Tusi-Paar

Das Tusi-Paar (auch bekannt als Tusi-Mechanismus ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ) ist ein mathematisches Modell, bei dem ein kleiner Kreis innerhalb eines größeren Kreises rotiert, dessen Durchmesser doppelt so groß ist wie der des kleineren Kreises. Durch die Rotation der Kreise schwingt ein Punkt auf dem Umfang des kleineren Kreises linear entlang eines Durchmessers des größeren Kreises hin und her . Das Tusi-Paar ist eine zweispitzige Hypozykloide .

Das Paar wurde erstmals im 13. Jahrhundert von dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasir al-Din al-Tusi in seinem 1247 erschienenen Werk Tahrir al-Majisti ( Kommentar zum Almagest ) als Lösung für die Breitenbewegung der inneren Planeten vorgeschlagen ^{[ 4 ]} und später umfassend als Ersatz für den über tausend Jahre zuvor in Ptolemäus ’ Almagest eingeführten Äquanten verwendet . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Die Übersetzung der Abschrift von Tusis Originalbeschreibung seines geometrischen Modells deutet auf mindestens eine Umkehrung des Modells hin, die in den Diagrammen zu erkennen ist:

Wenn zwei koplanare Kreise, deren Durchmesser jeweils halb so groß ist wie der des anderen, sich in einem Punkt berühren und ein Punkt auf dem kleineren Kreis – der Berührungspunkt – gewählt wird, und wenn sich die beiden Kreise in entgegengesetzter Richtung mit einfachen Bewegungen bewegen, wobei die Bewegung des kleineren Kreises doppelt so groß ist wie die des größeren (der kleinere Kreis also zwei Umdrehungen für jede Umdrehung des größeren vollführt), dann bewegt sich dieser Punkt auf dem Durchmesser des größeren Kreises, der anfänglich durch den Berührungspunkt verläuft, und oszilliert zwischen den Endpunkten. ^{[ 8 ]}

Algebraisch lässt sich das Modell mit komplexen Zahlen wie folgt ausdrücken:

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)e^{i\theta }-{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }=i\,\sin \theta .}$

Andere Kommentatoren haben festgestellt, dass das Tusi-Paar als rollende Kurve interpretiert werden kann , bei der die Rotation des inneren Kreises eine Haftbedingung erfüllt, während sich sein Tangentialpunkt entlang des festen äußeren Kreises bewegt.

Der Begriff „Tusi-Paar“ ist eine moderne Bezeichnung, geprägt von Edward Stewart Kennedy im Jahr 1966. ^{[ 9 ]} Es handelt sich um eines von mehreren spätislamischen astronomischen Instrumenten, die eine auffällige Ähnlichkeit mit Modellen in Nikolaus Kopernikus ’ Werk „De revolutionibus“ aufweisen , darunter sein Merkurmodell und seine Theorie der Beklemmung . Historiker vermuten, dass Kopernikus oder ein anderer europäischer Autor Zugang zu einem arabischen astronomischen Text hatte, doch die genaue Überlieferungskette konnte bisher nicht identifiziert werden. ^{[ 10 ]} Der Wissenschaftler und Reisende Guillaume Postel aus dem 16. Jahrhundert wird als möglicher Vermittler genannt. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Da das Tusi-Paar von Kopernikus in seiner Neuformulierung der mathematischen Astronomie verwendet wurde, herrscht zunehmend Einigkeit darüber, dass er auf irgendeine Weise mit dieser Idee in Berührung kam. Es wurde vermutet ^{[ 13 ] [ 14 ]} , dass die Idee des Tusi-Paares nach Europa gelangte, ohne dass viele handschriftliche Spuren überliefert waren, da dies auch ohne Übersetzung arabischer Texte ins Lateinische geschehen sein könnte. Ein möglicher Übertragungsweg könnte über die byzantinische Wissenschaft verlaufen sein ; Gregor von Chioniades übersetzte einige Werke von al-Tusi aus dem Arabischen ins Byzantinische Griechisch . Mehrere byzantinisch-griechische Handschriften, die das Tusi-Paar enthalten, sind in Italien erhalten geblieben. ^{[ 15 ]} Eine weitere Möglichkeit ist, dass er während seines Studiums in Italien auf die Handschrift der „Begradigung der Kurven“ (Sefer Meyasher 'Aqov) stieß. ^{[ 16 ]}

Während al-Tusis Modell zeigt, wie aus zwei Kreisbewegungen eine geradlinige Bewegung entsteht, zeigt Proklos in seinem Kommentar zum Ersten Buch Euklids im Gegenteil, wie aus zwei geradlinigen Bewegungen eine Kreisbewegung abgeleitet werden kann. ^{[ 17 ]} In seinen vor 1362 verfassten Fragen zur Sphäre beschrieb Nicole Oresme , wie man Kreisbewegungen kombiniert, um eine geradlinige Hin- und Herbewegung eines Planeten entlang des Radius seines Epizykels zu erzeugen. Oresmes Beschreibung ist unklar, und es ist ungewiss, ob es sich um eine eigenständige Erfindung oder den Versuch handelt, einen schwer verständlichen arabischen Text zu interpretieren. ^{[ 18 ]}

Obwohl das Tusi-Paar ursprünglich im astronomischen Kontext entwickelt wurde, entwickelten spätere Mathematiker und Ingenieure ähnliche Varianten des sogenannten hypozykloiden Geradlinmechanismus. Der Mathematiker Gerolamo Cardano entwarf ein System, das als Cardan-Getriebe (auch bekannt als Kardangetriebe ) bekannt ist. ^{[ 19 ]} Ingenieure des 19. Jahrhunderts wie James White ^{[20] und Matthew Murray [ 21 ] sowie} spätere Konstrukteure ^{entwickelten praktische} Anwendungen des hypozykloiden Geradlinmechanismus.

Eine praktische und mechanisch einfache Version des Tusi-Kupplungspaares, die auf ein Außenzahnrad verzichtet, wurde 2021 von John Goodman entwickelt, um eine lineare Bewegung zu ermöglichen. ^{[ 22 ]} Sie verwendet drei Standard-Stirnräder. Ein rotierender (blauer) Arm ist auf einer zentralen Welle montiert, an der ein feststehendes (gelbes) Zahnrad befestigt ist. Ein (rotes) Zwischenrad am Arm kämmt mit dem feststehenden Zahnrad. Ein drittes (grünes) Zahnrad kämmt mit dem Zwischenrad. Das dritte Zahnrad hat die Hälfte der Zähnezahl des feststehenden Zahnrads. Ein (oranger) Arm ist am dritten Zahnrad befestigt. Wenn die Länge des Arms dem Abstand zwischen dem feststehenden und dem Außenzahnrad (d) entspricht, beschreibt der Arm eine Gerade mit einem Versatz von 2d. Ein Vorteil dieser Konstruktion ist, dass das Zwischenrad nicht kollinear zu den anderen beiden Zahnrädern sein muss, falls Standard-Modulzahnräder nicht den erforderlichen Versatz bieten.

Eine Eigenschaft des Tusi-Paares ist, dass Punkte auf dem inneren Kreis, die nicht auf dem Umfang liegen, Ellipsen beschreiben . Diese Ellipsen und die vom klassischen Tusi-Paar beschriebene Gerade sind Spezialfälle von Hypotrochoiden . ^{[ 23 ]}

• Deltoidkurve
• Planetengetriebe
• Geometrische Drehbank
• Guilloché
• Murrays Hypozykloidenmaschine nutzt ein Tusi-Kupplungspaar anstelle von Kreuzkopfführungen oder Parallelbewegung.
• Spirograph
• geradliniger Mechanismus

• Di Bono, Mario (1995). „Copernicus, Amico, Fracastoro und Tusis Apparat: Beobachtungen zur Verwendung und Überlieferung eines Modells“. Journal for the History of Astronomy . 26 (2): 133–154 . Bibcode : 1995JHA....26..133D . doi : 10.1177/002182869502600203 . S2CID  118330488 .
• Kennedy, ES (1966). „Spätmittelalterliche Planetentheorie“. Isis . 57 (3): 365–378 . doi : 10.1086/350144 . S2CID  143569912 .
• Kren, Claudia (1971). „Das Rollgerät von Naṣir al-Dīn al-Ṭūsī im De spera von Nicole Oresme“. Isis . 62 (4): 490–498 . doi : 10.1086/350791 . S2CID  144526697 .
• Ragep, FJ „Die zwei Versionen des Tusi-Paares“, in: Von Deferent zu Equant: Ein Band mit Studien zur Geschichte der Wissenschaft im alten und mittelalterlichen Nahen Osten zu Ehren von E. S. Kennedy , hrsg. von David King und George Saliba, Annalen der New York Academy of Sciences, 500. New York Academy of Sciences, 1987. ISBN 0-89766-396-9(Taschenbuch)
• Ragep, FJ Nasir al-Din al-Tusis „Abhandlung über Astronomie“, Quellen zur Geschichte der Mathematik und der physikalischen Wissenschaften, 12. 2 Bde. Berlin/New York: Springer, 1993. ISBN 3-540-94051-0/ ISBN 0-387-94051-0Die

• Dennis W. Duke, Ancient Planetary Model Animations enthält zwei interessante Links:
  • Eine interaktive Simulation des Tusi-Paares
  • Arabische Modelle zum Ersetzen des Äquanten
• George Saliba, „Wessen Wissenschaft ist die arabische Wissenschaft im Europa der Renaissance?“ Erörtert das Modell von Nasir al-Din al-Tusi und die Interaktionen arabischer, griechischer und lateinischer Astronomen.