0

0 ( Null , / ˈziːroʊ / ) ist eine Zahl , die eine leere Größe repräsentiert. Addiert man 0 zu einer beliebigen Zahl (oder subtrahiert man 0 davon ) , bleibt diese Zahl unverändert. Mathematisch gesehen ist 0 das neutrale Element der Addition bei den ganzen Zahlen , rationalen Zahlen , reellen Zahlen und komplexen Zahlen sowie anderen algebraischen Strukturen . Die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 ergibt 0, und folglich gilt die Division durch 0 in der Arithmetik allgemein als undefiniert .

Als Ziffer spielt die 0 in der Dezimaldarstellung eine entscheidende Rolle : Sie zeigt an, dass die Zehnerpotenz an der Stelle der 0 nicht zum Gesamtergebnis beiträgt. Beispielsweise bedeutet „205“ im Dezimalsystem zwei Hunderter, keine Zehner und fünf Einer. Dasselbe Prinzip gilt auch in Stellenwertsystemen mit einer anderen Basis als zehn, wie etwa im Binär- und Hexadezimalsystem . Die moderne Verwendung der 0 in dieser Weise stammt aus der indischen Mathematik , die über mittelalterliche islamische Mathematiker nach Europa gelangte und durch Fibonacci bekannt wurde . Sie wurde auch unabhängig davon von den Maya verwendet .

Gängige Bezeichnungen für die Zahl 0 im Englischen sind zero , nought , naught ( / nɔːt / ) und nil . Wenn sie sich durch mindestens eine benachbarte Ziffer vom Buchstaben O unterscheidet , wird sie manchmal als oh oder o ( / oʊ / ) ausgesprochen. Umgangssprachlich oder umgangssprachlich werden für 0 auch zilch und zip verwendet . Historisch gesehen wurden auch ought , aught ( / ɔːt / ) und cipher verwendet.

Das Wort „zero“ gelangte über das französische „zéro“ aus dem Italienischen „zero“ in die englische Sprache. „ zero “ ist eine Kontraktion der venezianischen Form „zevero“ des italienischen „zefiro“ , das selbst aus dem Arabischen „ ṣafira “ oder „ṣifr“ entlehnt ist . ^{[ 1 ]}

In vorislamischer Zeit hatte das Wort ṣifr (arabisch صفر ) die Bedeutung „leer“. Sifr entwickelte sich zu „Null“, als es zur Übersetzung von śūnya ( Sanskrit : शून्य ) aus Indien verwendet wurde. ^{[ 2 ]} Die früheste bekannte Verwendung von „Null“ als Lehnwort in der englischen Literatur stammt aus dem Jahr 1598. ^{[ 3 ]}

Der italienische Mathematiker Fibonacci ( ca. 1170  – ca. 1250 ), der in Nordafrika aufwuchs und als Begründer des Dezimalsystems in Europa gilt, verwendete den Begriff „zephyrum“ . Dieser wurde im Italienischen zu „zefiro“ und später über die venezianische Form „zevero“ zu „null“ verkürzt . Das italienische Wort „zefiro“ (von lateinisch und griechisch „Zephyrus “ , Bedeutung: „Westwind“) existierte bereits und könnte die Schreibweise bei der Transkription des arabischen „ṣifr“ beeinflusst haben . ^{[ 4 ]}

Je nach Kontext können unterschiedliche Wörter für die Zahl Null oder das Konzept der Null verwendet werden. Für die einfache Bedeutung des Fehlens werden oft die Wörter „ nichts “ ( obwohl dies nicht ganz korrekt ist ) und „keine“ verwendet. Die englischen Wörter „nought“ oder „naught“ , „ nil “ und „null“ sind ebenfalls synonym. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Im Zusammenhang mit dem Vorlesen von Ziffernfolgen wie Telefonnummern , Adressen , Kreditkartennummern , Uhrzeiten im 24-Stunden-Format oder Jahreszahlen wird oft „oh“ verwendet. Beispielsweise wird die Vorwahl 201 als „zwei oh eins“ und die Jahreszahl 1907 oft als „neunzehn oh sieben“ ausgesprochen. Das Vorhandensein anderer Ziffern, die darauf hinweisen, dass die Zeichenfolge nur Zahlen enthält, vermeidet Verwechslungen mit dem Buchstaben O. Aus diesem Grund kann in Systemen, die sowohl Buchstaben- als auch Zahlenfolgen enthalten (wie beispielsweise Postleitzahlen in Großbritannien ), auf die Verwendung des Buchstabens O verzichtet werden. ^{[ 7 ]}

Slangausdrücke für Null sind unter anderem „zip“, „zilch“, „nada“ und „scratch“. ^{[ 8 ]} Im Sportkontext wird manchmal „nil“ verwendet, insbesondere im britischen Englisch . Verschiedene Sportarten haben spezifische Ausdrücke für ein Ergebnis von null, wie zum Beispiel „ love “ im Tennis – möglicherweise vom französischen „l’œuf“ , „das Ei“ – und „ duck “ im Cricket , eine Kurzform von „duck’s egg“ (Entenei). „Goose egg“ ist ein weiterer allgemeiner Slangausdruck für Null. ^{[ 8 ]}

Das Konzept der Null spielt in der Mathematik mehrere Rollen: Als Ziffer ist sie ein wichtiger Bestandteil der Stellenwertnotation zur Darstellung von Zahlen, gleichzeitig spielt sie aber auch als eigenständige Zahl in vielen algebraischen Kontexten eine wichtige Rolle.

In Stellenwertsystemen (wie der üblichen Dezimaldarstellung ) dient die Ziffer 0 als Platzhalter und zeigt an, dass bestimmte Potenzen der Basis nicht berücksichtigt werden. Beispielsweise ist die Dezimalzahl 205 die Summe von zwei Hundertern und fünf Einern, wobei die Ziffer 0 anzeigt, dass keine Zehner addiert werden. Dieselbe Funktion erfüllt die Ziffer 0 bei Dezimalbrüchen und in der Dezimaldarstellung anderer reeller Zahlen (sie gibt an, ob Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw. vorhanden sind) sowie in anderen Zahlensystemen als 10 (z. B. im Binärsystem, wo sie angibt, welche Zweierpotenzen weggelassen werden). ^{[ 9 ]}

Die Zahl 0 ist die kleinste nichtnegative und die größte nichtpositive ganze Zahl. Die auf 0 folgende natürliche Zahl ist 1, und es gibt keine natürliche Zahl vor 0. Die Zahl 0 ^kann als natürliche Zahl betrachtet werden oder auch nicht [ ^{10 ] [ 11 ]} , aber sie ist eine ganze Zahl und somit sowohl eine rationale als auch eine reelle Zahl ^{[ 12 ]} . Null ist gerade ^{[ 13 ]} (d. h. ein Vielfaches von 2) und auch ein ganzzahliges Vielfaches jeder anderen ganzen Zahl ^{[ 14 ]} . Sie ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ^{[ 15 ]} .

Die Zahl 0 wird weder als positiv noch als negativ betrachtet ^{[ 16 ]} und üblicherweise als Ursprung einer Zahlengeraden dargestellt . ^{[ 17 ]} Erweitert man die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen , so wird 0 zum Ursprung der komplexen Ebene. ^{[ 18 ]}

Im Folgenden sind einige Grundregeln für den Umgang mit der Zahl 0 aufgeführt. Diese Regeln gelten für jede reelle oder komplexe Zahl x , sofern nicht anders angegeben.

• Addition : x + 0 = 0 + x = x . Das heißt, 0 ist ein neutrales Element bezüglich der Addition. ^{[ 19 ]}
• Subtraktion : x − 0 = x und 0 − x = − x . ^{[ 20 ]}
• Multiplikation : x · 0 = 0 · x = 0. ^{[ 21 ]} Die Umkehrung gilt auch: Wenn x · y = 0, dann ist x=0 oder y=0.

• Abteilung :​0/X= 0 für x ≠ 0. AberX/0ist undefiniert , da 0 kein multiplikatives Inverses besitzt ( keine reelle Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt 1), eine Folge der vorherigen Regel. ^{[ 22 ]}
• Potenzierung : x ⁰ = ⁠X/X= 1, außer dass der Fall x = 0 in einigen Kontexten als undefiniert gilt. Für alle positiven reellen x gilt 0 x ⁼ 0 . ^{[ 23 ]}

Der Ausdruck0/0, die man erhalten kann , wenn man versucht, den Grenzwert eines Ausdrucks der Form zu bestimmenf ( x )/g ( x )Das Ergebnis der unabhängigen Anwendung des Limesoperators auf beide Operanden des Bruchs ist ein sogenannter „ unbestimmter Ausdruck “. Das bedeutet nicht, dass der gesuchte Grenzwert notwendigerweise undefiniert ist; vielmehr bedeutet es, dass der Grenzwert vonf ( x )/g ( x )Falls sie existiert, muss sie mit einer anderen Methode gefunden werden, beispielsweise mit der Regel von l'Hôpital . ^{[ 24 ]}

Die Summe von 0 Zahlen (die leere Summe ) ist 0, und das Produkt von 0 Zahlen (das leere Produkt ) ist 1. Die Fakultät von 0! ist als Spezialfall des leeren Produkts gleich 1. ^{[ 25 ]}

Die Rolle von 0 als kleinste natürliche Zahl lässt sich auf verschiedene Weise verallgemeinern oder erweitern. In der Mengenlehre ist 0 die Kardinalität der leeren Menge (notiert als "{ }", " " oder "∅"): Hat man keine Äpfel, so hat man 0 Äpfel. Tatsächlich wird in bestimmten axiomatischen Weiterentwicklungen der Mathematik aus der Mengenlehre 0 als die leere Menge definiert . ^{[ 26 ]} In diesem Fall ist die leere Menge die von-Neumann-Kardinalzahlzuordnung für eine Menge ohne Elemente, also die leere Menge. ^{[ 27 ]}${\textstyle \emptyset }$

Auch in der Mengenlehre ist 0 die niedrigste Ordnungszahl und entspricht der leeren Menge, wenn man sie als wohlgeordnete Menge betrachtet . In der Ordnungstheorie (und insbesondere in ihrem Teilgebiet, der Verbandstheorie ) kann 0 das kleinste Element eines Verbandes oder einer anderen partiell geordneten Menge bezeichnen .

Die Rolle der Null als neutrales Element der Addition lässt sich über die elementare Algebra hinaus verallgemeinern. In der abstrakten Algebra bezeichnet die Null üblicherweise ein Nullelement , welches das neutrale Element der Addition (sofern auf der betrachteten Struktur definiert) und ein absorbierendes Element der Multiplikation (sofern definiert) ist. Beispiele hierfür sind neutrale Elemente additiver Gruppen und Vektorräume . Ein weiteres Beispiel ist die Nullfunktion (oder Nullabbildung ) auf einem Definitionsbereich D. Dies ist die konstante Funktion , deren einziger Ausgabewert 0 ist, d. h. die Funktion f, definiert durch f ( x ) = 0 für alle x ∈ D. Als Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen ist die Nullfunktion die einzige Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist .

Die Zahl 0 wird auch in verschiedenen anderen Bereichen der Mathematik auf unterschiedliche Weise verwendet:

• Eine Nullstelle einer Funktion f ist ein Punkt x im Definitionsbereich der Funktion, für den f ( x ) = 0 gilt .
• In der Aussagenlogik kann 0 verwendet werden, um den Wahrheitswert „falsch“ zu bezeichnen.
• In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist 0 der kleinste zulässige Wert für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses. ^{[ 28 ]}
• Die Kategorientheorie führt die Idee eines Nullobjekts ein , das oft mit 0 bezeichnet wird, sowie das verwandte Konzept der Nullmorphismen , welche die Nullfunktion verallgemeinern. ^{[ 29 ]}

nfr	Herz mit Luftröhre schön, angenehm, gut

Die altägyptischen Zahlen basierten auf dem Dezimalsystem . ^{[ 30 ]} Sie verwendeten Hieroglyphen für die Ziffern und waren nicht positionsgebunden . In einem um 1770 v. Chr. verfassten Papyrus hielt ein Schreiber die täglichen Einnahmen und Ausgaben des Pharaonenhofs fest und verwendete dabei die Hieroglyphe „nfr“ , um Fälle zu kennzeichnen, in denen die erhaltene Menge eines Lebensmittels exakt der ausgegebenen Menge entsprach. Der Ägyptologe Alan Gardiner vermutete, dass die Hieroglyphe „nfr“ als Symbol für Null verwendet wurde. ^{[ 31 ]} Dasselbe Symbol diente auch zur Kennzeichnung der Basislinie in Zeichnungen von Gräbern und Pyramiden; Entfernungen wurden relativ zur Basislinie als oberhalb oder unterhalb dieser Linie gemessen. ^{[ 32 ]}

Mitte des 2. Jahrtausends v. Chr. verfügte die babylonische Mathematik über ein hochentwickeltes Stellenwertsystem zur Basis 60. Der Stellenwert Null wurde jedoch durch ein Leerzeichen zwischen den Ziffern gekennzeichnet. Auf einer in Kisch gefundenen Tontafel (datiert auf ca. 700 v. Chr. ) verwendete der Schreiber Bêl-bân-aplu drei Haken als Platzhalter. ^{[ 33 ]} Um 300 v. Chr. wurde ein Satzzeichen (zwei schräge Keile) als Platzhalter verwendet. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Bemerkenswerterweise galten diese Platzhalter jedoch nicht als Zahlenwert und wurden nie allein verwendet. „Daher können sie nicht als Darstellungen des Konzepts oder der Zahl Null interpretiert werden.“ ^{[ 36 ] Sie wurden auch nicht am Ende einer Zahl geschrieben (sodass 1 ,} 60 und 60×60 alle als ^‚ ...

Der in Südzentralmexiko und Zentralamerika entwickelte mesoamerikanische Kalender der Langen Zählung erforderte die Verwendung der Null als Platzhalter in seinem vigesimalen (Basis 20) Stellenwertsystem. Viele verschiedene Glyphen, darunter das unvollständige Vierpass-Symbol , wurden als Nullsymbol für diese Daten der Langen Zählung verwendet. Die früheste dieser Datierungen (auf Stele 2 in Chiapa de Corzo, Chiapas ) stammt aus dem Jahr 36 v. Chr. ^{[ a ] ​​[ 38 ]}

Da die acht frühesten Datierungen der Langen Zählung außerhalb des Maya-Heimatgebiets liegen ^{[ 39 ],} geht man allgemein davon aus, dass die Verwendung der Null in Amerika vor den Maya stattfand und möglicherweise eine Erfindung der Olmeken war ^{[ 40 ]} . Viele der frühesten Datierungen der Langen Zählung wurden im Kerngebiet der Olmeken gefunden, obwohl die Olmeken-Zivilisation bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. unterging ^{[ 41 ]} , also mehrere Jahrhunderte vor den frühesten bekannten Datierungen der Langen Zählung ^{[ 42 ] .}

Obwohl die Null ein fester Bestandteil der Maya-Zahlen wurde, wobei für viele Darstellungen der „Null“ eine andere, leere, schildkrötenartige „ Panzerform “ verwendet wurde, wird angenommen, dass sie keinen Einfluss auf die Zahlensysteme der Alten Welt hatte. ^{[ 43 ]}

Quipu , ein Knotenschnürgerät, das im Inka-Reich und seinen Vorgängergesellschaften in der Andenregion zur Aufzeichnung von Buchhaltungsdaten und anderen digitalen Daten verwendet wurde, ist in einem Dezimalsystem kodiert . Null wird durch das Fehlen eines Knotens an der entsprechenden Stelle dargestellt. ^{[ 44 ]}

Das früheste gesicherte Beispiel für die griechische Verwendung der hellenistischen Null findet sich bei Hipparchos im Jahr 140 n. Chr.

Das archaische Griechenland kannte kein Symbol für Null (μηδέν, ausgesprochen mēdén ) und verwendete auch keine Ziffer als Platzhalter dafür. ^{[ 45 ]} Laut dem Mathematiker Charles Seife begannen griechische Astronomen, nachdem die babylonische Platzhalter-Null etwa um 500 v. Chr. auftauchte, den Kleinbuchstaben ό ( όμικρον : Omikron ) als Platzhalter oder Darstellung des Nullpunkts zu verwenden. ^{[ 46 ]} Nach der Verwendung der babylonischen Platzhalter-Null für astronomische Berechnungen wandelten sie die Zahlen jedoch üblicherweise wieder in griechische Ziffern um . Ähnlich wie Pythagoras die Infinitesimale ablehnte, scheinen die Griechen eine philosophische Ablehnung gegenüber der Verwendung der Null als Zahl zu haben. ^{[ 47 ]} „Das gesamte griechische Weltbild ruhte auf dieser Säule: Es gibt keine Leere.“ ^{[ 48 ]} Nieder datiert das Auftreten der Null in griechischen astronomischen Texten auf die Zeit nach 400 v. Chr., und der Mathematiker Robert Kaplan präzisiert, dass dies nach den Eroberungen Alexanders des Großen geschehen sein muss . ^{[ 49 ] [ 50 ]}

Die Griechen schienen sich über den Status der Null als Zahl unsicher zu sein. Einige fragten sich: „Wie kann Nichtsein sein?“, was zu philosophischen und im Mittelalter auch zu religiösen Auseinandersetzungen über das Wesen und die Existenz der Null und des Vakuums führte . Die Paradoxien des Zenon von Elea beruhen größtenteils auf der unsicheren Interpretation der Null. ^{[ 51 ]}

Um  150 n. Chr. verwendete Ptolemäus , beeinflusst von Hipparchos und den Babyloniern , ein Symbol für Null (—°[ ^{52 ] [ 53 ]} In seinem Werk über mathematische Astronomie ^, der Syntaxis Mathematica , auch bekannt als Almagest . ^{[ 54 ]} Diese hellenistische Null war möglicherweise die früheste dokumentierte Verwendung einer Zahl für Null in der Alten Welt . ^{[ 55 ]} Ptolemäus verwendete sie in seinem Almagest (VI.8) häufig zur Bestimmung der Stärke von Sonnen- und Mondfinsternissen . Sie repräsentierte den Wert sowohl der Ziffern als auch der Minuten der Versunkenheit beim ersten und letzten Kontakt. Die Ziffern variierten kontinuierlich von 0 bis 12 und wieder zurück, während der Mond vor der Sonne vorbeizog (ein dreieckiger Impuls), wobei zwölf Ziffern dem Winkeldurchmesser der Sonne entsprachen. Die Eintauchzeit wurde von 0 ′ 0″ bis 31 ′ 20″ bis 0 ′ 0″ tabelliert, wobei 0 ′ 0″ das Symbol als Platzhalter an zwei Stellen seines sexagesimalen Stellenwertsystems verwendete, ^{[ b ]} während die Kombination einen Winkel von Null bedeutete. Die Eintauchzeit war außerdem eine stetige Funktion .1/1231′20 ″ √d (24−d) (ein dreieckiger Impuls mit konvexen Seiten), wobei d die Ziffernfunktion und 31′20 ″ die Summe der Radien der Sonnen- und Mondscheiben war. ^{[ 56 ]} Ptolemäus’ Symbol war sowohl ein Platzhalter als auch eine Zahl , die von zwei ineinandergreifenden, stetigen mathematischen Funktionen verwendet wurde; es bedeutete also Null, nicht Nichts. Im Laufe der Zeit wurde Ptolemäus’ Null tendenziell größer und verlor den Überstrich . Manchmal wurde sie als großes, längliches, 0-ähnliches Omikron „O“ oder als Omikron mit Überstrich „ō“ anstelle eines Punktes mit Überstrich dargestellt. ^{[ 57 ]}

Die früheste Verwendung der Null bei der Berechnung des julianischen Osterfestes erfolgte vor  311 n. Chr. im ersten Eintrag einer Epaktentabelle, die in einem äthiopischen Dokument für die Jahre 311 bis 369 erhalten ist. Dort wurde ein Geʽez -Wort für „nichts“ (anderswo auch „0“ genannt) zusammen mit Geʽez-Zahlen (basierend auf griechischen Ziffern) verwendet. Diese Tabelle war eine Übersetzung einer entsprechenden, von der Kirche von Alexandria in mittelgriechischem Griechisch veröffentlichten Tabelle . ^{[ 58 ]} Diese Verwendung wurde 525 in einer ähnlichen Tabelle wiederholt, die von Dionysius Exiguus mithilfe des lateinischen Wortes „ nulla“ („nichts“) übersetzt und mit römischen Ziffern versehen wurde . ^{[ 59 ]} Ergab die Division den Rest Null, wurde „ nihil “ (nichts) verwendet. Diese mittelalterlichen Nullen wurden von allen späteren mittelalterlichen Osterrechnern verwendet . Das Anfangsbuchstabe „N“ wurde um 725 n. Chr. von Beda – oder seinen Kollegen – in einer Tabelle römischer Ziffern als Nullsymbol verwendet. ^{[ 60 ]} 

Das Sūnzĭ Suànjīng , dessen Entstehungsdatum unbekannt ist, das aber auf das 1. bis 5. Jahrhundert n. Chr. datiert wird , beschreibt, wie das chinesische Rechenstabsystem des 4. Jahrhunderts v. Chr. die Durchführung von Dezimalrechnungen ermöglichte . [ ^{62 ] [ 63 ] Wie} im Xiahou Yang Suanjing (425–468 n. Chr.) festgehalten, genügte es, die Stäbe auf dem Rechenbrett um 1, 2, 3 oder 4 Stellen vor- oder zurückzubewegen, um eine Zahl mit 10, 100, 1000 oder 10000 zu multiplizieren oder zu dividieren. ^{[ 64 ]} Die Stäbe stellten die Dezimalzahl dar, wobei ein leerer Platz die Null symbolisierte. ^{[ 61 ] [ 65 ]} Ein um 190 n. Chr. entstandenes Handbuch, die „Ergänzenden Anmerkungen zur Figurendarstellung“ von Xu Yue , beschreibt ebenfalls die Techniken zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit Null als Dezimalpotenz auf Rechengeräten wie Rechenstäben und Abakus. ^{[ 66 ] [ 67 ]} Chinesische Autoren waren bereits in der Han-Dynastie (2. Jahrhundert n. Chr.) mit dem Konzept negativer Zahlen und Dezimalbrüchen vertraut, wie aus den „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ hervorgeht . ^{[ 68 ]} Qin Jiǔsháos „ Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten“ von 1247 ist der älteste erhaltene chinesische mathematische Text, der das runde Symbol „〇“ für Null verwendet. ^{[ 69 ]} Der Ursprung dieses Symbols ist unbekannt; es könnte durch die Modifizierung eines quadratischen Symbols entstanden sein. ^{[ 70 ]} Die Null wurde damals nicht als Zahl, sondern als „freie Position“ betrachtet. ^{[ 71 ]}

Im Laufe der Geschichte wurden verschiedene chinesische Schriftzeichen verwendet, um die Null darzustellen: 空, 零, 洞, 〇.

Pingala ( ca. 3. oder 2. Jahrhundert v. Chr.), ^{[ 72 ]} ein Gelehrter der Sanskrit-Prosodie , ^{[ 73 ]} verwendete Binärsequenzen in Form von kurzen und langen Silben (wobei die längeren Silben zwei kurzen Silben entsprachen), um die möglichen gültigen Sanskrit- Metriken zu identifizieren – eine Notation ähnlich dem Morsecode . ^{[ 74 ]} Pingala verwendete das Sanskrit- Wort śūnya explizit für Null. ^{[ 72 ]}

In Indien wurde ein Graphem für den Dezimalstellenwert der Null entwickelt . ^{[ 76 ]}

Der Lokavibhāga , ein Jain- Text zur Kosmologie, der in einer mittelalterlichen Sanskrit-Übersetzung des Prakrit - Originals überliefert ist und intern auf 458 n. Chr. ( Saka-Ära 380) datiert wird, verwendet ein Dezimalsystem mit Null. In diesem Text wird auch śūnya („leer“) als Bezeichnung für Null verwendet. ^{[ 77 ]}

Die Aryabhatiya ( ca. 499) besagt: sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt „von Ort zu Ort ist jeder zehnmal so lang wie der vorhergehende“. ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

Regeln für die Verwendung der Null tauchten in Brahmaguptas Brahmasputha Siddhanta (7. Jahrhundert) auf, in dem die Summe von Null mit sich selbst als Null angegeben wird und die Division durch Null fälschlicherweise wie folgt beschrieben wird: ^{[ 81 ] [ 82 ]}

Eine positive oder negative Zahl, geteilt durch Null, ergibt einen Bruch mit Null im Nenner. Null geteilt durch eine negative oder positive Zahl ist entweder Null oder wird als Bruch mit Null im Zähler und der endlichen Zahl im Nenner dargestellt. Null geteilt durch Null ist Null.

Bhāskara II. schlug in seiner Abhandlung Līlāvatī aus dem 12. Jahrhundert hingegen vor, dass die Division durch Null zu einer unendlichen Größe führt. ^{[ 83 ]}

Eine durch Null geteilte Größe ergibt einen Bruch mit dem Nenner Null. Dieser Bruch wird als unendliche Größe bezeichnet. In dieser Größe, die aus dem besteht, was Null als Teiler hat, findet keine Veränderung statt, obwohl viele Elemente hinzugefügt oder entfernt werden können; so wie sich der unendliche und unveränderliche Gott nicht verändert, wenn Welten erschaffen oder zerstört werden, obwohl unzählige Wesenheiten aufgenommen oder hervorgebracht werden.

Sambor-Inschrift

Die älteste, eindeutig datierte Verwendung der Null als Dezimalzahl findet sich in der Sambor-Inschrift. Die Zahl „605“ ist in Khmer-Ziffern geschrieben (oben) und bezieht sich auf das Entstehungsjahr: 605 der Saka-Ära (683 n. Chr.). Das in Alt-Khmer beschriftete Fragment war einst Teil eines Tempelportals und wurde in der Provinz Kratié in Kambodscha gefunden .

Es gibt zahlreiche Kupferplatteninschriften mit demselben kleinen o , von denen einige möglicherweise aus dem 6. Jahrhundert stammen, deren Datierung oder Echtheit jedoch zweifelhaft sein kann. ^{[ 33 ]}

Eine in den Ruinen eines Tempels nahe Sambor am Mekong in der Provinz Kratié , Kambodscha , gefundene Steintafel trägt die Inschrift „605“ in Khmer-Ziffern (einer Reihe von Zahlzeichen des hindu-arabischen Zahlensystems ). Die Zahl bezeichnet das Jahr der Inschrift in der Saka-Ära und entspricht dem Jahr 683 n. Chr. ^{[ 84 ]}

Die erste bekannte Verwendung spezieller Glyphen für die Dezimalziffern, einschließlich des unzweifelhaften Auftretens eines Symbols für die Ziffer Null, eines kleinen Kreises, findet sich auf einer Steininschrift im Chaturbhuj-Tempel in Gwalior , Indien, datiert auf das Jahr 876 n. Chr. ^{[ 85 ] [ 86 ]}

Im gesamten Bakhshali-Manuskript , einem praktischen Rechenhandbuch für Kaufleute, wird ein schwarzer Punkt als Symbol für Null verwendet . Die Bodleian Library veröffentlichte Radiokohlenstoffdatierungsergebnisse für sechs Blätter des Manuskripts, die darauf hindeuten, dass diese aus verschiedenen Jahrhunderten stammen, das Manuskript selbst aber auf die Jahre 799–1102 n. Chr. datieren . ^{[ 75 ]}

Das arabischsprachige Erbe der Wissenschaft war größtenteils griechisch geprägt ^{[ 87 ]} , gefolgt von hinduistischen Einflüssen ^{[ 88 ]} . Im Jahr 773 wurden auf Geheiß von Al-Mansur zahlreiche antike Abhandlungen, darunter griechische, römische, indische und andere, übersetzt.

Im Jahr 813 n. Chr. erstellte der persische Mathematiker Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī astronomische Tabellen unter Verwendung hinduistischer Ziffern. ^{[ 88 ]} Um 825 veröffentlichte er ein Buch, das griechisches und hinduistisches Wissen zusammenfasste und auch seinen eigenen Beitrag zur Mathematik enthielt, darunter eine Erklärung zur Verwendung der Null. ^{[ 89 ]} Dieses Buch wurde später im 12. Jahrhundert unter dem Titel „Algoritmi de numero Indorum “ ins Lateinische übersetzt . Dieser Titel bedeutet „al-Khwarizmi über die Ziffern der Inder“. Das Wort „Algoritmi“ war die Latinisierung des Namens al-Khwarizmi durch den Übersetzer, und die Begriffe „ Algorithmus “ oder „ Algorismus “ begannen, jede auf Dezimalzahlen basierende Arithmetik zu bezeichnen. ^{[ 88 ]}

Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi, in 976, stated that if no number appears in the place of tens in a calculation, a little circle should be used "to keep the rows". This circle was called ṣifr.^[90]

The Hindu–Arabic numeral system (base 10) reached Western Europe in the 11th century, via Al-Andalus, through Spanish Muslims, the Moors, together with knowledge of classical astronomy and instruments like the astrolabe. Gerbert of Aurillac is credited with reintroducing the lost teachings into Catholic Europe. For this reason, the numerals came to be known in Europe as "Arabic numerals". The Italian mathematician Fibonacci or Leonardo of Pisa was instrumental in bringing the system into European mathematics in 1202, stating:

Nachdem mein Vater von seiner Heimat zum Staatsbeamten im Zollamt von Bugia ernannt worden war , wo er für die pilgernden pisanischen Kaufleute zuständig war, übernahm er die Leitung. Im Hinblick auf dessen zukünftigen Nutzen und Zweckmäßigkeit ließ er mich als Jungen zu ihm kommen, damit ich mich einige Tage lang dem Studium der Rechenkunst widmete und darin unterwiesen wurde. Dort, nach meiner Einführung in die neun Ziffern des hinduistischen Zahlensystems durch einen hervorragenden Unterricht, faszinierte mich diese Kunst mehr als alles andere. Mir wurde bewusst, dass alle ihre Aspekte in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien und der Provence mit ihren jeweiligen Methoden studiert wurden. An diesen Orten vertiefte ich später auf Geschäftsreisen mein Studium und lernte die Kunst der Disputation kennen. Doch all dies, einschließlich des Algorithmus und der Kunst des Pythagoras , hielt ich im Vergleich zur Methode der Hindus ( Modus Indorum ) beinahe für einen Irrtum. Daher habe ich mich strenger an die Methode der Hindus gehalten und sie eingehender studiert, wobei ich auch Erkenntnisse aus meinem eigenen Verständnis und aus den Feinheiten der geometrischen Kunst Euklids einbezogen habe. Ich habe mich bemüht, dieses Buch so verständlich wie möglich zu verfassen und es in fünfzehn Kapitel zu gliedern. Fast alles, was ich eingeführt habe, habe ich genau bewiesen, damit diejenigen, die dieses Wissen und seine herausragende Methode weiter erforschen möchten, unterwiesen werden und damit nicht länger festgestellt wird, dass das lateinische Volk es nicht kennt, wie es bisher der Fall war. Sollte ich etwas Wichtiges oder Notwendiges ausgelassen haben, bitte ich um Nachsicht, da niemand in allen Dingen fehlerlos und vollkommen fehlerfrei ist. Die neun indischen Ziffern lauten: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Mit diesen neun Ziffern und dem Zeichen 0  ... lässt sich jede beliebige Zahl schreiben. ^{[ 91 ]}

Ab dem 13. Jahrhundert verbreiteten sich in Europa Rechenhandbücher (Addition, Multiplikation, Wurzelziehen usw.), die nach dem persischen Mathematiker al-Chwarizmi als „Algorismus“ bezeichnet wurden . Ein populäres Handbuch stammte von Johannes de Sacrobosco aus dem frühen 13. Jahrhundert und war eines der ersten gedruckten wissenschaftlichen Bücher ( 1488). ^{[ 92 ] [ 93 ]} Die Praxis des Rechnens auf Papier mit hindu-arabischen Ziffern verdrängte allmählich das Rechnen mit dem Abakus und die Aufzeichnung mit römischen Ziffern . ^{[ 94 ]} Im 16. Jahrhundert wurden die hindu-arabischen Ziffern die vorherrschenden Ziffern in Europa. ^{[ 92 ]}

Heute wird die Ziffer 0 üblicherweise als Kreis oder Ellipse dargestellt. Traditionell war der Großbuchstabe O in vielen Druckschriften runder als die schmalere, elliptische Ziffer 0. ^{[ 95 ]} Schreibmaschinen unterschieden ursprünglich nicht zwischen O und 0; einige Modelle hatten nicht einmal eine separate Taste für die Ziffer 0. Die Unterscheidung wurde erst mit modernen Zeichendisplays deutlich . ^{[ 95 ]}

Eine durchgestrichene Null ( ) dient oft zur Unterscheidung von Ziffer und Buchstabe (beispielsweise in der Informatik, Navigation und beim Militär). Die Ziffer 0 mit Punkt in der Mitte scheint ursprünglich eine Option auf IBM 3270 -Bildschirmen gewesen zu sein und findet sich weiterhin in einigen modernen Computerschriften wie Andalé Mono sowie in manchen Flugreservierungssystemen. Eine Variante verwendet anstelle des Punktes einen kurzen senkrechten Strich. Einige für Computer entwickelte Schriftarten gestalten die „0“ eckiger, wie ein Rechteck, und das „O“ runder. Eine weitere Unterscheidung findet sich in fälschungssicheren Schriftarten , wie sie auf deutschen Kfz-Kennzeichen verwendet werden , indem die Ziffer 0 oben rechts aufgeschlitzt ist. In manchen Systemen sind entweder der Buchstabe O oder die Ziffer 0 oder beide ausgeschlossen, um Verwechslungen zu vermeiden. ${\displaystyle 0\!\!\!{/}}$

Der Wert Null spielt für viele physikalische Größen eine besondere Rolle. Bei manchen Größen ist der Nullpunkt von Natur aus von allen anderen Werten unterscheidbar, während er bei anderen mehr oder weniger willkürlich gewählt wird. Beispielsweise ist Null bei der absoluten Temperatur (typischerweise in Kelvin gemessen ) der niedrigstmögliche Wert. ( Negative Temperaturen lassen sich zwar für einige physikalische Systeme definieren, diese sind aber nicht tatsächlich kälter.) Dies steht im Gegensatz zu Temperaturen auf der Celsius-Skala , wo der Nullpunkt beispielsweise willkürlich auf den Gefrierpunkt von Wasser festgelegt ist. ^{[ 96 ] [ 97 ]} Bei der Messung der Schallintensität in Dezibel oder Phon wird der Nullpunkt willkürlich auf einen Referenzwert gesetzt – beispielsweise auf die Hörschwelle. ^{[ 98 ] [ 99 ]}

Moderne Computer speichern Informationen binär , d. h. mithilfe eines „Alphabets“, das nur zwei Symbole enthält, üblicherweise „0“ und „1“. Die Binärkodierung ist praktisch für die digitale Elektronik , da „0“ und „1“ für das Vorhandensein bzw. Fehlen von elektrischem Strom in einem Leiter stehen können. ^{[ 100 ]} Programmierer verwenden typischerweise höhere Programmiersprachen , die für Menschen verständlicher sind als die Binärbefehle , die direkt von der Zentraleinheit ausgeführt werden . Die 0 spielt in höheren Programmiersprachen verschiedene wichtige Rollen. Beispielsweise speichert eine boolesche Variable einen Wert, der entweder wahr oder falsch ist , und 0 ist oft die numerische Darstellung von falsch. ^{[ 101 ]}

Auch bei der Array-Indizierung spielt die Null eine Rolle . Die gängigste Praxis in der Geschichte der Menschheit war es, bei eins zu beginnen, so auch in frühen klassischen Programmiersprachen wie Fortran und COBOL . ^{[ 102 ]} Ende der 1950er-Jahre führte LISP jedoch die nullbasierte Nummerierung für Arrays ein, während Algol 58 eine völlig flexible Basis für Array-Indizes einführte (beliebige positive, negative oder Null-Ganzzahlen als Basis für Array-Indizes erlaubt). Die meisten nachfolgenden Programmiersprachen übernahmen eine dieser beiden Vorgehensweisen. In C beispielsweise werden die Elemente eines Arrays ab 0 nummeriert , sodass die Folge der Array-Indizes für ein Array mit n Elementen von 0 bis n − 1 läuft . ^{[ 103 ]} Da auf C-Arrays über die Speicheradresse des ersten Elements plus einen Offset zugegriffen wird, verweist der Zeiger mit dem Offset Null auf das erste Element des Arrays.

Es kann zu Verwechslungen zwischen 0- und 1-basierter Indizierung kommen; beispielsweise indiziert JDBC in Java Parameter ab 1, obwohl Java selbst 0-basierte Indizierung verwendet. ^{[ 104 ]}

In C dient ein Byte mit dem Wert 0 dazu, das Ende einer Zeichenkette anzuzeigen . Außerdem ist 0 eine gängige Methode, um in Code auf einen Nullzeiger zu verweisen. ^{[ 105 ]}

In Datenbanken kann ein Feld keinen Wert haben. Man spricht dann von einem Nullwert . ^{[ 106 ]} Bei numerischen Feldern ist dies nicht der Wert Null. Bei Textfeldern ist es weder ein leeres Feld noch eine leere Zeichenkette. Das Vorhandensein von Nullwerten führt zu dreiwertiger Logik . Eine Bedingung ist nicht mehr entweder wahr oder falsch , sondern kann undefiniert sein . Jede Berechnung, die einen Nullwert enthält, liefert ein Nullergebnis. ^{[ 107 ]}

In der Mathematik gibt es keine von Null verschiedene „positive Null“ oder „negative Null“; −0 und +0 repräsentieren exakt dieselbe Zahl. In manchen Computerhardware- basierten Darstellungen von vorzeichenbehafteten Zahlen hat Null jedoch zwei unterschiedliche Darstellungen: eine positive, die zu den positiven Zahlen gehört, und eine negative, die zu den negativen Zahlen gehört. Diese duale Darstellung wird als vorzeichenbehaftete Null bezeichnet , wobei die negative Form manchmal auch als negative Null bezeichnet wird. Zu diesen Darstellungen gehören die Binärdarstellung mit Vorzeichen und Betrag sowie die Einerkomplementdarstellung (jedoch nicht die Zweierkomplementdarstellung , die in den meisten modernen Computern verwendet wird) und die meisten Gleitkommadarstellungen (wie beispielsweise die IEEE-754- und IBM-S/360 -Gleitkommaformate).

In der Informatik bezeichnet man als Epoche das Datum und die Uhrzeit, die mit einem Zeitstempel von Null verknüpft sind. Die Unix - Epoche beginnt um Mitternacht vor dem 1. Januar 1970. ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ]} Die Epoche von Classic Mac OS und Palm OS beginnt um Mitternacht vor dem 1. Januar 1904. ^{[ 111 ]}

Viele APIs und Betriebssysteme , die von Anwendungen die Rückgabe eines ganzzahligen Wertes als Exit-Status verlangen , verwenden typischerweise Null, um Erfolg anzuzeigen, und Werte ungleich Null, um spezifische Fehler- oder Warnzustände anzuzeigen. ^{[ 112 ]}

Programmierer verwenden oft eine durchgestrichene Null , um Verwechslungen mit dem Buchstaben " O " zu vermeiden. ^{[ 113 ]}

In der vergleichenden Zoologie und den Kognitionswissenschaften führt die Erkenntnis, dass einige Tiere ein Bewusstsein für das Konzept der Null zeigen, zu dem Schluss, dass die Fähigkeit zur numerischen Abstraktion früh in der Evolution der Arten entstanden ist. ^{[ 114 ]}

In der Kalenderzeit vor Christus ist das Jahr 1 v. Chr. das erste Jahr vor 1 n. Chr.; es gibt kein Jahr Null . Im Gegensatz dazu wird in der astronomischen Jahreszählung das Jahr 1 v. Chr. mit 0, das Jahr 2 v. Chr. mit −1 usw. nummeriert. ^{[ 115 ]}    

• Grammatikalische Zahl
• Mathematische Konstante
• Zahlentheorie
• Peano-Axiome

• Auf der Suche nach der ersten Null der Welt
• Eine Geschichte von Null
• Zero-Saga
• Die Geschichte der Algebra
• Edsger W. Dijkstra : Warum die Nummerierung bei Null beginnen sollte , EWD831 ( PDF eines handgeschriebenen Manuskripts)
• Zero on In Our Time bei der BBC
• Weisstein, Eric W. "0" . MathWorld .
• Texte auf Wikisource:
  • " Null ". Encyclopædia Britannica (11. Aufl.). 1911.
  • " Null ". Encyclopedia Americana . 1920.