Glossar der Ordnungstheorie

Dies ist ein Glossar einiger Begriffe aus verschiedenen Bereichen der Mathematik , die mit den Gebieten der Ordnungs- , Verbands- und Domänentheorie verwandt sind . Beachten Sie, dass auch eine strukturierte Liste von Ordnungsthemen verfügbar ist. Weitere hilfreiche Ressourcen sind die folgenden Übersichtsartikel:

• Vollständigkeitseigenschaften von Teilordnungen
• Distributivitätsgesetze der Ordnungstheorie

Im Folgenden werden Teilordnungen üblicherweise einfach durch ihre Trägermengen bezeichnet. Solange die beabsichtigte Bedeutung aus dem Kontext klar hervorgeht, genügt dies, um das entsprechende relationale Symbol zu bezeichnen, auch ohne vorherige Einführung. Darüber hinaus bezeichnet < die durch${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\leq .}$

• Azyklisch . Eine binäre Relation ist azyklisch, wenn sie keine „Zyklen“ enthält: äquivalent dazu ist ihr transitiver Abschluss antisymmetrisch . ^{[ 1 ]}
• Adjungiert . Siehe Galois-Verbindung .
• Alexandrov-Topologie . Für eine vorgeordnete Menge P istjede obere Menge O Alexandrov-offen . Umgekehrt ist eine Topologie Alexandrov-topologie, wenn jeder Schnitt offener Mengen offen ist.
• Algebraische Poset . Eine Poset heißt algebraisch, wenn sie eine Basis aus kompakten Elementen besitzt.
• Antikette . Eine Antikette ist eine partiell geordnete Menge, in der keine zwei Elemente vergleichbar sind, d. h. es gibt keine zwei verschiedenen Elemente x und y , für die x ≤ y gilt . Anders ausgedrückt: Die Ordnungsrelation einer Antikette ist genau die Identitätsrelation.
• Näherungsbeziehung . Siehe die unten stehende Beziehung .
• Antisymmetrische Relation . Eine homogene Relation R auf einer Menge X heißt antisymmetrisch , wenn x R y und y R x impliziert , dass x = y für alle Elemente x , y in X.
• Antiton . Eine antitone Funktion f zwischen partiell geordneten Mengen P und Q ist eine Funktion, für die gilt : x ≤ y (in P ) impliziert f ( y ) ≤ f ( x ) (in Q ) für alle Elemente x , y aus P. Diese Eigenschaft wird auch als ordnungsumkehrend bezeichnet . In der Analysis werden solche Funktionen bei totalen Ordnungen oft als monoton fallend bezeichnet , was jedoch bei nicht-totalen Ordnungen wenig hilfreich ist. Der duale Begriff heißt monoton oder ordnungserhaltend .
• Asymmetrische Relation . Eine homogene Relation R auf einer Menge X ist asymmetrisch, wenn x R y impliziert, dassnicht y R x für alle Elemente x , y in X.
• Atom . Ein Atom in einer partiell geordneten Menge P mit dem kleinsten Element 0 ist ein Element, das unter allen Elementen, die ungleich 0 sind, das kleinste ist.
• Atomar . Eine atomare Poset P mit kleinstem Element 0 ist eine solche, in der es für jedes von Null verschiedene Element x von P ein Atom a von P mit a ≤ x gibt .

• Basis . Siehe kontinuierliche Poset .
• Binäre Relation . Eine binäre Relation über zwei Mengenist eine Teilmenge ihres kartesischen Produkts.${\displaystyle X{\text{ und }}Y}$${\displaystyle X\times Y.}$
• Boolesche Algebra . Eine Boolesche Algebra ist ein distributiver Verband mit kleinstem Element 0 und größtem Element 1, in dem jedes Element x ein Komplement ¬ x besitzt , sodass x ∧ ¬ x = 0 und x ∨ ¬ x = 1.
• Beschränkte partielle Ordnung . Eine beschränkte partielle Ordnung ist eine Ordnung, die ein kleinstes und ein größtes Element besitzt.
• Beschränkt vollständig . Eine partiell geordnete Menge heißt beschränkt vollständig, wenn jede ihrer Teilmengen mit einer oberen Schranke auch eine kleinste solche obere Schranke besitzt. Der duale Begriff ist unüblich.

• Kette . Eine Kette ist eine vollständig geordnete Menge oder eine vollständig geordnete Teilmenge einer partiell geordneten Menge. Siehe auch totale Ordnung .
• Kettenvollständig . Eine partiell geordnete Menge, in der jede Kette eine kleinste obere Schranke besitzt .
• Abschlussoperator . Ein Abschlussoperator auf der partiell geordneten Menge P ist eine Funktion C  : P → P , die monoton und idempotent ist und für die C ( x ) ≥ x für alle x in P gilt .
• Kompakt . Ein Element x einer partiell geordneten Menge heißt kompakt, wenn es weit unterhalb von sich selbst liegt, d. h. x << x . Man sagt auch, dass ein solches x endlich ist.
• Vergleichbar . Zwei Elemente x und y einer partiell geordneten Menge P sind vergleichbar, wenn entweder x ≤ y oder y ≤ x gilt .
• Vergleichbarkeitsgraph . Der Vergleichbarkeitsgraph einer partiell geordneten Menge ( P , ≤) ist der Graph mit der Knotenmenge P , in dem die Kanten diejenigen Paare von verschiedenen Elementen aus P sind , die unter ≤ (und insbesondere unter seiner reflexiven Reduktion <) vergleichbar sind.
• Vollständige Boolesche Algebra . Eine Boolesche Algebra , die ein vollständiger Verband ist.
• Vollständige Heyting-Algebra . Eine Heyting-Algebra , die ein vollständiger Verband ist, wird als vollständige Heyting-Algebra bezeichnet. Dieser Begriff deckt sich mit den Konzepten Rahmen und Lokal .
• Vollständiger Verband . Ein vollständiger Verband ist eine partiell geordnete Menge, in der beliebige (möglicherweise unendlich viele) Vereinigungen (Suprema) und Schnitte (Infima) existieren.
• Vollständige partielle Ordnung . Eine vollständige partielle Ordnung, oder cpo , ist eine gerichtete vollständige partielle Ordnung (qv) mit kleinstem Element.
• Vollständige Relation . Synonym für verbundene Relation .
• Vollständiger Halbverband . Der Begriff des vollständigen Halbverbands wird auf verschiedene Weisen definiert. Wie im Artikel über Vollständigkeit (Ordnungstheorie) erläutert , ist jede partiell geordnete Menge (Poset), für die entweder alle Suprema oder alle Infima existieren, bereits ein vollständiger Verband. Daher wird der Begriff des vollständigen Halbverbands manchmal synonym mit dem eines vollständigen Verbands verwendet. In anderen Fällen werden vollständige (Meet-)Halbverbände als beschränkte vollständige CPOS definiert , die wohl die vollständigste Klasse von Posets darstellen, die keine vollständigen Verbände sind.
• Vollständig distributiver Verband . Ein vollständiger Verband heißt vollständig distributiv, wenn beliebige Joins über beliebige Meets distributiv sind.
• Vervollständigung . Eine Vervollständigung einer partiellen Ordnung ist eine Einbettung der partiellen Ordnung in einen vollständigen Verband.
• Vervollständigung durch Schnitte . Synonym für Dedekind-MacNeille-Vervollständigung .
• Zusammenhangsrelation . Eine totale oder vollständige Relation R auf einer Menge X hat die Eigenschaft, dass für alle Elemente x , y von X mindestens eine der folgenden Aussagen gilt : x R y oder y R x .
• Stetige partielle Ordnung . Eine partielle Ordnung heißt stetig, wenn sie eine Basis besitzt , d. h. eine Teilmenge B von P , sodass jedes Element x von P das Supremum einer gerichteten Menge ist, die in { y in B | y << x } enthalten ist.
• Stetige Funktion . Siehe Scott-stetig .
• Umkehrung . Die Umkehrung einer Ordnung <° ist diejenige, bei der x <° y gilt, wann immer y < x.
• Überdeckung . Ein Element y einer partiell geordneten Menge P heißt Überdeckung eines Elements x von P (und wird Überdeckung von x genannt ), wenn x < y und es kein Element z von P gibt , sodass x < z < y .
• CPO . Siehe vollständige Teilbestellung .

• dcpo . Siehe gerichtete vollständige Teilanordnung .
• Dedekind-MacNeille-Vervollständigung . Die Dedekind-MacNeille-Vervollständigung einer partiell geordneten Menge ist der kleinste vollständige Verband , der diese Menge enthält.
• Dichte Ordnung . Eine dichte partiell geordnete Menge P ist eine solche, in der es für alle Elemente x und y ∈ P mit x < y ein Element z ∈ P gibt, sodass x < z < y . Eine Teilmenge Q von P heißt dicht in P , wenn es für alle Elemente x < y ∈ P ein Element z ∈ Q gibt,sodass x < z < y .
• Derangement . Eine Permutation der Elemente einer Menge, bei der kein Element an seiner ursprünglichen Position erscheint.
• Gerichtete Menge . Eine nichtleere Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißt gerichtet, wenn es für alle Elemente x und y aus X ein Element z aus X gibt,sodass x ≤ z und y ≤ z gilt. Der duale Begriff heißt gefiltert .
• Gerichtete vollständige partielle Ordnung . Eine partielle Ordnung D heißt gerichtete vollständige partielle Ordnung ( dcpo) , wenn jede gerichtete Teilmenge von D ein Supremum besitzt.
• Distributiv . Ein Verband L heißt distributiv, wenn für alle x , y und z ∈ L gilt: x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Diese Bedingung ist äquivalent zu ihrer dualen Ordnung. Ein Schnitt- Halbverband ist distributiv, wenn für alle Elemente a , b und x gilt : a ∧ b ≤ x impliziert die Existenz von Elementen a' ≥ a und b' ≥ b mit a' ∧ b' = x . Siehe auch vollständig distributiv .
• Domäne . Domäne ist ein Oberbegriff für Objekte, wie sie in der Domänentheorie untersucht werden . Bei Verwendung bedarf er einer weiteren Definition.
• Abwärtsgruppe . Siehe untere Gruppe .
• Dual . Für eine partiell geordnete Menge ( P , ≤) ist die duale Ordnung P ^_d = ( P , ≥) definiert durch x ≥ y genau dann, wenn y ≤ x . Die duale Ordnung von P wird manchmal mit P ^{_op bezeichnet und auch als} Gegenordnung oder Umkehrordnung bezeichnet. Jeder ordnungstheoretische Begriff induziert einen dualen Begriff, der durch Anwendung der ursprünglichen Aussage auf die duale Ordnung einer gegebenen Menge definiert wird. Dies vertauscht ≤ und ≥, Schnittmengen und Vereinigungen, Null und Eins.

• Erweiterung . Für partielle Ordnungen ≤ und ≤′ auf einer Menge X ist ≤′ eine Erweiterung von ≤, vorausgesetzt, dass für alle Elemente x und y von X gilt : x ≤ y impliziert, dass x ≤′ y .

• Filter . Eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißt Filter, wenn sie eine gefilterte obere Menge ist. Der duale Begriff heißt Ideal .
• Gefiltert . Eine nichtleere Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißt gefiltert, wenn es für alle Elemente x und y aus X ein Element z aus X gibt, sodass z ≤ x und z ≤ y gilt. Der duale Begriff heißt gerichtet .
• Finite-Elemente-Methode . Siehe kompakte Methode .
• Ein Rahmen F ist ein vollständiger Verband, in dem für jedes x ∈ F und jede Teilmenge Y von F das unendliche Distributivgesetz x ∧ Y ={ x ∧ y | y ∈ Y } gilt. Rahmen werden auch als Lokale oder vollständige Heyting-Algebren bezeichnet .${\displaystyle \bigvee }$${\displaystyle \bigvee }$

• Galois-Zusammenhang . Gegeben seien zwei partiell geordnete Mengen P und Q. Ein Paar monotoner Funktionen F : P → Q und G : Q → P heißt Galois-Zusammenhang, wenn F ( x ) ≤ y äquivalent zu x ≤ G ( y ) für alle x ∈ P und y ∈ Q ist . F heißtuntere Adjungierte von G und G heißt obere Adjungierte von F.
• Größtes Element . Für eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißtein Element a aus X das größte Element von X , wenn x ≤ a für jedes Element x ∈ X gilt. Der entsprechende Begriff heißt kleinstes Element .
• Grundmenge . Die Grundmenge einer partiell geordneten Menge ( X , ≤) ist die Menge X, auf der die partielle Ordnung ≤ definiert ist.

• Heyting-Algebra . Eine Heyting-Algebra H ist ein beschränkter Verband, in dem die Funktion f _{_a} : H → H , gegeben durch f _{_a} ( x ) = a ∧ x , für jedes Element a aus H die untere Adjungierte einer Galois-Verbindung ist . Die obere Adjungierte von f_{_a} wird dann mit g _{_a} bezeichnet , wobei g _{_a} ( x ) = a ⇒ x . Jede Boolesche Algebra ist eine Heyting-Algebra.
• Hasse-Diagramm . Ein Hasse-Diagramm ist eine Art mathematisches Diagramm, das dazu dient, eine endliche, partiell geordnete Menge in Form einer Zeichnung ihrer transitiven Reduktion darzustellen .
• Homogene Relation . Eine homogene Relation auf einer Mengeist eine Teilmenge von. Anders ausgedrückt: Es handelt sich um eine binäre Relation überund sich selbst.${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle X}$

• Ideal . Ein Ideal ist eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P , die eine gerichtete untere Menge ist. Der duale Begriff heißt Filter .
• Inzidenzalgebra . Die Inzidenzalgebra einer partiell geordneten Menge ist die assoziative Algebra aller skalarwertigen Funktionen auf Intervallen, wobei Addition und Skalarmultiplikation punktweise definiert sind und die Multiplikation als eine bestimmte Faltung definiert ist; siehe Inzidenzalgebra für Details.
• Infimum . Für eine partiell geordnete Menge P und eine Teilmenge X von P heißtdas größte Element in der Menge der unteren Schranken von X (sofern es existiert, was nicht der Fall sein muss) Infimum , Schnittmenge oder größte untere Schranke von X. Es wird mit inf X oder X⁻¹ notiert . Das Infimum zweier Elemente kann als inf{ x , y } oder x ∧ y geschrieben werden . Ist die Menge X endlich, spricht man von einem endlichen Infimum . Der duale Begriff heißt Supremum .${\displaystyle \bigwedge }$
• Intervall . Für zwei Elemente a , b einer partiell geordneten Menge P ist das Intervall [ a , b ] die Teilmenge { x ∈ P | a ≤ x ≤ b } von P. Wenn a ≤ b nicht gilt, ist das Intervall leer.
• Intervallendliche partielle Ordnung . Eine partiell geordnete Menge P heißt intervallendlich, wenn jedes Intervall der Form {x ∈ P | x ≤ a} eine endliche Menge ist. ^{[ 2 ]}
• Umkehrung . Siehe Umkehrung .
• Irreflexiv . Eine Relation R auf einer Menge X heißt irreflexiv, wenn es kein Element x in X gibt,sodass x R x .
• Isoton . Siehe monoton .

• Verbinden . Siehe Supremum .

• Verband . Ein Verband ist eine partiell geordnete Menge, in der alle nichtleeren endlichen Vereinigungen (Suprema) und Schnitte (Infima) existieren.
• Kleinstes Element . Für eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißtein Element a aus X das kleinste Element von X , wenn a ≤ x für jedes Element x ∈ X gilt. Der duale Begriff heißt größtes Element .
• Die Länge einer Kette entspricht der Anzahl ihrer Elemente minus eins. Eine Kette mit einem Element hat die Länge 0, eine mit zwei Elementen die Länge 1 usw.
• Linear . Siehe Gesamtordnung .
• Lineare Erweiterung . Eine lineare Erweiterung einer partiellen Ordnung ist eine Erweiterung, die eine lineare Ordnung oder totale Ordnung ist.
• Locale . Ein Locale ist eine vollständige Heyting-Algebra . Locales werden auch Frames genannt und treten in der Stone-Dualität und der punktlosen Topologie auf .
• Lokal endliche partielle Ordnung . Eine partiell geordnete Menge P heißt lokal endlich, wenn jedes Intervall [ a , b ] = { x in P | a ≤ x ≤ b } eine endliche Menge ist.
• Lower bound. A lower bound of a subset X of a poset P is an element b of P, such that b ≤ x, for all x in X. The dual notion is called upper bound.
• Lower set. A subset X of a poset P is called a lower set if, for all elements x in X and p in P, p ≤ x implies that p is contained in X. The dual notion is called upper set.

• Maximal chain. A chain in a poset to which no element can be added without losing the property of being totally ordered. This is stronger than being a saturated chain, as it also excludes the existence of elements either less than all elements of the chain or greater than all its elements. A finite saturated chain is maximal if and only if it contains both a minimal and a maximal element of the poset.
• Maximal element. A maximal element of a subset X of a poset P is an element m of X, such that m ≤ x implies m = x, for all x in X. The dual notion is called minimal element.
• Maximum element. Synonym of greatest element. For a subset X of a poset P, an element a of X is called the maximum element of X if x ≤ a for every element x in X. A maximum element is necessarily maximal, but the converse need not hold.
• Meet. See infimum.
• Minimal element. A minimal element of a subset X of a poset P is an element m of X, such that x ≤ m implies m = x, for all x in X. The dual notion is called maximal element.
• Minimales Element . Synonym für kleinstes Element. Für eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißtein Element a von X minimales Element von X , wenn x ≥ a für jedes Element x ∈ X gilt. Ein minimales Element ist notwendigerweise minimal , die Umkehrung muss jedoch nicht gelten.
• Monotonie . Eine Funktion f zwischen partiell geordneten Mengen P und Q heißt monoton, wenn für alle Elemente x , y aus P gilt : x ≤ y (in P ) impliziert f ( x ) ≤ f ( y ) (in Q ). Andere Bezeichnungen für diese Eigenschaft sind Isotonie und Ordnungserhaltung . In der Analysis werden solche Funktionenbei Vorliegen totaler Ordnungen oft als monoton steigend bezeichnet , was jedoch bei nicht-totalen Ordnungen wenig hilfreich ist. Das duale Konstrukt heißt Antitonie oder Ordnungsumkehrung .

• Ordnungsdual . Das Ordnungsdual einer partiell geordneten Menge ist dieselbe Menge, bei der die partielle Ordnungsrelation durch ihre Umkehrung ersetzt wird.
• Ordnungseinbettung . Eine Funktion f zwischen partiell geordneten Mengen P und Q ist eine Ordnungseinbettung, wenn für alle Elemente x , y von P gilt : x ≤ y (in P ) ist äquivalent zu f ( x ) ≤ f ( y ) (in Q ).
• Ordnungsisomorphismus . Eine Abbildung f : P → Q zwischen zwei partiell geordneten Mengen P und Q heißt Ordnungsisomorphismus, wenn sie bijektiv ist und sowohl f als auch f ^{− 1} monotone Funktionen sind. Äquivalent dazu ist ein Ordnungsisomorphismus eine surjektive Ordnungseinbettung .
• Ordnungserhaltend . Siehe monoton .
• Umkehrung der Reihenfolge . Siehe Antiton .

• Partielle Ordnung . Eine partielle Ordnung ist eine binäre Relation , die reflexiv , antisymmetrisch und transitiv ist . Etwas ungenau wird der Begriff manchmal auch verwendet, um nicht eine solche Relation, sondern die entsprechende partiell geordnete Menge zu bezeichnen.
• Teilweise geordnete Menge . Eine teilweise geordnete Mengeoderkurz Poset ist eine Menge zusammen mit einer partiellen Ordnungauf${\displaystyle (P,\leq ),}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle P.}$
• Poset . Eine partiell geordnete Menge.
• Präordnung . Eine Präordnung ist eine binäre Relation , die reflexiv und transitiv ist. Solche Ordnungen werden auch Quasiordnungen oder nicht-strikte Präordnungen genannt. Der Begriff Präordnung wird auch verwendet, um eine azyklische binäre Relation (auch azyklischer Digraph genannt ) zu bezeichnen.
• Vorbestelltes Set . Ein vorbestelltes Setist ein Setzusammen mit einer Vorbestellung.${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle P.}$
• Erhaltung . Eine Funktion f zwischen partiell geordneten Mengen P und Q heißt supremaerhaltend (vereinig), wenn für alle Teilmengen X von P , die ein Supremum sup X in P besitzen , sup{ f ( x ): x ∈ X } existiert und gleich f (sup X ) ist. Eine solche Funktion wird auch vereinigerhaltend genannt . Analog dazu sagt man, dass f endliche, nichtleere, gerichtete oder beliebige Vereinigungen (oder Schnitte) erhält. Die Umkehrung heißt vereinigreflektierend .
• Primideal . Ein Ideal I in einem Verband L heißt prim, wenn für alle Elemente x und y in L gilt : x ∧ y in I impliziert x in I oder y in I. Der duale Begriff wird Primfilter genannt. Äquivalent dazu ist eine Menge genau dann ein Primfilter,ihr Komplement ein Primideal ist.
• Ein Filter wird als Hauptfilter bezeichnet , wenn er ein kleinstes Element besitzt. Umgekehrt ist ein Hauptideal ein Ideal mit einem größten Element. In diesen Fällen können auch das kleinste oder größte Element als Hauptelemente bezeichnet werden
• Projektion (Operator) . Eine Selbstabbildung auf einer partiell geordneten Menge , die monoton und idempotent unter Funktionskomposition ist . Projektionen spielen eine wichtige Rolle in der Domänentheorie .
• Pseudokomplement . In einer Heyting-Algebra wird das Element x ⇒ 0 als Pseudokomplement von x bezeichnet . Es ist auch gegeben durch sup{ y  : y ∧ x = 0}, d. h. als kleinste obere Schranke aller Elemente y mit y ∧ x = 0.

• Quasiorder . Siehe Vorbestellung .
• Quasitransitiv . Eine Relation heißt quasitransitiv, wenn die Relation auf verschiedenen Elementen transitiv ist. Transitivität impliziert Quasitransitivität und Quasitransitivität impliziert Azyklizität. ^{[ 1 ]}

• Spiegelung . Eine Funktion f zwischen partiell geordneten Mengen P und Q heißt supremaspiegelnd (vereinig), wenn für alle Teilmengen X von P, für die das Supremum sup{ f ( x ): x ∈ X } existiert und die Form f ( s ) für ein s ∈ P hat , dann sup X existiert und sup X = s gilt . Analog dazu sagt man, dass f endliche, nichtleere, gerichtete oder beliebige Vereinigungen (oder Schnitte) spiegelt. Die Umkehrung heißt vereinigungserhaltend .
• Reflexiv . Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt reflexiv, wenn x R x für jedes Element x in X gilt .
• Residual . Eine duale Abbildung, die an eine residuierte Abbildung angehängt ist .
• Residuierte Abbildung . Eine monotone Abbildung, deren Urbild einer Hauptabwärtsmenge wieder eine Hauptmenge ist. Äquivalent dazu: eine Komponente eines Galois-Zusammenhangs.

• Gesättigte Kette . Eine Kette in einer partiell geordneten Menge, bei der kein Element zwischen zwei Elemente eingefügt werden kann, ohne die Eigenschaft der vollständigen Ordnung zu verlieren. Ist die Kette endlich, bedeutet dies, dass in jedem Paar aufeinanderfolgender Elemente das größere das kleinere überdeckt. Siehe auch maximale Kette.
• Zerstreut . Eine totale Ordnung ist zerstreut, wenn sie keine dicht geordnete Teilmenge besitzt.
• Scott-stetig . Eine monotone Funktion f  : P → Q zwischen partiell geordneten Mengen P und Q heißt Scott-stetig, wenn für jede gerichtete Menge D mit einem Supremum sup D in P die Menge { fx | x in D } das Supremum f (sup D ) in Q besitzt. Anders ausgedrückt: Eine Scott-stetige Funktion erhält alle gerichteten Suprema. Dies ist äquivalent zur Stetigkeit bezüglich der Scott-Topologie auf den jeweiligen partiell geordneten Mengen.
• Scott-Bereich . Ein Scott-Bereich ist eine partiell geordnete Menge, die eine beschränkte vollständige algebraische CPO ist .
• Scott-offen . Siehe Scott-Topologie .
• Scott-Topologie . Für eine partiell geordnete Menge P heißt eine Teilmenge O Scott-offen , wenn sie eine obere Menge ist und alle gerichteten Mengen D , die ein Supremum in O haben , einen nichtleeren Schnittpunkt mit O besitzen . Die Menge aller Scott-offenen Mengen bildet eine Topologie , die Scott-Topologie .
• Halbverband . Ein Halbverband ist eine partiell geordnete Menge, in der entweder alle endlichen, nichtleeren Vereinigungen (Suprema) oder alle endlichen, nichtleeren Schnitte (Infima) existieren. Dementsprechend spricht man von einem Vereinigungs-Halbverband oder einem Schnitt-Halbverband .
• Kleinstes Element . Siehe kleinstes Element .
• Sperner-Eigenschaft einer partiell geordneten Menge
• Sperner-Poset
• Streng Sperner-Poset
• Stark Sperner-Poset
• Strenge Ordnung . Siehe strenge partielle Ordnung .
• Strenge partielle Ordnung . Eine strikte partielle Ordnung ist eine homogene binäre Relation , die transitiv , irreflexiv und antisymmetrisch ist .
• Strikte Vorordnung . Siehe strikte Teilordnung .
• Supremum . Für eine partiell geordnete Menge P und eine Teilmenge X von P heißtdas kleinste Element in der Menge der oberen Schranken von X (sofern es existiert, was nicht der Fall sein muss) Supremum , Vereinigung oder kleinste obere Schranke von X. Es wird mit sup X oder X∨ bezeichnet . Das Supremum zweier Elemente kann als sup{ x , y } oder x ∨ y geschrieben werden . Ist die Menge X endlich, spricht man von einem endlichen Supremum . Der duale Begriff heißt Infimum .${\displaystyle \bigvee }$
• Suzumura-Konsistenz . Eine binäre Relation R ist Suzumura-konsistent, wenn x ∘ R ^∗ y impliziert, dass x ∘ R ∘ y oder nicht y ∘ R ∘ x . ^{[ 1 ]}
• Symmetrische Relation . Eine homogene Relation R auf einer Menge X heißt symmetrisch, wenn x R y impliziert , dass y R x für alle Elemente x , y in X gilt .

• Oben . Siehe Einheit .
• Totale Ordnung . Eine totale Ordnung T ist eine partielle Ordnung, bei der für jedes x und y in T gilt: x ≤ y oder y ≤ x . Totale Ordnungen werden auch lineare Ordnungen oder Ketten genannt .
• Totale Beziehung . Synonym für verbundene Beziehung .
• Transitive Relation . Eine Relation R auf einer Menge X heißt transitiv, wenn x R y und y R z x R z für alle Elemente x , y , z in X implizieren.
• Transitiver Abschluss . Der transitive Abschluss R ^∗ einer Relation R besteht aus allen Paaren x , y , für die eine endliche Kette x R a , a R b , ..., z R y existiert. ^{[ 1 ]}

• Einheit . Das größte Element einer partiell geordneten Menge P kann Einheit oder einfach 1 (falls es existiert) genannt werden . Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für dieses Element ist „Top“ . Es ist das Infimum der leeren Menge und das Supremum von P. Der duale Begriff heißt Null .
• Verärgert . Siehe obere Reihe .
• Obere Schranke . Eine obere Schranke einer Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P ist ein Element b aus P , sodass x ≤ b für alle x ∈ X gilt. Der entsprechende Begriff heißt untere Schranke .
• Obere Menge . Eine Teilmenge X einer partiell geordneten Menge P heißt obere Menge, wenn für alle Elemente x ∈ X und p ∈ P gilt : x ≤ p impliziert, dass p in X enthalten ist. Der duale Begriff heißt untere Menge .

• Bewertung . Gegeben ein Verband , ist eine Bewertung strikt (d. h. ), monoton, modular (d. h. ) und positiv. Stetige Bewertungen sind eine Verallgemeinerung von Maßen.${\displaystyle X}$${\displaystyle \nu :X\to [0,1]}$${\displaystyle \nu (\varnothing )=0}$${\displaystyle \nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)}$

• Weit unterhalb der Supremumsrelation . In einer partiell geordneten Menge P istein Element x weit unterhalb von y , geschrieben x << y , wenn für alle gerichteten Teilmengen D von P mit Supremum gilt: y ≤ sup D impliziert x ≤ d für ein d ∈ D. Man sagt auch, dass x y approximiert . Siehe auch Domänentheorie .
• Schwache Ordnung . Eine partielle Ordnung ≤ auf einer Menge X ist eine schwache Ordnung, wenn die partielle Ordnung (X, ≤) isomorph zu einer abzählbaren Sammlung von Mengen ist, die durch Vergleich der Kardinalität geordnet sind .

• Null . Das kleinste Element einer partiell geordneten Menge P kann Null oder einfach 0 genannt werden (sofern es existiert). Eine andere gebräuchliche Bezeichnung für dieses Element ist „ unterstes Element “. Null ist das Supremum der leeren Menge und das Infimum von P. Der duale Begriff heißt „Einheit“ .

Die hier angegebenen Definitionen stimmen mit denen in den folgenden Standardwerken überein:

• BA Davey und HA Priestley, Einführung in Verbände und Ordnungen , 2. Auflage, Cambridge University Press, 2002.
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove und DS Scott, Kontinuierliche Verbände und Gebiete , In: Encyclopedia of Mathematics and its Applications , Band 93, Cambridge University Press, 2003.

Spezifische Definitionen:

• Deng, Bangming (2008), Endlichdimensionale Algebren und Quantengruppen , Mathematical Surveys and Monographs, Band 150, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4186-0