}}(f)\triangleq \left|f+Nf_{\rm {s}}\right|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{_{-1}}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{_{-1}}(f)}$${\displaystyle (f=f_{s}/2)}$

Aliasing spielt eine Rolle, wenn man versucht, die ursprüngliche Wellenform aus ihren Abtastwerten zu rekonstruieren. Die gängigste Rekonstruktionsmethode erzeugt die niedrigste Frequenz. Daher ist es in der Regel wichtig, dass die Frequenz das eindeutige Minimum darstellt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist die Nyquist-Bedingung . Das untere linke Bild in Abb. 2 zeigt das typische Rekonstruktionsergebnis der verfügbaren Abtastwerte. Solange die Frequenz die Nyquist-Frequenz nicht überschreitet, entspricht die Rekonstruktion der tatsächlichen Wellenform (oberes linkes Bild). Danach handelt es sich um das niederfrequente Aliasing des oberen Bildes. ${\displaystyle f_{_{N}}(f)}$${\displaystyle f_{0}(f)}$${\displaystyle f_{s}/2>|f|,}$${\displaystyle f}$

Die folgenden Abbildungen veranschaulichen Aliasing-Effekte aufgrund der Abtastung. Ein Diagramm der Amplitude über der Frequenz (nicht der Zeit) für eine einzelne Sinuswelle mit der Frequenz _{0,6 fs und einige ihrer Aliasing-Signale bei 0,4 fs , 1,4 fs} und 1,6 fs sähe aus wie die vier schwarzen Punkte in Abb. 3. Die roten Linien zeigen die Pfade ( Ortskurven ) dieser vier Punkte , wenn man Frequenz und Amplitude der Sinuswelle entlang des durchgezogenen roten Segments (zwischen fs _/ 2 und fs ₎ anpasst . Unabhängig von der gewählten Funktion zur Änderung der Amplitude über der Frequenz weist das Diagramm eine Symmetrie zwischen 0 und fs auf . Faltungen sind in der Praxis häufig bei der Betrachtung des Frequenzspektrums reeller Abtastwerte zu beobachten, wie in Abb. 4 dargestellt _.

Komplexe Sinuswellen sind Wellenformen, deren Abtastwerte komplexe Zahlen sind ( ), und das Konzept der negativen Frequenz ist notwendig, um sie zu unterscheiden. In diesem Fall ergeben sich die Frequenzen der Aliassignale einfach aus: f _{_N} ( f ) = f + Nf_{_s} . (Bei reellen Sinuswellen können, wie oben gezeigt, alle Aliasfrequenzen aufgrund der ungeraden Natur der Sinusfunktion als positive Frequenzen geschrieben werden.) Daher steigt f ^_-1 ( f ) mit zunehmendem f von 0 auf f _{_s} (von -f _{_s} auf 0). Folglich weisen komplexe Sinuswellen keine Faltung auf . ${\textstyle z=Ae^{i\theta }=A(\cos \theta +i\sin \theta )}$${\displaystyle f_{_{N}}(f)\triangleq \left|f+Nf_{\rm {s}}\right|}$

Wenn die Bedingung f_{_s}/2 > f für die höchste Frequenzkomponente des ursprünglichen Signals erfüllt ist, gilt sie auch für alle anderen Frequenzkomponenten – das sogenannte Nyquist-Kriterium . Üblicherweise wird dies durch Filtern des ursprünglichen Signals angenähert, um die hohen Frequenzkomponenten vor der Abtastung zu dämpfen. Diese gedämpften hohen Frequenzkomponenten erzeugen zwar weiterhin niederfrequente Aliasing-Effekte, jedoch in der Regel mit so geringen Amplituden, dass sie keine Probleme verursachen. Ein Filter, der in Abhängigkeit von einer bestimmten Abtastfrequenz ausgewählt wird, heißt Anti-Aliasing-Filter .

Das gefilterte Signal kann anschließend mithilfe von Interpolationsalgorithmen ohne nennenswerte zusätzliche Verzerrung rekonstruiert werden. Die meisten abgetasteten Signale werden jedoch nicht einfach gespeichert und rekonstruiert. Die Genauigkeit einer theoretischen Rekonstruktion (mittels der Whittaker-Shannon-Interpolationsformel ) ist ein übliches Maß für die Effektivität der Abtastung.

Der Begriff Aliasing stammt ursprünglich aus der Funktechnik und ist auf die Funktionsweise von Überlagerungsempfängern zurückzuführen. Wenn der Empfänger mehrere Signale durch Überlagerung von der Hochfrequenz (HF) auf die Zwischenfrequenz ( ZF) verschiebt , kann ein unerwünschtes Signal, dessen HF-Frequenz genauso weit von der Frequenz des Lokaloszillators (LO) entfernt ist wie die des Nutzsignals, aber auf der falschen Seite des LO liegt, auf der gleichen ZF-Frequenz wie das Nutzsignal landen. Ist es stark genug, kann es den Empfang des Nutzsignals stören. Dieses unerwünschte Signal wird als Spiegelbild oder Alias ​​des Nutzsignals bezeichnet.

Die Begriffe „Alias“ und „Aliasing“ in der Signalverarbeitung wurden erstmals 1949 in einem unveröffentlichten technischen Memorandum der Bell Laboratories von John Tukey und Richard Hamming ^{[ 4 ]} schriftlich erwähnt . Dieses Memorandum enthält ein Beispiel für Frequenzaliasing aus dem Jahr 1922. Die erste publizierte Verwendung des Begriffs „Aliasing“ in diesem Kontext geht auf Blackman und Tukey im Jahr 1958 zurück ^{[ 5 ]} . In ihrem Vorwort zum Dover-Nachdruck ^{[ 6 ]} dieser Arbeit weisen sie darauf hin, dass das Konzept des Aliasing bereits zehn Jahre zuvor von Stumpf ^{[ 7 ]} grafisch dargestellt worden war .

Der technische Bericht von Bell aus dem Jahr 1949 erwähnt Aliasing, als sei es ein allgemein bekanntes Konzept, nennt aber keine Quelle für den Begriff. Gwilym Jenkins und Maurice Priestley schreiben Tukey die Einführung in diesem Kontext zu ^{[ 8 ]} , obwohl ein analoges Konzept des Aliasing bereits einige Jahre zuvor ^{[ 9 ]} in fraktionalen faktoriellen Versuchsplänen eingeführt worden war . Obwohl Tukey bedeutende Arbeiten zu faktoriellen Experimenten leistete ^{[ 10 ]} und sich des Aliasing-Effekts in fraktionalen Versuchsplänen sicherlich bewusst war ^{[ 11 ],} lässt sich nicht feststellen, ob seine Verwendung des Begriffs „Aliasing“ in der Signalverarbeitung bewusst von solchen Versuchsplänen inspiriert war.

Aliasing tritt immer dann auf, wenn die Verwendung diskreter Elemente zur Erfassung oder Erzeugung eines kontinuierlichen Signals zu Frequenzmehrdeutigkeiten führt.

Räumliches Aliasing, insbesondere bei der Winkelfrequenz, kann auftreten, wenn ein Lichtfeld oder Schallfeld mit diskreten Elementen reproduziert wird, wie beispielsweise bei 3D-Displays oder der Wellenfeldsynthese von Schall. ^{[ 12 ]}

Dieses Aliasing ist in Bildern wie beispielsweise Postern mit Lentikulardruck sichtbar : Bei geringer Winkelauflösung ändert sich das 2D-Bild beim Vorbeigehen, beispielsweise von links nach rechts, zunächst nicht (es scheint sich also nach links zu bewegen), ändert sich dann aber beim Übergang zum nächsten Winkelbild sprunghaft (es springt also nach rechts) – und die Frequenz und Amplitude dieser Seitwärtsbewegung entspricht der Winkelauflösung des Bildes (und, im Falle der Frequenz, der Geschwindigkeit der seitlichen Bewegung des Betrachters), was dem Winkel-Aliasing des 4D-Lichtfeldes entspricht.

Der fehlende Parallaxeneffekt bei der Bewegung des Betrachters in 2D-Bildern und in 3D-Filmen, der durch Stereobrillen erzeugt wird ( in 3D-Filmen wird der Effekt als „ Gieren “ bezeichnet, da sich das Bild scheinbar um seine Achse dreht), kann analog als Verlust der Winkelauflösung betrachtet werden, wobei alle Winkelfrequenzen auf 0 (konstant) aliasiert werden.

Die qualitativen Auswirkungen von Aliasing lassen sich in der folgenden Audiodemonstration veranschaulichen. Sechs Sägezahnwellen werden nacheinander abgespielt: Die ersten beiden Sägezahnwellen haben eine Grundfrequenz von 440 Hz (A4), die zweiten beiden von 880 Hz (A5) und die letzten beiden von 1760 Hz (A6). Es wechseln sich bandbegrenzte (nicht-aliasingbehaftete) und aliasingbehaftete Sägezahnwellen ab, die Abtastrate beträgt 22050 Hz. Die bandbegrenzten Sägezahnwellen werden aus der Fourier-Reihe der Sägezahnwellenform synthetisiert, sodass keine Obertöne oberhalb der Nyquist-Frequenz (hier 11025 Hz = 22050 Hz / 2) vorhanden sind.

Die Aliasing-Verzerrung in den unteren Frequenzen wird mit steigender Grundfrequenz immer deutlicher, und während der bandbegrenzte Sägezahn bei 1760 Hz noch klar erkennbar ist, ist der durch das Aliasing verzerrte Sägezahn verschlechtert und rau, wobei bei Frequenzen unterhalb der Grundfrequenz ein Brummen hörbar ist.

Eine Form von räumlichem Aliasing kann auch in Antennen- oder Mikrofonarrays auftreten, die zur Schätzung der Einfallsrichtung eines Wellensignals verwendet werden, beispielsweise bei der geophysikalischen Erkundung mittels seismischer Wellen. Wellen müssen dichter als mit zwei Punkten pro Wellenlänge abgetastet werden , da die Einfallsrichtung der Welle sonst mehrdeutig wird. ^{[ 13 ]}

• Brillouin-Zone
• Glossar der Videobegriffe
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• Stroboskopischer Effekt
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• Nyquist-Shannon-Abtasttheorem § Kritische Frequenz

• Aliasing durch ein Abtastoszilloskop auf YouTube von einem Tektronix-Anwendungsingenieur
• Der Anti-Aliasing-Filter-Leitfaden von La Vida Leica erläutert Zweck und Wirkung des Filters auf die aufgenommenen Bilder.
• Interaktive Beispiele zur Veranschaulichung des Aliasing-Effekts