Spirograph

Der Spirograph ist ein geometrisches Zeichengerät, das mathematische Roulette- Kurven erzeugt, die fachsprachlich als Hypotrochoiden und Epitrochoiden bezeichnet werden . Die bekannte Spielzeugversion wurde vom britischen Ingenieur Denys Fisher entwickelt und erstmals 1965 verkauft.

Der Name ist seit 1998 eine eingetragene Marke von Hasbro Inc., nachdem das Unternehmen die Firma übernommen hatte, die zuvor Denys Fisher erworben hatte. Die Marke Spirograph wurde 2013 von Kahootz Toys mit ihren ursprünglichen Produktkonfigurationen weltweit neu eingeführt .

1827 entwickelte und bewarb der aus Griechenland stammende englische Architekt und Ingenieur Peter Hubert Desvignes einen „Speiragraphen“, ein Gerät zur Erstellung aufwendiger Spiralzeichnungen. Ein Mann namens J. Jopling behauptete bald darauf, ähnliche Methoden erfunden zu haben. ^{[ 1 ]} Während seiner Tätigkeit in Wien zwischen 1845 und 1848 konstruierte Desvignes eine Version der Maschine, die zur Verhinderung von Banknotenfälschungen beitragen sollte, ^{[ 2 ]} da die nahezu unendlichen Variationen von Roulette-Mustern, die sie erzeugen konnte, extrem schwer zu rekonstruieren waren. Der Mathematiker Bruno Abakanowicz erfand zwischen 1881 und 1900 ein neues Spirograph-Gerät. Es diente zur Berechnung einer von Kurven begrenzten Fläche. ^{[ 3 ]}

Zeichenspielzeuge auf Zahnradbasis gibt es mindestens seit 1908, als der „Marvelous Wondergraph“ im Sears-Katalog beworben wurde . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Ein Artikel, der den Bau einer Wondergraph-Zeichenmaschine beschrieb, erschien 1913 in der Zeitschrift „Boys Mechanic“ . ^{[ 6 ]}

Das endgültige Spirograph-Spielzeug wurde zwischen 1962 und 1964 von dem britischen Ingenieur Denys Fisher entwickelt , der Zeichenmaschinen aus Meccano- Teilen baute. Fisher stellte seinen Spirographen 1965 auf der Internationalen Spielwarenmesse in Nürnberg aus . Anschließend wurde er von seinem Unternehmen produziert. Die Vertriebsrechte für die USA erwarb Kenner , Inc., die das Spielzeug 1966 auf dem US-Markt einführte und als kreatives Kinderspielzeug bewarb. Später brachte Kenner Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman und verschiedene Nachfüllsets auf den Markt. ^{[ 7 ]}

2013 wurde die Marke Spirograph von Kahootz Toys mit den originalen Zahnrädern und Rädern weltweit neu aufgelegt. Die modernen Produkte verwenden anstelle von Stiften abnehmbare Knetmasse, um die festen Teile zu fixieren. Der Spirograph wurde 1967 zum Spielzeug des Jahres gekürt und war 2014 in zwei Kategorien für den Spielzeug-des-Jahres-Preis nominiert. Kahootz Toys wurde 2019 von PlayMonster LLC übernommen. ^{[ 8 ]}

Der ursprüngliche, in den USA erschienene Spirograph bestand aus zwei unterschiedlich großen Kunststoffringen ( Statoren ) mit Zahnrädern an Innen- und Außenseite. Sobald einer dieser Ringe fixiert war (entweder mit Stiften, Klebstoff oder von Hand), konnte man verschiedene Zahnräder ( Rotoren ) – jeweils mit einer Öffnung für einen Kugelschreiber – um den Ring drehen, um geometrische Formen zu zeichnen. Später erweiterte der Super-Spirograph sein Sortiment um weitere Formen wie Ringe, Dreiecke und gerade Stäbe. Alle Kanten der einzelnen Teile sind verzahnt, sodass sie ineinandergreifen können. Kleinere Zahnräder passen in die größeren Ringe, können sich aber auch entlang der Außenkante der Ringe oder sogar umeinander drehen. Die Zahnräder lassen sich in vielfältigen Anordnungen kombinieren. Oft enthielten die Sets verschiedenfarbige Stifte, mit denen sich die Zeichnungen durch Farbwechsel verschönern ließen, wie in den hier gezeigten Beispielen zu sehen ist.

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  Animation eines Spirographen
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  Nahaufnahme eines Spirographenrades
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  Mehrere Spirograph-Designs, gezeichnet mit einem Spirograph-Set unter Verwendung mehrerer verschiedenfarbiger Stifte.
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  Zeichnen von Mustern mit einem Spirographenring und -rad

Betrachten wir einen festen äußeren Kreis mit Radius r um den Ursprung. Ein kleinerer innerer Kreis mit Radius r rollt darin und berührt ihn stetig. Es wird angenommen, dass der innere Kreis niemals rutscht (in einem realen Spirographen verhindern Zähne an beiden Kreisen ein solches Rutschen). Nehmen wir nun an, dass sich ein Punkt im Inneren des Kreises im Abstand r vom Mittelpunkt befindet . Dieser Punkt entspricht dem Stiftloch in der inneren Scheibe eines realen Spirographen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass sich der Punkt zu Beginn auf der Achse befand. Um die vom Spirographen erzeugte Bahn zu bestimmen, verfolgen wir den Punkt, während der innere Kreis in Bewegung gesetzt wird. ${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle r<R}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \rho <r}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

Markieren wir nun zwei Punkte auf und auf . Der Punkt markiert stets den Berührungspunkt der beiden Kreise. Der Punkt hingegen bewegt sich auf und seine Ausgangsposition fällt mit zusammen . Nachdem er sich entgegen dem Uhrzeigersinn um bewegt hat , dreht er sich im Uhrzeigersinn um seinen Mittelpunkt. Die Strecke, die dieser Punkt auf zurücklegt, ist aufgrund des fehlenden Gleitens dieselbe wie die des Berührungspunktes auf .${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$

Wir definieren nun das neue (relative) Koordinatensystem mit seinem Ursprung im Mittelpunkt von und seinen Achsen parallel zu und . Sei der Parameter der Winkel, um den sich der Tangentialpunkt auf dreht , und der Winkel, um den sich dreht (d. h. um den sich bewegt) im relativen Koordinatensystem. Da kein Gleiten auftritt, müssen die von und auf ihren jeweiligen Kreisen zurückgelegten Strecken gleich sein, daher ${\displaystyle (X',Y')}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle tR=(tt')r,}$

oder gleichbedeutend mit

${\displaystyle t'=-{\frac {Rr}{r}}t.}$

Üblicherweise geht man davon aus, dass eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn einer positiven Winkeländerung und eine Drehung im Uhrzeigersinn einer negativen Winkeländerung entspricht. Das Minuszeichen in der obigen Formel ( ) trägt dieser Konvention Rechnung. ${\displaystyle t'<0}$

Seien die Koordinaten des Mittelpunkts von im absoluten Koordinatensystem. Dann stellt der Radius der Bahn des Mittelpunkts von dar , die (ebenfalls im absoluten System) eine Kreisbewegung ausführt: ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle Rr}$${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=(Rr)\cos t,\\y_{c}&=(Rr)\sin t.\end{aligned}}}$

Wie oben definiert, ist der Drehwinkel im neuen relativen Koordinatensystem. Da der Punkt dem üblichen Gesetz der Kreisbewegung gehorcht, sind seine Koordinaten im neuen relativen Koordinatensystem${\displaystyle t'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\rho \cos t',\\y'&=\rho \sin t'.\end{aligned}}}$

Um die Trajektorie im absoluten (alten) Koordinatensystem zu erhalten, addiert man diese beiden Bewegungen: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(Rr)\cos t+\rho \cos t',\\y&=y_{c}+y'=(Rr)\sin t+\rho \sin t',\\\end{aligned}}}$

wobei oben definiert ist. ${\displaystyle \rho }$

Verwenden Sie nun die oben hergeleitete Beziehung zwischen und , um Gleichungen zu erhalten, die die Trajektorie des Punktes in Abhängigkeit von einem einzigen Parameter beschreiben : ${\displaystyle t}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{c}+x'=(Rr)\cos t+\rho \cos {\frac {Rr}{r}}t,\\y&=y_{c}+y'=(Rr)\sin t-\rho \sin {\frac {Rr}{r}}t\\\end{aligned}}}$

(unter Ausnutzung der Tatsache, dass die Funktion ungerade ist ). ${\displaystyle \sin }$

Es ist zweckmäßig, die obige Gleichung mithilfe des Radius und dimensionsloser Parameter, die die Struktur des Spirographen beschreiben, darzustellen . Sei also ${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$

${\displaystyle l={\frac {\rho }{r}}}$

Und

${\displaystyle k={\frac {r}{R}}.}$

Der Parameter gibt an, wie weit der Punkt vom Mittelpunkt entfernt ist . Gleichzeitig gibt er an, wie groß der innere Kreis im Verhältnis zum äußeren ist . ${\displaystyle 0\leq l\leq 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle 0\leq k\leq 1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

Es wird nun festgestellt, dass

${\displaystyle {\frac {\rho }{R}}=lk,}$

und daher nehmen die Trajektoriengleichungen die folgende Form an

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=R\left[(1-k)\cos t+lk\cos {\frac {1-k}{k}}t\right],\\y(t)&=R\left[(1-k)\sin t-lk\sin {\frac {1-k}{k}}t\right].\\\end{aligned}}}$

Der Parameter ist ein Skalierungsparameter und beeinflusst die Struktur des Spirographen nicht. Unterschiedliche Werte von würden ähnliche Spirograph-Zeichnungen ergeben. ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Die beiden Extremfälle führen zu entarteten Trajektorien des Spirographen. Im ersten Extremfall, wenn , erhalten wir einen einfachen Kreis mit Radius , was dem Fall entspricht, in dem zu einem Punkt geschrumpft ist. (Die Division durch in der Formel ist unproblematisch, da sowohl als auch beschränkte Funktionen sind.) ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$

Der andere Extremfall entspricht dem Fall, dass der Radius des inneren Kreises dem Radius des äußeren Kreises entspricht , d. h . . In diesem Fall ist die Bahn ein einzelner Punkt. Intuitiv ist zu groß, um innerhalb eines gleich großen Kreises ohne Rutschen abzurollen. ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C_{o}}$${\displaystyle r=R}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle C_{o}}$

Wenn , dann liegt der Punkt auf dem Umfang von . In diesem Fall werden die Trajektorien Hypozykloiden genannt , und die obigen Gleichungen reduzieren sich auf die Gleichungen für eine Hypozykloide. ${\displaystyle l=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{i}}$

• Apsidenpräzession  – Rotation der Bahnlinie der Apsiden eines Himmelskörpers
• Kardioide  – Art der ebenen Kurve
• Zyklograph  – Instrument zum Zeichnen von Kreisbögen mit großem Durchmesser ohne klar definierten Mittelpunkt
• Geometrische Drehmaschine  – Graviergerät
• Guilloché  – Dekorationstechnik
• Harmonograph  – Gerät, das Pendel zur Erzeugung von Bildern verwendet

• Offizielle Website
• Voevudko, AE (12. März 2018). „Gearographische Kurven“ . Code Project .